高考刚结束，有志于学习基础数学，假期想要自学一些大学数学内容，可以使用哪些书籍和习题？
高考刚结束，这绝对是拥抱新知识、探索未知领域的好时机！能有自学大学数学的志向，这份好奇心和求知欲本身就非常宝贵。利用这个假期打下坚实的基础，绝对是个明智的选择。下面我为你整理了一些非常适合入门大学基础数学的书籍和习题建议，希望能帮到你。
在开始之前，我想强调几点：
循序渐进，不要贪多。 大学数学体系庞大，一次性学完是不现实的。选择一两个领域深入下去，打好基础更重要。
理解是关键。 数学不是死记硬背公式，而是理解概念、推导过程。遇到不懂的地方，一定要停下来，多看、多想、多做题。
不要怕困难。 遇到难题是正常的，这是你进步的机会。可以尝试换种角度思考，查阅资料，或者与同学朋友讨论。
数学的乐趣在于发现。 随着你理解得越来越深入，你会发现数学的世界是多么奇妙和有逻辑性。
我们主要从几个核心的大学数学基础课程入手：微积分 和 线性代数。这两门课是很多理工科专业的基础，也是理解更深层次数学概念的基石。
一、 微积分 (Calculus)
微积分是研究变化率和累积量的数学分支。它分为微分学和积分学。
1. 推荐书籍：
《微积分学教程》（上、下册）作者：菲赫金哥尔茨 (G. M. Fichtenholz)
为什么推荐？ 这套书是微积分领域的“圣经”级教材，内容极其详尽、严谨，从最基础的概念讲起，逻辑清晰，论证充分。它非常适合希望真正理解微积分原理的读者。虽然篇幅较大，但它的深度和广度无可比拟。
学习建议：
从第一卷开始，仔细阅读“函数与极限”部分，这是理解整个微积分体系的起点。
理解极限的定义（εδ语言），虽然一开始会觉得有点抽象，但这是严谨数学的基石。
逐步掌握导数、微分的概念及其几何意义（切线、瞬时变化率）。
学习微分中值定理，这是理解导数性质的关键。
进入积分部分，理解定积分的定义（黎曼和），以及不定积分（原函数）与定积分的关系（牛顿莱布尼茨公式）。
掌握积分的换元法和分部积分法。
如果时间允许，可以涉猎多变量微积分。
《托马斯微积分》（最新版）作者：乔治·B·托马斯 (George B. Thomas Jr.) 等
为什么推荐？ 这是很多国外大学的经典教材，相比菲赫金哥尔茨，它的叙述更“易读”一些，包含大量的例子和应用，能帮助你快速建立直观的理解。它也足够严谨，既有理论深度，也有实践应用。
学习建议：
这本书的内容安排非常合理，从极限开始，一步步引导读者进入导数、积分的世界。
多看书中的例题和图示，它们能帮助你形象地理解概念，例如导数的几何意义、积分的几何意义（面积）。
书中常会提到一些“思考题”或“挑战题”，可以尝试做一些，即使做不对，思考的过程也是宝贵的。
它也有多变量微积分的部分，可以作为后续深入学习的参考。
国内教材： 如果你想找一本更贴近国内高中数学风格，但又更深入的教材，可以考虑一些知名高校的数学分析或高等数学教材，例如：
《高等数学》（同济大学编）
《数学分析》（陈树萼等编，或四川大学版）
为什么推荐？ 国内的数学分析教材通常更侧重于理论证明和推导，对于严谨性的培养很有帮助。同济大学版的高等数学则是在高中基础上更全面和深入的介绍。
学习建议： 可以将它们作为辅助，在阅读菲赫金哥尔茨或托马斯时，遇到概念不清晰的地方，可以查阅国内教材的讲解，看是否有更易于理解的表达方式。
2. 推荐习题集：
《微积分习题集》（苏联教材，常与菲赫金哥尔茨配套）
为什么推荐？ 这是一套非常有名的习题集，题目质量非常高，从基本计算到抽象证明都有涉及，能够很好地巩固微积分的知识点。
学习建议：
按照你学习的章节顺序来做题。
遇到计算题，要反复练习，确保熟练掌握各种求导、积分技巧。
遇到证明题，尝试自己写出完整的证明过程，即使一开始思路不清晰，也要努力组织语言。
