10的100次方内的素数的中位数在什么范围内，你可以估算到多高的精度?

这是一个非常有趣且具有挑战性的问题！我们来详细探讨一下10的100次方（即 $10^{100}$，也称为古戈尔）内的素数中位数。

核心概念：素数定理

要估算素数中位数，我们首先需要了解素数的分布规律。素数定理是解决这类问题的核心工具。素数定理告诉我们，小于或等于某个数 $x$ 的素数个数，记作 $pi(x)$，近似等于 $frac{x}{ln(x)}$，其中 $ln(x)$ 是 $x$ 的自然对数。

估算素数个数

首先，我们需要知道 $10^{100}$ 以内的素数有多少个。根据素数定理：

$pi(10^{100}) approx frac{10^{100}}{ln(10^{100})}$

我们知道 $ln(10^{100}) = 100 ln(10)$。
$ln(10)$ 大约是 2.302585。

所以，$ln(10^{100}) approx 100 imes 2.302585 = 230.2585$。

因此，$pi(10^{100}) approx frac{10^{100}}{230.2585}$。

这意味着，在 $10^{100}$ 以内大约有 $frac{1}{230.2585} imes 10^{100}$ 个素数。

寻找中位数

中位数是指将所有数从小到大排列后，位于中间的那个数。如果素数总数为 $N$，那么中位数就是大约在第 $N/2$ 个素数的位置。

我们要求的中位数 $M$ 满足 $pi(M) approx frac{pi(10^{100})}{2}$。

用素数定理的近似公式来表示：

$frac{M}{ln(M)} approx frac{1}{2} left( frac{10^{100}}{ln(10^{100})} ight)$

$frac{M}{ln(M)} approx frac{10^{100}}{2 ln(10^{100})}$

这是一个隐式方程，直接解出 $M$ 是困难的。但我们可以尝试近似求解。

一种常见的近似方法是假设 $ln(M)$ 与 $ln(10^{100})$ 大致相似，或者我们可以先估算一个值然后迭代。

让我们尝试一个简化思路：如果素数分布是均匀的（虽然实际上不是），那么中位数大约会出现在总范围的一半，即 $10^{100}/2$ 附近。但这忽略了素数分布的稀疏性。

更准确的思路是，我们期望中位数 $M$ 满足 $pi(M)$ 约等于总素数数量的一半。

我们有 $pi(x) approx frac{x}{ln(x)}$。

我们寻找的 $M$ 满足：
$frac{M}{ln(M)} approx frac{1}{2} frac{10^{100}}{ln(10^{100})}$

我们知道 $ln(10^{100}) approx 230.26$。
所以，$frac{M}{ln(M)} approx frac{1}{2} frac{10^{100}}{230.26} approx 0.00217 imes 10^{100}$。

现在我们需要找到一个 $M$，使得 $M/ln(M)$ 大约是 $0.00217 imes 10^{100}$。
我们可以尝试令 $M$ 的数量级接近 $10^{100}$，然后调整其对数项。

假设 $M$ 的数量级是 $10^{99}$ 或 $10^{100}$。

估算方法一：直接代入近似值

如果我们假设 $M$ 和 $10^{100}$ 在数量级上相近，那么 $ln(M)$ 也会与 $ln(10^{100})$ 相近。
$ln(M) approx ln(10^{100}) approx 230.26$。

那么，我们的方程就变成了：
$M approx 0.00217 imes 10^{100} imes ln(M)$

如果我们将 $ln(M)$ 近似为 230.26：
$M approx 0.00217 imes 10^{100} imes 230.26$
$M approx 0.5 imes 10^{100}$

这似乎太简单了，让我们检查一下这个近似是否合理。
如果 $M = 0.5 imes 10^{100}$，那么 $ln(M) = ln(0.5 imes 10^{100}) = ln(0.5) + ln(10^{100})$。
$ln(0.5) approx 0.693$。
所以 $ln(M) approx 0.693 + 230.26 approx 229.567$。

用这个新的 $ln(M)$ 值重新计算 $M$:
$M approx 0.00217 imes 10^{100} imes 229.567 approx 0.498 imes 10^{100}$。

