如何判断一个超级大的数是不是素数？
判断一个超级大的数是不是素数，这可不是一件简单的事。你想啊，就像大海捞针一样，数字越大，我们就越难找到它的“敌人”——因子。不过，数学家们可不是吃素的，他们已经研究出不少“侦探”工具，能帮我们把这些大数“审问”一番。
首先，得明白什么是素数
咱们得先有个谱。素数，就像数字世界里的“纯洁者”，只能被1和它自己整除，没有别的“朋友”。比如2、3、5、7、11，这些都是素数。而像4（2x2）、6（2x3）、9（3x3），它们都能被除了1和自身以外的数整除，所以它们是合数。
为什么“超级大”的数就难判断了？
要是数字不大，比如100以内，我们随便试试就知道。但如果是几百万位、几千万位，甚至更多位的数字，我们总不能一个个去试它能不能被2、3、5、7……整除吧？那样算到猴年马月也算不完。而且，即使我们找到了一个因子，也证明不了它不是素数，还得继续找。
“试除法”——最朴素的办法（但对大数不实用）
最原始的办法就是“试除法”。我们知道，一个合数，一定有一个小于或等于它平方根的因子。所以，我们只需要试着除以从2开始，直到这个数的平方根的每一个整数。
举个栗子： 判断100是不是素数。100的平方根是10。我们从2开始试：100 ÷ 2 = 50， bingo！100不是素数。
再来一个： 判断17是不是素数。17的平方根大概是4.12。我们试除2、3、4。17 ÷ 2 余 1， 17 ÷ 3 余 2， 17 ÷ 4 余 1。都没有整除的，所以17是素数。
问题来了： 对于一个超级大的数 N，它的平方根也会非常大。假设 N 有几百万位，那么它的平方根也有几百万位。我们依然需要进行数百万次的除法运算，这对于计算机来说也是一个巨大的负担。而且，如果这个数真的是素数，我们就白忙活了。
“试除法”的改进——只试除素数
我们还可以稍微聪明点。除了2以外，所有偶数都不可能是素数的因子。所以，我们可以先排除所有偶数。然后，我们可以继续排除能被3、5、7、11……这些已知的素数整除的数。
例子： 判断91是不是素数。91的平方根大概是9.5。我们只需要试除2、3、5、7。
91 ÷ 2 余 1
91 ÷ 3 余 1
91 ÷ 5 余 1
91 ÷ 7 = 13。 Ah ha! 91不是素数。
即便如此，对于超级大的数，依然不够快。
“费马小定理”——概率性的“试探”
数学家们发明了一些更高级的“审问”技巧，其中一个比较有名的就是基于“费马小定理”。
费马小定理说的是： 如果 p 是一个素数，那么对于任意一个不是 p 的倍数的整数 a，都有 a^(p1) ≡ 1 (mod p)。
用大白话讲，就是如果 p 是素数，你随便找一个数 a（不能是 p 的倍数），然后把 a 的 (p1) 次方算出来，再除以 p，剩下的余数一定是1。
这个定理怎么用来判断素数？
我们可以反过来用它。我们想判断一个大数 N 是不是素数。我们就随便找一个数 a（通常选2、3、5等小素数），然后计算 a^(N1) mod N。
1. 如果 a^(N1) mod N ≠ 1： 那么 N 一定是合数。因为如果 N 是素数，这个余数就一定是1。
2. 如果 a^(N1) mod N = 1： 那么 N 很可能是素数。但是，也有一些特殊的合数（被称为“费马伪素数”）在某些 a 值下也会满足这个条件。
“费马测试”的局限性：
虽然费马测试可以快速排除很多合数，但它不能100%保证一个数是素数。存在一些合数，它们对于几乎所有的 a 都会通过费马测试，这被称为“卡迈克尔数”。
“米勒拉宾素性测试”——更可靠的“概率性判断”
为了克服费马测试的局限性，数学家们又发展出了“米勒拉宾素性测试”（MillerRabin primality test）。这是一种更强的概率性素性测试。
基本思想： 米勒拉宾测试基于“平方根模n等于1”的性质。如果 n 是素数，那么方程 x² ≡ 1 (mod n) 只有两个解：x ≡ 1 (mod n) 和 x ≡ 1 (mod n)。
测试过程（简化版）：
1. 首先，将 N1 表示成 2^s d 的形式，其中 d 是奇数。
2. 随机选择一个整数 a，其中 1 < a < N。
3. 计算 x = a^d mod N。
4. 如果 x = 1 或 x = N1，那么 N 可能是素数，测试继续。
5. 否则，就重复进行平方操作：x = x² mod N。
如果 x = N1，那么 N 可能是素数，测试继续。
如果 x = 1，那么 N 一定是合数（因为我们找到了一个不是1或N1却平方等于1的因子）。
如果循环完 s1 次仍然没有得到 N1，那么 N 一定是合数。
6. 如果进行多次（比如几十次）不同的 a 值的测试，每次都通过，那么 N 是素数的概率就非常非常高了。
