可以为 2020 年高考生预测一道数学题吗？
但是，如果非要我根据近几年的趋势，以及数学学科的“内在逻辑”来揣摩一道“可能”的题目，我会把目光聚焦在解析几何与函数思想的交叉融合上。为什么这么说呢？
趋势分析：
1. 综合性是王道： 近年来的高考试题越来越强调知识点的融会贯通，特别是将两个或三个核心知识模块拧在一起考。解析几何本身就承载着代数、几何以及向量的知识，如果再跟函数（比如指数函数、对数函数、三角函数，甚至抽象函数）结合，就能构成一个庞大的知识网络，考察学生的综合运用能力。
2. “一体两翼”思维： 高考数学在考察“基础性”和“综合性”的同时，也非常注重“创新性”。而“一体两翼”正是创新性的体现，即一道题围绕一个核心概念（比如某种几何图形的性质、某个函数的单调性或最值），通过不同的问法（一问比一问深入，或者设置不同情境）来展现。解析几何的图形性质与函数的单调性、最值、对称性等都非常契合这种出题思路。
3. 方程思想与不等式思想的灵活运用： 很多时候，一个看似纯粹的几何问题，深究下去往往需要借助代数方法（方程、不等式）来解决。特别是在涉及最值、范围或者存在性问题时，这一点尤为突出。
预测题目的大致框架：
我构思的这道“可能”的题目，可能会是这样的一个场景：
背景设定：
一道关于椭圆（或抛物线，或双曲线，但个人感觉椭圆的可能性更大，因为它性质更丰富）的题目，但不会是简单的求方程或离心率。而是会设置一个动态的几何场景，并引入一个函数关系。
题目可能包含的元素：
一个标准的椭圆方程： 例如 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$ (其中 $a,b$ 是已知或可解的参数)。
一个特殊的点： 可能是椭圆上的点，也可能是椭圆外的固定点，或者是与椭圆有某种关系（例如切线上的点）的点。
一条动直线： 这条直线可能会与椭圆相交，也可能不相交，或者固定一个斜率，但截距可变，或者反之。
引入函数： 这条动直线与椭圆的交点（如果存在）的某种几何量的表达式，或者一个固定点到动直线的距离的表达式，或者一个与斜率、截距相关的函数，要求我们分析这个函数的性质（单调性、最值、定义域、值域）。
举个更具体的例子（这只是一个思路，具体参数和问法还需要打磨）：
“已知椭圆 $E:frac{x^2}{4} + frac{y^2}{2} = 1$，其右焦点为 $F$。过点 $P(2, 1)$ 作一条直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A, B$（若不存在，说明理由）。”
可能的问法设计（“一体两翼”的体现）：
1. 第一问（基础）： 求直线 $l$ 的方程。这部分可能没有直接给出斜率，而是通过一些几何条件来约束直线，比如“使得弦 $AB$ 的中点 $M$ 在某个区域内”，或者“使得弦 $AB$ 的长度满足某个条件”。这需要我们利用中点坐标公式和弦长公式来构建方程。
2. 第二问（深入与函数结合）： 设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ($k eq 0$)，求 $frac{1}{|PA|^2} + frac{1}{|PB|^2}$ 的最小值。
这里的“函数思想”体现在： 我们需要将这个代数表达式用斜率 $k$ 来表示，转化为一个关于 $k$ 的函数。这个过程可能需要用到韦达定理（通过弦的中点坐标和弦长公式来联系 $k$ 和 $PA cdot PB$ 的关系），或者一些向量的数量积。
如何处理“不同的两点”？ 这就需要我们分析判别式大于零的条件，从而确定 $k$ 的取值范围。
函数性质的考察： 得到关于 $k$ 的函数后，就需要分析这个函数的单调性（可能是通过求导）来找到最小值。