这个结果非常接近 $0.5 imes 10^{100}$。这表明中位数确实在 $0.5 imes 10^{100}$ 附近。

更精确的估算：使用更精确的素数定理公式

素数定理有一个更精确的版本：
$pi(x) sim ext{Li}(x) = int_2^x frac{dt}{ln(t)}$

其中 $ ext{Li}(x)$ 是对数积分函数。$ ext{Li}(x)$ 通常比 $frac{x}{ln(x)}$ 更接近 $pi(x)$。
并且有 $ ext{Li}(x) approx frac{x}{ln(x)} left(1 + frac{1}{ln(x)} + frac{2!}{(ln(x))^2} + dots ight)$。

我们要求 $M$ 满足 $pi(M) approx frac{1}{2} pi(10^{100})$。

使用 $frac{x}{ln(x)}$ 近似：
$frac{M}{ln(M)} approx frac{1}{2} frac{10^{100}}{ln(10^{100})}$

我们可以注意到一个重要的性质：如果 $p_n$ 是第 $n$ 个素数，那么 $p_n sim n ln(n)$。

我们想要找到第 $N/2$ 个素数，其中 $N = pi(10^{100}) approx frac{10^{100}}{230.26}$。
令 $n_{median} = N/2 approx frac{10^{100}}{2 imes 230.26} approx 0.00217 imes 10^{100}$。

那么中位数 $M = p_{n_{median}}$ 的近似值就是：
$M sim n_{median} ln(n_{median})$

$M sim left( frac{10^{100}}{2 ln(10^{100})} ight) lnleft( frac{10^{100}}{2 ln(10^{100})} ight)$

令 $X = 10^{100}$。
$M sim frac{X}{2 ln(X)} lnleft( frac{X}{2 ln(X)} ight)$

$M sim frac{X}{2 ln(X)} (ln(X) ln(2 ln(X)))$

$M sim frac{X}{2 ln(X)} (ln(X) ln(2) ln(ln(X)))$

$M sim frac{X}{2} left(1 frac{ln(2) + ln(ln(X))}{ln(X)} ight)$

我们知道 $ln(X) = ln(10^{100}) approx 230.26$。
$ln(2) approx 0.693$。
$ln(ln(X)) = ln(230.26) approx 5.439$。

所以，分母中的修正项为：
$frac{ln(2) + ln(ln(X))}{ln(X)} approx frac{0.693 + 5.439}{230.26} = frac{6.132}{230.26} approx 0.0266$。

那么，
$M sim frac{X}{2} (1 0.0266)$
$M sim frac{X}{2} imes 0.9734$
$M sim 0.4867 imes 10^{100}$

这个结果比我们第一次估算 $0.5 imes 10^{100}$ 更精确一些，并指向一个稍小的数值。

精度分析

素数定理本身是一个渐近公式，在处理非常大的数时，其近似效果越来越好。然而，“精确”的定义在这里是关键。

精确到哪个位数？
数量级精度： 我们可以非常有信心地说，中位数大概在 $0.48 imes 10^{100}$ 到 $0.50 imes 10^{100}$ 的范围内。这是一个数量级上的估计。
更高精度： 如果要达到小数点后好几位（例如 $0.4867 imes 10^{100}$），这就需要更精细的数学工具和计算。

影响精度的因素

1. 素数定理的误差项： 素数定理 $pi(x) sim frac{x}{ln(x)}$ 存在一个误差项。更精确的估计依赖于对误差项的界定。例如，如果 $pi(x) = ext{Li}(x) + E(x)$，那么我们需要知道 $E(10^{100})$ 和 $E(M)$ 的情况。目前对于 $E(x)$ 的最优界限还在研究中。
2. 对数函数的近似： 在计算 $ln(10^{100})$ 和 $ln(ln(10^{100}))$ 时，我们使用了近似值。如果使用更精确的 $ln(10)$ 值，以及更高精度的计算，结果会更精确。
3. 迭代的次数： 我们在估算中使用了近似的 $ln(M)$ 值。更精确的方法是进行迭代。例如，从一个初始猜测值 $M_0$ 开始，然后计算 $M_{i+1} = frac{10^{100}}{2 ln(M_i)} ln(M_i)$，直到 $M$ 收敛。

进行迭代估算

让我们从 $M_0 = 0.5 imes 10^{100}$ 开始进行迭代。
$ln(M_0) approx 229.567$ (之前计算过)

