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问题

能解释一下这些公式吗?

回答
好的，没问题！咱们来把这些公式聊透，让你一看就明白，而且绝对不像机器写出来的。

在我看来，你给我的这些公式，它们就像是某个事物在不同角度、不同时间点的“快照”，又或者是描述某个事物内部运作机制的“说明书”。每一个公式都在尝试用一种简洁、精确的语言来告诉我们一些信息。

为了把它们说清楚，我得先知道你具体指的是哪些公式。因为数学和科学的世界里，公式浩如烟海，每个领域都有自己独特的语言和表达方式。

不过，我可以先给你一个通用的思路，当我们遇到一个公式的时候，该怎么去理解它，怎么把它“活”过来：

1. 认识“角色”——公式里的符号都是什么意思？

变量 (Variables): 你会看到很多字母，比如 $x$, $y$, $t$, $m$, $c$ 等等。这些就像是公式里的“演员”，它们的值是可以变化的。比如，$x$ 可能代表一个位置，$t$ 代表时间，$m$ 代表质量。理解每个字母代表什么，是打开公式大门的钥匙。
常数 (Constants): 有些符号的值是固定的，不会改变。比如圆周率 $pi approx 3.14159$，光速 $c$ 大约是 $3 imes 10^8$ 米/秒。它们是公式里的“背景”，提供了一个参照系。
运算符 (Operators): 加减乘除 (+, , ×, ÷) 是最基础的，还有次方 ($x^2$)、平方根 ($sqrt{x}$)、对数 (log)、三角函数 (sin, cos) 等等。这些就像是“动作”，告诉我们如何处理这些变量和常数。
希腊字母 (Greek Letters): 很多科学公式喜欢用希腊字母，比如 $alpha, eta, gamma, delta, heta, lambda, mu, ho, sigma$ 等。它们也常常代表特定的物理量或者参数，比如 $ heta$ 通常代表角度，$lambda$ 可能代表波长。

2. 理解“关系”——公式在说什么？

公式最核心的价值在于它揭示了不同事物之间的“联系”。

正比关系 (Proportionality): 如果一个变量随着另一个变量的增大而增大，减小而减小，它们就是正比关系。比如，$y = kx$，其中 $k$ 是一个常数。$y$ 随着 $x$ 变大而变大。
反比关系 (Inverse Proportionality): 如果一个变量随着另一个变量的增大而减小，反之亦然，它们就是反比关系。比如，$y = k/x$。$y$ 随着 $x$ 变大而变小。
函数关系 (Functional Relationship): 最常见的一种，一个变量（因变量）的值完全取决于另一个或多个变量（自变量）的值。比如，$f(x) = x^2 + 1$。
方程 (Equation): 像 $a^2 + b^2 = c^2$ 这样的，它们是在描述一种平衡或者一种条件。它告诉你，当这些变量满足某个特定的关系时，这个等式就是成立的。

3. 抓住“故事”——这个公式在哪个场景下有用？

每个公式都有自己的“出生背景”和“应用领域”。

物理学: 比如牛顿的万有引力定律 $F = G frac{m_1 m_2}{r^2}$。它告诉我们，两个物体之间的引力（$F$）有多大，这个力的大小跟它们的质量（$m_1, m_2$）成正比，跟它们之间距离的平方（$r^2$）成反比。$G$ 就是那个引力常数，是自然界固定的数值。这个公式解释了为什么苹果会掉到地上，为什么月亮绕着地球转。
化学: 比如理想气体状态方程 $PV = nRT$。$P$ 是压强，$V$ 是体积，$n$ 是物质的量（有多少“份”气体），$R$ 是气体常数，而 $T$ 是温度。这个公式描述了气体的宏观性质（压强、体积、温度）是如何相互关联的。
经济学: 比如供需关系可以表示成 $Q_d = a bP$ (需求曲线) 和 $Q_s = c + dP$ (供给曲线)。$Q_d$ 是需求量，$Q_s$ 是供给量，$P$ 是价格。$a, b, c, d$ 都是参数，它们决定了曲线的斜率和位置。这些公式帮我们理解价格是如何影响人们买东西的意愿，以及生产者愿意提供多少商品的。