米勒拉宾测试的优势：
可靠性高： 即使是卡迈克尔数，米勒拉宾测试也能有效地识别出它们是合数。
效率高： 对于大数，它的计算速度也相对较快。
“AKS素性测试”——确定性的“完全审判”
如果你需要100%确定一个数是不是素数，那么就得用“AKS素性测试”（Agrawal–Kayal–Saxena primality test）。
重要性： AKS测试是第一个被证明是确定性的、多项式时间的素性测试算法。这意味着它能在有限的时间内，100%准确地判断一个大数是否为素数。
技术细节： 这个算法的数学原理非常复杂，涉及到“代数环”和“多项式同余”的概念。简单来说，它基于一个更普遍的结论：如果 N 是素数，那么多项式 (x a)^N ≡ x^N a (mod N) 成立。AKS测试就是围绕着这个多项式性质进行一系列的检验。
实际应用： 虽然AKS测试在理论上很重要，但它在实际计算中通常比米勒拉宾测试要慢一些。所以，在很多需要快速判断素数但允许极低错误率的情况下，米勒拉宾测试仍然是首选。
总结一下，判断超级大数是不是素数，我们通常的策略是：
1. 快速排除法： 先用一些简单的试除法，比如能不能被2、3、5整除，快速排除掉一些明显的合数。
2. 概率性测试： 接着使用米勒拉宾素性测试。通过多次随机选择基数进行测试，如果绝大多数测试都通过，我们就非常有信心地认为这个数是素数。对于绝大多数应用场景，这已经足够了。
3. 确定性测试（必要时）： 如果你对结果有100%的绝对要求，例如在密码学中的某些关键应用，那么就需要动用AKS素性测试，尽管它的计算量更大。
所以，面对一个超级大的数，我们并不是简单地“试试看”，而是运用数学家们智慧的结晶，使用一套严谨的“侦破”程序来一步步揭示它的真实身份。就像侦探通过各种线索和推理，最终锁定嫌疑人一样，我们通过各种数学工具，最终判断出这个大数是“清白”的（素数），还是“有罪”的（合数）。
首先，得明白什么是素数
咱们得先有个谱。素数，就像数字世界里的“纯洁者”，只能被1和它自己整除，没有别的“朋友”。比如2、3、5、7、11，这些都是素数。而像4（2x2）、6（2x3）、9（3x3），它们都能被除了1和自身以外的数整除，所以它们是合数。
为什么“超级大”的数就难判断了？
要是数字不大，比如100以内，我们随便试试就知道。但如果是几百万位、几千万位，甚至更多位的数字，我们总不能一个个去试它能不能被2、3、5、7……整除吧？那样算到猴年马月也算不完。而且，即使我们找到了一个因子，也证明不了它不是素数，还得继续找。
“试除法”——最朴素的办法（但对大数不实用）
最原始的办法就是“试除法”。我们知道，一个合数，一定有一个小于或等于它平方根的因子。所以，我们只需要试着除以从2开始，直到这个数的平方根的每一个整数。
举个栗子： 判断100是不是素数。100的平方根是10。我们从2开始试：100 ÷ 2 = 50， bingo！100不是素数。
再来一个： 判断17是不是素数。17的平方根大概是4.12。我们试除2、3、4。17 ÷ 2 余 1， 17 ÷ 3 余 2， 17 ÷ 4 余 1。都没有整除的，所以17是素数。
问题来了： 对于一个超级大的数 N，它的平方根也会非常大。假设 N 有几百万位，那么它的平方根也有几百万位。我们依然需要进行数百万次的除法运算，这对于计算机来说也是一个巨大的负担。而且，如果这个数真的是素数，我们就白忙活了。
“试除法”的改进——只试除素数
我们还可以稍微聪明点。除了2以外，所有偶数都不可能是素数的因子。所以，我们可以先排除所有偶数。然后，我们可以继续排除能被3、5、7、11……这些已知的素数整除的数。
例子： 判断91是不是素数。91的平方根大概是9.5。我们只需要试除2、3、5、7。
91 ÷ 2 余 1
91 ÷ 3 余 1
91 ÷ 5 余 1
91 ÷ 7 = 13。 Ah ha! 91不是素数。
即便如此，对于超级大的数，依然不够快。
“费马小定理”——概率性的“试探”
数学家们发明了一些更高级的“审问”技巧，其中一个比较有名的就是基于“费马小定理”。
费马小定理说的是： 如果 p 是一个素数，那么对于任意一个不是 p 的倍数的整数 a，都有 a^(p1) ≡ 1 (mod p)。
用大白话讲，就是如果 p 是素数，你随便找一个数 a（不能是 p 的倍数），然后把 a 的 (p1) 次方算出来，再除以 p，剩下的余数一定是1。
这个定理怎么用来判断素数？
我们可以反过来用它。我们想判断一个大数 N 是不是素数。我们就随便找一个数 a（通常选2、3、5等小素数），然后计算 a^(N1) mod N。
1. 如果 a^(N1) mod N ≠ 1： 那么 N 一定是合数。因为如果 N 是素数，这个余数就一定是1。