$M_1 = frac{10^{100}}{2 ln(M_0)} ln(M_0) = frac{10^{100}}{2 imes 229.567} imes 229.567 = 0.5 imes 10^{100}$ (这似乎没有进展，因为我们直接用了 $frac{M}{ln M}$ 的形式)

我们应该使用 $p_n sim n ln(n)$ 的形式。
$n_{median} approx 0.00217 imes 10^{100}$

第一次迭代：
设 $n_1 = n_{median}$
$M_1 = n_1 ln(n_1) = (0.00217 imes 10^{100}) ln(0.00217 imes 10^{100})$
$M_1 = (0.00217 imes 10^{100}) (ln(0.00217) + ln(10^{100}))$
$ln(0.00217) approx 6.132$
$ln(10^{100}) approx 230.2585$
$M_1 approx (0.00217 imes 10^{100}) (6.132 + 230.2585)$
$M_1 approx (0.00217 imes 10^{100}) imes 224.1265$
$M_1 approx 0.48635 imes 10^{100}$

第二次迭代：
现在我们用 $M_1$ 来近似中位数的值，然后计算新的 $n'$ 和 $ln(n')$。
我们想要找到的 $M$ 满足 $pi(M) approx frac{1}{2} pi(10^{100})$.
令 $M_{true}$ 是中位数。
$pi(M_{true}) approx frac{1}{2} frac{10^{100}}{ln(10^{100})}$.

如果我们用 $M_1 approx 0.48635 imes 10^{100}$ 来估算 $ln(M_{true})$:
$ln(M_{true}) approx ln(M_1) = ln(0.48635 imes 10^{100})$
$ln(M_{true}) approx ln(0.48635) + ln(10^{100})$
$ln(0.48635) approx 0.721$
$ln(M_{true}) approx 0.721 + 230.2585 = 229.5375$

现在我们用这个更精确的 $ln(M_{true})$ 来估算 $M$:
$M approx frac{10^{100}}{2 ln(10^{100})} imes ln(M_{true})$
$M approx frac{10^{100}}{2 imes 230.2585} imes 229.5375$
$M approx 0.002171 imes 10^{100} imes 229.5375$
$M approx 0.4981 imes 10^{100}$

请注意，迭代的公式应该是 $M_{i+1} = frac{10^{100}}{2 ln(10^{100})} ln(M_i)$ 或者使用 $p_n sim n ln(n)$。让我们用后者来迭代。

令 $N = pi(10^{100}) approx frac{10^{100}}{230.2585}$.
我们需要第 $n_{median} = N/2 approx 0.002171 imes 10^{100}$ 个素数。

迭代 1 (使用 $p_n sim n ln n$):
$n_0 = 0.002171 imes 10^{100}$
$M_0 = n_0 ln(n_0) = (0.002171 imes 10^{100}) ln(0.002171 imes 10^{100})$
$M_0 approx (0.002171 imes 10^{100}) (ln(0.002171) + ln(10^{100}))$
$ln(0.002171) approx 6.131$
$ln(10^{100}) approx 230.2585$
$M_0 approx (0.002171 imes 10^{100}) (6.131 + 230.2585) approx (0.002171 imes 10^{100}) imes 224.1275 approx 0.48636 imes 10^{100}$

迭代 2 (使用 $p_n sim n ln n$):
现在我们用 $M_0$ 来近似第 $n_{median}$ 个素数，并计算出新的 $n_{median}$。
我们要求的 $M$ 满足 $pi(M) approx n_{median}$.
如果 $M approx n_{median} ln(n_{median})$, 那么反过来 $n_{median} approx frac{M}{ln M}$.

我们现在用 $M_0$ 来估算 $n_{median}$ 的对数项。
$n_{median} approx frac{M_0}{ln(M_0)}$
$ln(M_0) approx ln(0.48636 imes 10^{100}) = ln(0.48636) + ln(10^{100})$
$ln(0.48636) approx 0.721$
$ln(M_0) approx 0.721 + 230.2585 = 229.5375$

现在用这个值来计算新的 $n_{median}$ 估算值：
$n_{median, 1} = frac{M_0}{ln(M_0)} approx frac{0.48636 imes 10^{100}}{229.5375} approx 0.002119 imes 10^{100}$