3. 第三问（引申或变化）： 如果我们将点 $P$ 改为椭圆上的点，或者将直线改为过焦点 $F$ 的弦，再或者引入一个参数限制交点的横坐标或纵坐标，函数的考察点会变成什么？比如，“是否存在一条直线 $l$ 使得 $PA^2 + PB^2$ 取得最大值？”
为什么我觉得这种题目有“高考味儿”？
它考查了： 直线的方程、椭圆的标准方程及其几何性质（焦点、长短轴等）、直线与椭圆的位置关系（相交、相切、相离）、弦长公式、中点坐标公式、韦达定理、函数思想（函数的定义域、值域、单调性、最值）、不等式的求解（判别式、柯西不等式等），甚至可能还会涉及到向量的运用。
它有梯度： 从第一问的计算，到第二问的构造函数和求最值，再到第三问的变式思考，层层递进，能够有效区分不同层次的学生。
它考验数学思维： 不仅仅是记忆公式，更需要学生在复杂的几何关系中提炼出代数模型，然后通过函数工具来解决问题，这才是数学的魅力所在。
给你们的备考建议（如何应对这类题目）：
1. 回归课本，夯实基础： 解析几何的各种公式，像是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、几何性质，一定要烂熟于心。特别是点到直线的距离公式、弦长公式、中点公式，这些是处理几何问题的“利器”。
2. 熟练运用“设而不求”和韦达定理： 在处理直线与二次曲线相交的问题时，设出交点坐标，利用韦达定理将交点间的距离、中点坐标等代数关系与直线方程中的参数（斜率、截距）联系起来，是解决这类问题的关键。
3. 构建函数模型的能力： 看到题目中的“什么最大值、最小值、范围”时，第一时间就要想到构建函数。题目中给你的是几何量，你就要想办法用代数方法（通常是设参数，利用公式转换）把它变成自变量的函数。
4. 分析函数性质的技巧： 对于求函数最值，除了基本导数法，还要关注函数的对称性、单调性区间等。有时候一些特殊的不等式（如均值不等式、柯西不等式）也能派上用场。
5. 注意“隐含条件”和“边缘情况”： 比如“两点”，就意味着判别式要大于零；如果是“弦”，那么斜率不能是无穷大（水平直线的情况可能需要单独讨论）。这些细节往往是得分点，也可能是失分点。
6. 多做例题，勤于总结： 找一些近几年的高考真题，特别是解析几何与函数结合的题目，反复揣摩它的出题思路和解题方法。总结出题人的“套路”，才能做到心中有数。
最后想说，高考数学的预测很难，但掌握了方法，应对起来就会从容许多。你们现在做的每一道题，背过的每一个公式，走的每一步路，都是在为那个灯塔积蓄力量。相信自己，你们一定可以！加油！
网友意见
如果你在即将高考时看到了这个，请把它划过去。难题不是这时候需要的东西。
对于普通玩家而言好好刷题总结套路就行；然而对于高阶玩家，如果分数在135上下的范围游弋，想要做得更好，鉴于现在高考题整活的趋势，应该做的是尽量打开脑洞，不被定式束缚。
顺便说，直球押题无意义，见更多新题目才是需要做的事情。
占个坑，如果有时间的话会写一点自编题目上来。
1.一道可爱的填空题
颜文字是网友们喜闻乐见的表达情绪的方式。在颜文字(｡･ω･｡)ﾉ♡中有 个符号，它们一共能够排列出_________种字符串。
2.简单的选择题
有一位数学家对虚数作出了如下的有趣解释：从 到 是 所在的点逆时针转了 ，转 又回到原来的 。那么逆时针转 是什么呢？我们把它命名为 (imaginary的首字母)，对应的方向画一条轴线叫做虚轴，复数的体系就这么建立起来了。按照此种理解， 是
A. 所在的点逆时针转了
B. 所在的点逆时针转了
C. 所在的点逆时针转了
D. 所在的点逆时针转了
3.填空题
图灵机是一种由数学家、计算机鼻祖图灵构想的概念机器。这个机器由三个部分组成：