有些题目可能会比较难，可以先尝试，如果实在做不出，看看答案的提示或解法，但要确保自己真正理解了。
《托马斯微积分》课后习题
为什么推荐？ 同一本书的课后习题通常是为该书的内容量身定制的，难度梯度也比较合适。
学习建议： 优先完成书中的例题，然后选择书后的一些代表性练习题来做。
国内高等数学/数学分析习题集
为什么推荐？ 如上文提到的，与国内教材配套的习题集，风格会更接近你的学习习惯。
学习建议： 可以找一些专门的“高数习题”或“数学分析习题”来补充练习。
二、 线性代数 (Linear Algebra)
线性代数是研究向量空间、线性变换以及线性方程组的数学分支。它在计算机科学、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
1. 推荐书籍：
《线性代数及其应用》（最新版）作者：吉尔伯特·斯特朗 (Gilbert Strang)
为什么推荐？ 这是我个人非常推崇的一本书！斯特朗教授的讲解风格非常独特，他注重概念的直观理解和几何意义的阐释，将抽象的代数概念与实际应用联系起来。他的一些讲座视频也非常有帮助。
学习建议：
这本书的开篇就讲解了“四个基本子空间”，这是理解整个线性代数的关键。要花时间去理解行空间、列空间、零空间和左零空间之间的关系。
重点理解向量、矩阵的意义，以及它们之间的运算（加法、乘法）的几何解释。
好好理解线性组合、线性无关、基、维数这些概念，它们是构建向量空间的基础。
学习矩阵的“分解”，如LU分解、QR分解、SVD（奇异值分解），这些是理解许多算法的核心。
从几何角度理解行列式、特征值和特征向量。特征值和特征向量尤其重要，它们揭示了线性变换如何“拉伸”或“压缩”空间。
《线性代数》作者：李尚志
为什么推荐？ 这是国内一本非常优秀的线性代数教材，内容严谨，讲解清晰，逻辑性强，并且有很好的数学文化和历史背景介绍。它既有理论深度，也有对方法的介绍。
学习建议：
按照章节顺序阅读，特别是关于向量空间、线性变换的部分，要理解它们是如何从线性方程组自然延伸出来的。
矩阵的运算、行列式、特征值和特征向量是核心内容，要反复练习。
李尚志老师的书常常会有一些启发性的思考题，可以多尝试一下。
国内教材：
《高等代数》（孙逊等编，或丘维生版本）
为什么推荐？ 如果你对更抽象、更严谨的代数结构感兴趣，这类教材会是很好的选择。但对于初学者来说，可能会略显“硬核”。
学习建议： 作为辅助阅读，或者在对斯特朗或李尚志的书有一定了解后，再深入研究。
2. 推荐习题集：
《线性代数及其应用》配套习题
为什么推荐？ 斯特朗的书中的习题设计得非常好，很多题目都很有启发性，并且与书中的概念紧密相连。
学习建议： 优先做书中的“课后练习”（Exercises）。同样，例题是必做的。
《线性代数》（李尚志）配套习题
为什么推荐？ 和书本内容匹配度很高。
学习建议： 做书后的练习题，重点是理解解题思路，而不仅仅是得到答案。
《线性代数练习题集》（配合国内教材）
为什么推荐？ 市场上有许多专门的线性代数练习册，可以作为补充。
学习建议： 选择一些评价好的习题集，重点练习矩阵运算、求解线性方程组、计算行列式、求特征值和特征向量等基本技能。
三、 学习方法和建议
1. 建立数学思维：
多思考“为什么”： 为什么要有极限？为什么需要积分？为什么矩阵乘法是这样定义的？
重视证明： 不要只看定理，尝试理解定理的证明过程。虽然不要求你写出所有证明，但理解证明过程能加深你对概念的认识。
图像化思维： 尤其是微积分和线性代数，很多概念都有直观的几何意义。尝试将代数公式转化为几何图形来理解。
2. 利用在线资源：
可汗学院 (Khan Academy)： 它的微积分和线性代数课程非常适合入门，讲解通俗易懂，还有很多练习题。