然后我们用这个新的 $n_{median, 1}$ 来计算下一个估算值 $M_1$:
$M_1 = n_{median, 1} ln(n_{median, 1})$
$M_1 = (0.002119 imes 10^{100}) ln(0.002119 imes 10^{100})$
$M_1 = (0.002119 imes 10^{100}) (ln(0.002119) + ln(10^{100}))$
$ln(0.002119) approx 6.156$
$ln(10^{100}) approx 230.2585$
$M_1 approx (0.002119 imes 10^{100}) (6.156 + 230.2585) approx (0.002119 imes 10^{100}) imes 224.1025 approx 0.4750 imes 10^{100}$

这个迭代似乎会发散或者收敛到我们一开始的预测值。让我们回到更直接的 $pi(M) approx frac{1}{2} pi(10^{100})$。

$frac{M}{ln(M)} approx frac{1}{2} frac{10^{100}}{ln(10^{100})}$

我们已经估计出 $ln(M) approx 229.5$.
所以 $M approx frac{10^{100}}{2 imes 230.26} imes 229.5 approx 0.498 imes 10^{100}$.

结论和精度范围

基于素数定理及其更精确的形式，我们可以估算：

大致范围： 中位数大约在 $0.48 imes 10^{100}$ 到 $0.50 imes 10^{100}$ 之间。
更精确的估计： 通过使用 $p_n sim n ln(n)$ 并进行迭代估算，我们得到了一个更精确的数值，大约为 $0.486 imes 10^{100}$。

精度分析的深度：

1. 素数定理的误差： $pi(x) = frac{x}{ln x} + frac{x}{(ln x)^2} + dots$ 这个级数表示了更精细的逼近。使用这些更高的阶项可以提高估算的精度。
例如，$pi(x) approx frac{x}{ln x} (1 + frac{1}{ln x})$
我们要求 $pi(M) approx frac{1}{2} pi(10^{100})$
$frac{M}{ln M} (1 + frac{1}{ln M}) approx frac{1}{2} frac{10^{100}}{ln 10^{100}} (1 + frac{1}{ln 10^{100}})$

设 $X = 10^{100}$，$ln X approx 230.26$
$frac{M}{ln M} (1 + frac{1}{ln M}) approx frac{X}{2 ln X} (1 + frac{1}{ln X})$

我们之前得到 $M approx 0.486 imes 10^{100}$。
那么 $ln M approx 229.5$.
$ln(ln M) approx 5.43$.

左侧：
$frac{0.486 imes 10^{100}}{229.5} (1 + frac{1}{229.5}) approx (0.002118 imes 10^{100}) (1 + 0.00436) approx 0.002127 imes 10^{100}$

右侧：
$frac{10^{100}}{2 imes 230.26} (1 + frac{1}{230.26}) approx (0.002171 imes 10^{100}) (1 + 0.00434) approx 0.002180 imes 10^{100}$

可以看到两者还是有差异，说明估算值 $0.486 imes 10^{100}$ 可能需要进一步调整。

更准确的来说，是寻找 $M$ 使得 $pi(M) approx N_{total}/2$。
用更精确的公式 $pi(x) approx ext{Li}(x)$。
$ ext{Li}(M) approx frac{1}{2} ext{Li}(10^{100})$

$ ext{Li}(x) approx frac{x}{ln x} (1 + sum_{k=1}^infty frac{(k1)!}{(ln x)^k})$
$ ext{Li}(10^{100}) approx frac{10^{100}}{230.26} (1 + frac{1}{230.26} + frac{1}{230.26^2} + dots)$
$ ext{Li}(10^{100}) approx 4.343 imes 10^{97} (1 + 0.00434 + 0.000019 + dots) approx 4.362 imes 10^{97}$

所以，我们要求 $ ext{Li}(M) approx frac{1}{2} imes 4.362 imes 10^{97} = 2.181 imes 10^{97}$。

现在我们需要解 $ ext{Li}(M) approx 2.181 imes 10^{97}$。
继续使用近似 $ ext{Li}(M) approx frac{M}{ln M}$.
$frac{M}{ln M} approx 2.181 imes 10^{97}$

假设 $M approx 0.5 imes 10^{100}$. $ln M approx 229.5$.
$frac{0.5 imes 10^{100}}{229.5} approx 0.002178 imes 10^{100} = 2.178 imes 10^{97}$。
这个结果与 $2.181 imes 10^{97}$ 非常接近。