a.一条向右端无限延伸的纸带，被划分成大小相同的无数个格子，最开始是空的；
b.一个读写头，可以读取当前位置格子里的符号，并按照某些规则改变格子里的符号，最开始在最左边的格子位置；
c.一套控制规则，根据机器现在的状态(由状态寄存器存储)和读写头位置处的符号作出行动(左/右移动读写头以及改变符号两种命令)。
比如：要打印 (无限个)可以采用如下的控制规则：(1)如果读写头左边没有格子，在此处打印 并右移；(2)如果读写头处是空的，左移并检查读写头下面的符号，如果是 则右移并打印 ，然后再次右移；如果是 则右移并打印 ，然后再次右移。
现在需要用图灵机打印 在二进制下的表示。假设图灵机只能打印符号 和 以及小数点 ，请设计这个图灵机的控制规则________________________________________________________。
4.时事填空题
较为简单的传染病传播模型是 模型。在这个模型中， 分别代表健康人数与被感染人数是时间的函数， 是总人口为常数。这两个函数满足下面的关系：
，
其中 分别是称为传染率和康复率的常数， 。在这个模型中，感染人数增长最快时 ________。
5.立体几何填空题
设直线 平面 ，垂足为 。动长方体 满足条件：
(1) ；
(2) 。
则 长度的最大值为__________。
6.选择题
设函数 满足 ，且 等于 的值域中 出现的次数。则这样的函数一共有多少个？
A.
B.
C.
D.
7.填空题
设 表示正数 的整数部分的位数。下面的命题正确的有___________。
(1) ；
(2) ；
(3)对任意正数 ，如果 ，则对任意 有 ；
(4) 。
8.时事填空题
近期美国的黑人死亡事件引起了新一轮抗议活动，“I can't breathe”警醒我们人类离消除种族歧视还有很长一段路要走。假设有 位法官对事件中的暴力执法警察进行审判。每位法官作出有罪判定的概率都为 ，结果少数服从多数。已知正好有 位法官意见统一。如果要使得该警察脱罪的概率小于 ，求 满足的条件____________。
9.概率解答题(生物学梦幻联动)
生物学中有估计动物种群密度(种群动物个数除以地区面积)的标志重捕法：一个地区有 个某种动物，生物学家为了获得 的估计，在此地区捉住 只动物，做标记后放走。一段较长时间后，再捉住 只动物，发现其中做标记的有 只。那么生物学家作出 的估计( 表示整数部分)。
(1)一公顷( )土地上，第一次捕获并标记了 只鼠，第二次捕获 只鼠，有标记的为 只，计算该土地上鼠的种群密度(单位： ，保留三位有效数字)。
(2)验证这种方法的合理性。假设标记前后动物被捉住的概率不变，且每只动物被捉住的概率相同。用随机变量 表示第二次捕捉中做了标记的动物个数。证明：当 时 达到最大值，并简要叙述标志重捕法的合理性。
(3)实际情况下动物标记后会更加警觉，假设标记后它们被捉住的概率由 下降到 。在同样的假设下，求 的数学期望(不要求化简)。
10.导数题
设 上的二阶可导函数 满足 。
(1)证明： ；
(2)证明： 为某个常数，并求 ；
(3)设 ，且 有最大值 ，证明 。
11.导数题
设函数 。
(1)如果 恒成立，求 的取值范围；
(2)设数列 满足 ， 。证明： 。
12.填空题
设 为一个有 个元素的集合， 是 的所有子集组成的集合。从 中任选一个集合，设 是它的元素个数。则 的数学期望为__________。
随缘更新。大家觉得哪些题有用就做做试试看吧，可以向我要答案。
第九题答案：
(1) 只 。
(2) 。把这个式子记为 ，计算得
。
上述比值不小于 等价于
，