MIT OpenCourseware (OCW)： 可以找到斯特朗教授的线性代数课程视频（Mathematics 18.06 Linear Algebra），他的讲解非常有启发性。
Bilibili/YouTube： 上面有很多优秀的数学博主，他们的讲解视频可以作为学习的补充，特别是当你遇到某个概念卡壳时。搜索“微积分入门”、“线性代数入门”等关键词。
3. 做笔记：
整理你学习到的新概念、公式、定理，以及你的理解。
在做题时，记录下你遇到困难的地方，以及你是如何解决的。
4. 讨论与交流：
如果可能，找一两个同样对数学感兴趣的朋友一起学习。互相提问、讨论，可以帮助你发现自己的盲点，也能激发新的思考。
5. 保持耐心和毅力：
自学大学数学是一个挑战，难免会遇到挫折。关键是要坚持下去，不要因为一两个难题就放弃。
享受学习的过程，数学的美在于它的逻辑严谨和概念的深刻性。
关于书籍选择的最终建议：
微积分： 如果你更看重严谨性和深度，从菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》入手；如果想先建立直观理解和联系应用，托马斯微积分会更友好。可以两者搭配使用。
线性代数： 我个人强烈推荐斯特朗的《线性代数及其应用》，它的视角和讲解方式非常独特，能让你对线性代数有一个全新的认识。李尚志的书是扎实的理论教材，也非常值得学习。
这个假期，你开启了探索数学世界的奇妙旅程。祝你在这段学习时光中收获满满！如果过程中遇到什么问题，随时可以再来交流。
在开始之前，我想强调几点：
循序渐进，不要贪多。 大学数学体系庞大，一次性学完是不现实的。选择一两个领域深入下去，打好基础更重要。
理解是关键。 数学不是死记硬背公式，而是理解概念、推导过程。遇到不懂的地方，一定要停下来，多看、多想、多做题。
不要怕困难。 遇到难题是正常的，这是你进步的机会。可以尝试换种角度思考，查阅资料，或者与同学朋友讨论。
数学的乐趣在于发现。 随着你理解得越来越深入，你会发现数学的世界是多么奇妙和有逻辑性。
我们主要从几个核心的大学数学基础课程入手：微积分 和 线性代数。这两门课是很多理工科专业的基础，也是理解更深层次数学概念的基石。
一、 微积分 (Calculus)
微积分是研究变化率和累积量的数学分支。它分为微分学和积分学。
1. 推荐书籍：
《微积分学教程》（上、下册）作者：菲赫金哥尔茨 (G. M. Fichtenholz)
为什么推荐？ 这套书是微积分领域的“圣经”级教材，内容极其详尽、严谨，从最基础的概念讲起，逻辑清晰，论证充分。它非常适合希望真正理解微积分原理的读者。虽然篇幅较大，但它的深度和广度无可比拟。
学习建议：
从第一卷开始，仔细阅读“函数与极限”部分，这是理解整个微积分体系的起点。
理解极限的定义（εδ语言），虽然一开始会觉得有点抽象，但这是严谨数学的基石。
逐步掌握导数、微分的概念及其几何意义（切线、瞬时变化率）。
学习微分中值定理，这是理解导数性质的关键。
进入积分部分，理解定积分的定义（黎曼和），以及不定积分（原函数）与定积分的关系（牛顿莱布尼茨公式）。
掌握积分的换元法和分部积分法。
如果时间允许，可以涉猎多变量微积分。
《托马斯微积分》（最新版）作者：乔治·B·托马斯 (George B. Thomas Jr.) 等
为什么推荐？ 这是很多国外大学的经典教材，相比菲赫金哥尔茨，它的叙述更“易读”一些，包含大量的例子和应用，能帮助你快速建立直观的理解。它也足够严谨，既有理论深度，也有实践应用。
学习建议：
这本书的内容安排非常合理，从极限开始，一步步引导读者进入导数、积分的世界。
多看书中的例题和图示，它们能帮助你形象地理解概念，例如导数的几何意义、积分的几何意义（面积）。