如果我们使用 $M approx 0.498 imes 10^{100}$。$ln M approx 229.5375$.
$frac{0.498 imes 10^{100}}{229.5375} approx 0.002170 imes 10^{100} = 2.170 imes 10^{97}$。
这个结果也相当接近。

我们用 $M approx 0.486 imes 10^{100}$。$ln M approx 229.549$.
$frac{0.486 imes 10^{100}}{229.549} approx 0.002117 imes 10^{100} = 2.117 imes 10^{97}$。
这个结果稍微偏离一些。

2. 计算精度： 使用高精度计算库（如 GMP for C++ 或 Decimal for Python）可以确保对数函数和乘法运算的精度足够高，避免因浮点误差累积导致结果偏差。

总结估算精度：

小数点后零位的精度 (数量级)： $0.49 imes 10^{100}$。我们可以非常肯定地说，中位数在 $0.4 imes 10^{100}$ 到 $0.6 imes 10^{100}$ 的范围内。
小数点后一到两位精度： 我们可以估算到 $0.48 imes 10^{100}$ 到 $0.50 imes 10^{100}$ 的范围。
小数点后三位甚至四位精度： 这就进入了更复杂的数学分析和数值计算领域。基于素数定理的高阶项和更精确的数值积分，我们可以推测出更精确的数值。我目前的估算显示在 $0.48 imes 10^{100}$ 的量级，并且通过迭代可以逼近到小数点后一到两位。

要达到例如 $0.48673 imes 10^{100}$ 这样的精度，需要使用更高级的数学工具，例如黎曼猜想的某些结果对 $pi(x)$ 的误差项有更强的界定，但这还没有被证明。

最终的估算范围和精度：

基于对素数定理的理解和数值估算，我可以提供以下范围和精度：

非常可靠的范围（数量级精度）： $10^{100}$ 内素数的中位数非常接近 $0.5 imes 10^{100}$。换句话说，它比 $10^{100}$ 的一半略小一些，但大致在这个数量级。
精确度估算（基于更细致的素数定理分析）： 中位数大约在 $0.48 imes 10^{100}$ 到 $0.50 imes 10^{100}$ 的范围内。更进一步的计算（如上面更精细的迭代）表明，它可能更接近 $0.48 imes 10^{100}$ 的量级。

如果要求小数点后更多的位数，例如 $0.486 imes 10^{100}$，那么就需要对素数定理的误差项有更深入的了解和更精确的计算。我可以自信地说，通过现有理论，小数点后一到两位的精度是我们可以相当有把握达到的。要再高，则需要依赖于尚未被证明的数学猜想或极其复杂的数值计算。

粗略计算

根据素数定理，记 是 以内素数的个数，则 。

所以， 以内大约有 个素数，其中位数是第 个，用素数定理反推大约是 。

素数定理给出的更精确的估计是对数倒数积分函数 ，用这个算， 以内大约有 个素数，中位数是第 个，反推大约是 。

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误差分析

记 。下面的不等号推理不太严格，但是从数值估算的角度来看很大程度上正确。

我所能找到的有关用 估计 导致的误差最精细的估计是：假设 Riemann 猜想成立，则对于 有 。^[1]

于是， 与 的相对误差不超过 ，这也是 与 的相对误差限。

记 是所求的中位数，则 。忽略取整导致的 数量级的误差。 与 的相对误差限是 。

所以 与 的相对误差限是 ，

。右面这一大堆算出来大约是 ，所以 的相对误差限是 ，也就是有 个正确的有效数字。

所以：

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补充部分

（为了写下面这几部分，我临时查了不少东西。所以，如有错误，还请指正。）

部分参考资料：英文维基：素数计数函数 / 一篇有关 π(x) 与 Δ(x) 的介绍 / Wolfram : Riemann 素数计数函数 （维基放的链接是国内的万维镜像，所以能打开）

既然我们在算误差的时候已经假设了 Riemann 猜想成立，何不更进一步放飞自我。这一段话中的“好像”（对应英文维基原文 heuristically ）指的是“还没有人证明，但是直观上看上去是对的”。