等价于 。由于 是整数，等价于 。从而 先增大后减小，在 取到最大值。由于在这时候捉到 个做标记动物的概率最大，所以 作为种群个数的估计值是最合适的。
(3)用事件 表示“成功捉到 只动物”， 表示“成功捉到 只且其中有 只做标记”。由条件概率
。
注意到 ，且
，
(因为捉住 只，其中可能有 只有标记)
所以 。(可以不用求和号而用省略号表示)
第十题答案：
这个函数的原型是 。
(1)条件的式子对 求导： ，对 求导： 。两式相减：
。
令 得 。
(2)条件分别对 求二阶导数：
。
由于 是任意的，令 得 ，也就得到结果。令 得到 。而在条件式中令 得 ，而 ，所以 。从而 。
(3)由(2)的结论得 。条件式分别对 求导(一共两次)得
。
这样：
从而
最后一步用到绝对值不等式。
第十一题答案：
(1) 。
(2)容易证明 是递增数列。然后计算 ，就得到左边的结果。下面证右边。我们有
也就是 。
由(1)的结论以及不等式 得
累加求和：
。
两边去掉对数就得到结果。
第十二题答案：注意到
，
我们有 。这个求和可以这样计算：
，
聪 明 的 高 斯
所以 。所以 。
还有一种形象的理解方法：每一个 的子集都可以与它的补集配对，所以是对称的，期望就是平均值。
回答更新：
赞同 @inversioner 的说法，做N多烂大街的押题是没有用的，尤其是那些只是换了题干的题目，应该要见多一些自己从没见过的‘新题’，而且思考方式也应该发生变化，学数学不是说做出一些个数学题就好了，而是应该掌握各种论证过程，甚至思考方式. （例如，证明一个任意性的命题，不是说证存在性就够了。许多秒杀技巧就是那些特殊值法，只能说明存在一个函数/数列, etc, 使得那个命题成立；当然如果要证明一个任意性的命题不成立，那举个反例即可）
押题总是押那些烂大街的集合复数确实没什么用，如某些回答说‘押题可太蠢了’，提升自己硬实力才是关键，建议同学们不要把希望寄托于各种押题卷.
像高赞回答的评论区还有这里某个回答，有人连线性规划和统计里面的线性回归都分不清楚，你说这个状态怎么参加高考？这就是没有实力却想寄希望于押题卷的体现.
原回答：
好久不看高考题了，那就分享一些（可能）有高等背景的改编题吧（可能会超纲）
收藏的同时记得点赞哦~
首先，根据2019年的情况，2020年高考要做好面对“换了个碗”题目的准备，而模拟题大多都是在炒冷饭，所以还是有必要刷往年高考题（往年高考题有一部分其实放在现在也挺新的），当然也要求老师有一点品味，能找到提高同学们数学水平（而不是提高刷题经验）的题目.
我相信下面的几个题的设问方式（例如元胞自动机、分形、第19题这三题），或者题型（例如概率的那个构造题），同学们应该都没见过，如果同学们有需要，可以拿来练练手，体验一下什么叫沸羊羊的感觉。
说明：
(1)第5题就是蒙娜丽莎这幅画的另一个恶搞. 没想到我一年前瞎恶搞的题现在被广泛流传……
(2)第9题灵感来源于哈佛-MIT的竞赛题
(3)第10题灵感来源于元胞自动机，纪念不久前刚刚去世的John H Conway.
(4)第18题蹭一下摆摊的热度.
(5)第12题是我在知乎的一个回答，顺便看看同学们有没有举反例的能力.
(6)第13题灵感来源于2019北京高考第8题，让大家感受一下数学之美.
(7)第19题我也不知道灵感来源于哪里, 可能灵感来源于ODE?
附：我的一些能帮到大家的高考类的回答/文章
Fiddie：自编高考试题(4)——2020新高考数学模拟题!
Fiddie的回答：山东省2020高考模考数学压轴题母题是哪个题？
Fiddie的回答：如何看待每年高考前都有很多“高三如何逆袭”这类的问题？
【答案】
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