书中常会提到一些“思考题”或“挑战题”，可以尝试做一些，即使做不对，思考的过程也是宝贵的。
它也有多变量微积分的部分，可以作为后续深入学习的参考。
国内教材： 如果你想找一本更贴近国内高中数学风格，但又更深入的教材，可以考虑一些知名高校的数学分析或高等数学教材，例如：
《高等数学》（同济大学编）
《数学分析》（陈树萼等编，或四川大学版）
为什么推荐？ 国内的数学分析教材通常更侧重于理论证明和推导，对于严谨性的培养很有帮助。同济大学版的高等数学则是在高中基础上更全面和深入的介绍。
学习建议： 可以将它们作为辅助，在阅读菲赫金哥尔茨或托马斯时，遇到概念不清晰的地方，可以查阅国内教材的讲解，看是否有更易于理解的表达方式。
2. 推荐习题集：
《微积分习题集》（苏联教材，常与菲赫金哥尔茨配套）
为什么推荐？ 这是一套非常有名的习题集，题目质量非常高，从基本计算到抽象证明都有涉及，能够很好地巩固微积分的知识点。
学习建议：
按照你学习的章节顺序来做题。
遇到计算题，要反复练习，确保熟练掌握各种求导、积分技巧。
遇到证明题，尝试自己写出完整的证明过程，即使一开始思路不清晰，也要努力组织语言。
有些题目可能会比较难，可以先尝试，如果实在做不出，看看答案的提示或解法，但要确保自己真正理解了。
《托马斯微积分》课后习题
为什么推荐？ 同一本书的课后习题通常是为该书的内容量身定制的，难度梯度也比较合适。
学习建议： 优先完成书中的例题，然后选择书后的一些代表性练习题来做。
国内高等数学/数学分析习题集
为什么推荐？ 如上文提到的，与国内教材配套的习题集，风格会更接近你的学习习惯。
学习建议： 可以找一些专门的“高数习题”或“数学分析习题”来补充练习。
二、 线性代数 (Linear Algebra)
线性代数是研究向量空间、线性变换以及线性方程组的数学分支。它在计算机科学、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
1. 推荐书籍：
《线性代数及其应用》（最新版）作者：吉尔伯特·斯特朗 (Gilbert Strang)
为什么推荐？ 这是我个人非常推崇的一本书！斯特朗教授的讲解风格非常独特，他注重概念的直观理解和几何意义的阐释，将抽象的代数概念与实际应用联系起来。他的一些讲座视频也非常有帮助。
学习建议：
这本书的开篇就讲解了“四个基本子空间”，这是理解整个线性代数的关键。要花时间去理解行空间、列空间、零空间和左零空间之间的关系。
重点理解向量、矩阵的意义，以及它们之间的运算（加法、乘法）的几何解释。
好好理解线性组合、线性无关、基、维数这些概念，它们是构建向量空间的基础。
学习矩阵的“分解”，如LU分解、QR分解、SVD（奇异值分解），这些是理解许多算法的核心。
从几何角度理解行列式、特征值和特征向量。特征值和特征向量尤其重要，它们揭示了线性变换如何“拉伸”或“压缩”空间。
《线性代数》作者：李尚志
为什么推荐？ 这是国内一本非常优秀的线性代数教材，内容严谨，讲解清晰，逻辑性强，并且有很好的数学文化和历史背景介绍。它既有理论深度，也有对方法的介绍。
学习建议：
按照章节顺序阅读，特别是关于向量空间、线性变换的部分，要理解它们是如何从线性方程组自然延伸出来的。
矩阵的运算、行列式、特征值和特征向量是核心内容，要反复练习。
李尚志老师的书常常会有一些启发性的思考题，可以多尝试一下。
国内教材：
《高等代数》（孙逊等编，或丘维生版本）
为什么推荐？ 如果你对更抽象、更严谨的代数结构感兴趣，这类教材会是很好的选择。但对于初学者来说，可能会略显“硬核”。
学习建议： 作为辅助阅读，或者在对斯特朗或李尚志的书有一定了解后，再深入研究。
2. 推荐习题集：
《线性代数及其应用》配套习题