接下来，略微改动一下 ：对于实数 ，定义 ，也就是，在素数以外的地方不变，在 是素数的地方减少 。

Riemann（以及 mathematica）使用的对数倒数积分函数是 ，当 时在间断点 处取 Cauchy 主值（即 ）。

他定义了 Riemann R 函数：

其中 是 Möbius 函数^[2]， 是 Riemann zeta 函数。

于是， Riemann 证明了，对于任意 ，都有（注意，是等号！）

其中 表示对 Riemann 函数的所有非平凡^[3]零点求和。

其实如果求和算上平凡零点，即所有负偶数，会变成 。

令 ，我们发现 好像是 的“光滑部分”，剩下的求和在零左右反复震荡好像是“震荡部分”，而且振幅大约是 。

令 。前面提到的那篇介绍更仔细地讲解了 ，列出了 以内的一些 值，并画了图像（横轴是对数标尺）：

我们猜测： 。这是一个比 Riemann 猜想还要强的命题，我们希望它至少在 以内成立。如果确实这样，"so one can use p(x) as the best estimator of π(x) for x >1."（出自上面提到的维基页面，原文中 p(x) 处写的是完整表达式。）

假如是这样，那么 ，我们就可以用这个 代替前面的 来推出结论，这样来做的绝对误差限是 ，相对误差限是 ，稍小于上一次的二千分之一。

于是，我们有 个正确的有效数字（多了三个！）

所以：

注记：这已经到了目前的（我看到了的）估算方法中可能到达的精确度的极限。距离上面算出来的近似值 最近的素数是 4 984 815 928 844 507 370 400 314 010 830 339 198 081 983 721 569 986 102 328 056 349 605 167 556 822 669 810 566 351 745 617 383 663，但是， 可能出现的区间有 这么长，这个区间中大约有 个素数，所以即使我们假定成立的猜想全都确实正确，上面那个数恰好是正确答案也是机会渺茫。以有涯随无涯，殆矣。

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假如 Riemann 被 Fermat 附身 猜错了

目前为止可用的最精确的不假定 Riemann 猜想就能证明的（即可以保证正确的）误差估计由 Trudgian 于 2014 年证明^[4]：当 时

但是，我直接用这个误差控制去算，发现答案的精度是 ，只有两个有效数字，相对误差限是 。虽然确实不应当对精度像前面的 数量级那样做太高期望，但是这种精度也太拉跨了吧。

上面这个是英文维基百科上记载的最新结论。 arXiv 上在此之后另有一篇 2019 年的文章，（宣称）证明了 这比 Trudgian 的估计更小，但是因为 过分大了，所以对我们的问题无效。

于是我找到 Trudgian 的论文，发现他的公式中的常数极大程度上是对 的情形的妥协（见论文第 3 页 Theorem 1 的证明），而我们不需要用到这么大的数据。针对 的数据范围，可以利用他的方法和数据去得到更精确的结论。（后面所引用的两篇论文都是 Trudgian 论文的参考文献）

Schoenfeld: Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x) 第 265 页，式 (5.3) 证明了：对任意正数 ，

。

， ，求和指标 表示素数。

记 ，则 。

再记 ，Laura Faber, Habiba Kadiri: New bounds for ψ(x) 的附表 4 给出了 在不同区间中的上界 。我计算时，挑选了表中的几个数据，采用了这样的分段函数：

log x >	log 2	20	100	200
ε_0 (x)=	0.04*	5.74 e-4	2.47 e-11	2.41 e-11

*：并未列入表中，而是出自 Trudgian 论文。

这样，令 ， 。

Trudgian 论文中式 (8) 提到，

所以，

而最后这堆东西是容易算出来的。

最终的结果是：

的可证明绝对误差限是 ，相对误差限是 。也就是我们有 个就算 Riemann 猜想不对也能保证正确的有效数字：

。

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精确计算的复杂度（待续）

我声称待续但是一直都没有来续，是因为（目前为止我找到的）改进求 的算法的那篇文章有点难读。

我最终会填上这个坑，但是可能会很慢。

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猫

参考

1. ^参见  https://en.wanweibaike.com/wiki-Prime%20Number%20Theorem#cite_note-14
2. ^ n 有平方因子时 μ(n) = 0，否则设 n 是 t 个不同素数的乘积，则 μ(n) = (-1)^t 。
3. ^ 非平凡就是具有正实部的，也就是 Riemann 猜想讨论的那些。
4. ^这里维基百科写的是 2016 年，可能指的是发表到刊物上的时间。我写的 2014 年是论文放在 arXiv 上的时间。参见 https://en.wanweibaike.com/wiki-Prime%20Number%20Theorem#cite_ref-12