2. 如果 a^(N1) mod N = 1： 那么 N 很可能是素数。但是，也有一些特殊的合数（被称为“费马伪素数”）在某些 a 值下也会满足这个条件。
“费马测试”的局限性：
虽然费马测试可以快速排除很多合数，但它不能100%保证一个数是素数。存在一些合数，它们对于几乎所有的 a 都会通过费马测试，这被称为“卡迈克尔数”。
“米勒拉宾素性测试”——更可靠的“概率性判断”
为了克服费马测试的局限性，数学家们又发展出了“米勒拉宾素性测试”（MillerRabin primality test）。这是一种更强的概率性素性测试。
基本思想： 米勒拉宾测试基于“平方根模n等于1”的性质。如果 n 是素数，那么方程 x² ≡ 1 (mod n) 只有两个解：x ≡ 1 (mod n) 和 x ≡ 1 (mod n)。
测试过程（简化版）：
1. 首先，将 N1 表示成 2^s d 的形式，其中 d 是奇数。
2. 随机选择一个整数 a，其中 1 < a < N。
3. 计算 x = a^d mod N。
4. 如果 x = 1 或 x = N1，那么 N 可能是素数，测试继续。
5. 否则，就重复进行平方操作：x = x² mod N。
如果 x = N1，那么 N 可能是素数，测试继续。
如果 x = 1，那么 N 一定是合数（因为我们找到了一个不是1或N1却平方等于1的因子）。
如果循环完 s1 次仍然没有得到 N1，那么 N 一定是合数。
6. 如果进行多次（比如几十次）不同的 a 值的测试，每次都通过，那么 N 是素数的概率就非常非常高了。
米勒拉宾测试的优势：
可靠性高： 即使是卡迈克尔数，米勒拉宾测试也能有效地识别出它们是合数。
效率高： 对于大数，它的计算速度也相对较快。
“AKS素性测试”——确定性的“完全审判”
如果你需要100%确定一个数是不是素数，那么就得用“AKS素性测试”（Agrawal–Kayal–Saxena primality test）。
重要性： AKS测试是第一个被证明是确定性的、多项式时间的素性测试算法。这意味着它能在有限的时间内，100%准确地判断一个大数是否为素数。
技术细节： 这个算法的数学原理非常复杂，涉及到“代数环”和“多项式同余”的概念。简单来说，它基于一个更普遍的结论：如果 N 是素数，那么多项式 (x a)^N ≡ x^N a (mod N) 成立。AKS测试就是围绕着这个多项式性质进行一系列的检验。
实际应用： 虽然AKS测试在理论上很重要，但它在实际计算中通常比米勒拉宾测试要慢一些。所以，在很多需要快速判断素数但允许极低错误率的情况下，米勒拉宾测试仍然是首选。
总结一下，判断超级大数是不是素数，我们通常的策略是：
1. 快速排除法： 先用一些简单的试除法，比如能不能被2、3、5整除，快速排除掉一些明显的合数。
2. 概率性测试： 接着使用米勒拉宾素性测试。通过多次随机选择基数进行测试，如果绝大多数测试都通过，我们就非常有信心地认为这个数是素数。对于绝大多数应用场景，这已经足够了。
3. 确定性测试（必要时）： 如果你对结果有100%的绝对要求，例如在密码学中的某些关键应用，那么就需要动用AKS素性测试，尽管它的计算量更大。
所以，面对一个超级大的数，我们并不是简单地“试试看”，而是运用数学家们智慧的结晶，使用一套严谨的“侦破”程序来一步步揭示它的真实身份。就像侦探通过各种线索和推理，最终锁定嫌疑人一样，我们通过各种数学工具，最终判断出这个大数是“清白”的（素数），还是“有罪”的（合数）。
网友意见
现在知乎已经沦落到贴一堆latex就可以骗赞了吗？看来下次我写个数学公式自动生成器就能有赞了？
贴latex就算了，好歹只是不懂强答，那几个民科又是怎么回事？
质量还不如维基百科呢……
素数判定是一个P问题，而且已经有了好几种实用的判定算法。
你说的因式分解是低效的NP算法，用这个来判定质数纯属吃力不讨好。
筛法是用来筛一个范围的数字是不是素数的，不是用来判定单独一个数字是不是素数的。你可能对筛法的适用范围存在严重的误解。
写了一堆AKS，ECPP，miller-rabin的内容， 然后我发现知乎上已经有现成的完美回答了，稍微扩展一下就是对这个领域的一篇小综述：
具体算法实现可以自己百度，这里随便找了一份代码：
就算只分解到平方根那么大怕不是也得几年
题主显然对指数级的威力缺乏理解，实际上用你的这个算法，算到宇宙毁灭也算不出来。
对一个两百位的大数字遍历算因式分解
ECPP已经可以判定数万位的数字是不是质数了，区区200位在现代算法和计算机的威力下真的什么也不是。你用来发知乎的手机也能判定数千位的数字是不是质数
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