为什么推荐？ 斯特朗的书中的习题设计得非常好，很多题目都很有启发性，并且与书中的概念紧密相连。
学习建议： 优先做书中的“课后练习”（Exercises）。同样，例题是必做的。
《线性代数》（李尚志）配套习题
为什么推荐？ 和书本内容匹配度很高。
学习建议： 做书后的练习题，重点是理解解题思路，而不仅仅是得到答案。
《线性代数练习题集》（配合国内教材）
为什么推荐？ 市场上有许多专门的线性代数练习册，可以作为补充。
学习建议： 选择一些评价好的习题集，重点练习矩阵运算、求解线性方程组、计算行列式、求特征值和特征向量等基本技能。
三、 学习方法和建议
1. 建立数学思维：
多思考“为什么”： 为什么要有极限？为什么需要积分？为什么矩阵乘法是这样定义的？
重视证明： 不要只看定理，尝试理解定理的证明过程。虽然不要求你写出所有证明，但理解证明过程能加深你对概念的认识。
图像化思维： 尤其是微积分和线性代数，很多概念都有直观的几何意义。尝试将代数公式转化为几何图形来理解。
2. 利用在线资源：
可汗学院 (Khan Academy)： 它的微积分和线性代数课程非常适合入门，讲解通俗易懂，还有很多练习题。
MIT OpenCourseware (OCW)： 可以找到斯特朗教授的线性代数课程视频（Mathematics 18.06 Linear Algebra），他的讲解非常有启发性。
Bilibili/YouTube： 上面有很多优秀的数学博主，他们的讲解视频可以作为学习的补充，特别是当你遇到某个概念卡壳时。搜索“微积分入门”、“线性代数入门”等关键词。
3. 做笔记：
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在做题时，记录下你遇到困难的地方，以及你是如何解决的。
4. 讨论与交流：
如果可能，找一两个同样对数学感兴趣的朋友一起学习。互相提问、讨论，可以帮助你发现自己的盲点，也能激发新的思考。
5. 保持耐心和毅力：
自学大学数学是一个挑战，难免会遇到挫折。关键是要坚持下去，不要因为一两个难题就放弃。
享受学习的过程，数学的美在于它的逻辑严谨和概念的深刻性。
关于书籍选择的最终建议：
微积分： 如果你更看重严谨性和深度，从菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》入手；如果想先建立直观理解和联系应用，托马斯微积分会更友好。可以两者搭配使用。
线性代数： 我个人强烈推荐斯特朗的《线性代数及其应用》，它的视角和讲解方式非常独特，能让你对线性代数有一个全新的认识。李尚志的书是扎实的理论教材，也非常值得学习。
这个假期，你开启了探索数学世界的奇妙旅程。祝你在这段学习时光中收获满满！如果过程中遇到什么问题，随时可以再来交流。
网友意见
数分高代我就不推荐了，我自己就是看复旦本校教材学的，也没怎么额外刷题。我倒是建议看看do Carmo的differential geometry of curves and surfaces。这学期辅导一个优秀高中生，就是用的这本书，写得确实不错。相比于直接从流形上手学微分几何而言，多了很多motivation。其实曲面论完全可以和解析几何一起放在大一对照着学，学完多元微积分和高代第一学期就可以看。
还有Milnor的拓扑书也可以在学过一学期数分高代后开始看
顺便给有志从事理科科研、同时又愿意为此支付一定报酬的高中生推广一下，可以考虑报名这个项目：
这个是仿效MIT PRIMES项目在中国做的一个高中生科研项目。我上文说的辅导高中生就是今年PCP组织的一个项目。他们对导师和学生的筛选都是很认真很专业的，不是简单的水论文包装简历。
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