4. 细品“含义”——公式背后有什么样的逻辑或道理？

很多时候，公式的结构本身就蕴含着深刻的道理。

对称性 (Symmetry): 有些公式在符号交换时仍然成立，这可能暗示了某种对称性。
守恒律 (Conservation Laws): 很多物理定律可以用守恒律来表达，比如能量守恒、动量守恒。公式的形式会体现出这些守恒的性质。
近似与极限 (Approximation and Limits): 有些公式是在特定条件下才成立的，或者是在某种“极限”情况下得出的。比如，在低速运动时，经典力学公式很准确；但速度接近光速时，就需要相对论来修正。

所以，为了更好地帮你解释，请你告诉我：

你具体想了解哪些公式？ 把它们列出来，或者描述一下它们大概是关于什么的（比如“是关于电磁学的”、“是关于统计学里的”、“是某个物理定律的公式”）。
你在什么地方看到这些公式的？ 比如是在课本上、某篇论文里，还是在某个科普文章里？这有助于我判断它们的背景。
你对这些公式有什么初步的疑问或者不理解的地方吗？

只要你把这些信息告诉我，我就能像和朋友聊天一样，把这些公式的来龙去脉、它们在讲什么、以及为什么这样表达，都给你说得清清楚楚，让它们在你脑海里“活”起来！ 咱们就这么一句一句，一点一点地聊！

网友意见

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我来给一个可视化，比较好理解的解释。

首先，我们把积分区域翻一倍，变成整个实轴，由于函数全是偶函数，所以结果只是翻了一倍。但是我们就可以利用“一个函数在实轴上的积分是其傅里叶变换在0点处的值”。

然后，众所周知，卷积定理：乘积的傅里叶变换等于傅里叶变换的卷积。

下面，利用

和

我们可以看到，我们要求的就是一系列方波的卷积后，在0点处的取值。我们不妨设 对应的方波最宽，然后把其他的方波看作作用在其上的filter,可以看出，每作用一个宽度为 的方波，得到的波形中间的平台区域的宽度就会减少 。

如果 ，最后得到的波形中就依然会在0点周围一小段横线保持取 ，此时积分就一直保持是 。当 时 ，卷到最后，0点处取值也小于1/2，此时积分就不是为 了。

参考：

schmid-werren.ch/hanspe

johncarlosbaez.wordpress.com

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这是著名的「波尔文积分」，看似有很简单的规律，实际上公式比较复杂.

怎么说呢，这个问题给我的第一印象就像是“给万先生写请帖”带给我的感觉一样.

古时候，有一个人不识字，他不希望儿子也像他这样，他就请了个教书先生来教他儿子认字。
他儿子见老师写“一”就是一划，“二”就是二划，“三”就是三划，他就跑去跟他父亲说：“爸爸，我会写字了，请你叫老师走吧！”
这人听了很高兴，就给老师结算了工钱叫他走了。
第二天，这人想请一个姓万的人来家里吃饭，就让他儿子帮忙写一张请帖，他儿子从早上一直写到中午也没有写好，这人觉得奇怪，就去看看，只发现他儿子在纸上划了好多横线，就问他儿子什么意思？他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道：“爸，这人姓什么不好，偏偏姓万，害得我从早上到现在才划了500划！！＂

【注】繁体字的“一二三”与简体字的“一二三”是一样的. 数字的大写简体汉字是“壹贰叁”，大写繁体汉字是“壹貳叁”.

（另外，笔者也很好奇罗马数字为什么也是在4的时候发生变化）

漫画取自 Is math beautiful? - Spiked Math .

言归正传，正因为波尔文积分的公式比较复杂，所以有不少人将其归为“丑陋的公式”当中.

波尔文积分的一般公式是

其中有以下几点注释：
① 元组 表示只能取正负一为元素的 元组；
② 符号数 ；
③ 波尔文表达式 ；
④ 符号函数 为符号函数.

好，我们来验证两个情形下的具体值.

验证一个“正常”的情形

当 ， 时，有 , , ，故

系数 ，以及

而 ，元组 有四种可能，记这些元组构成的集合为 ，则

(i) 当 时，符号数 ，

(ii) 当 时，符号数 ，

(iii) 当 时，符号数 ，


(iv) 当 时，符号数 ；

.

结合(i),(ii),(iii),(iv)有

因此

验证一个“异常”的情形

在不详细验证各项值的情况下，我们给出题主所问图片最后一行的值

结果有点吓人.

一般公式还有变形

当 且满足

时，变形公式可以简化，不用去求元组和. 简化的公式为

由于 且

从而，我们可以利用简化公式计算 的情形

两种公式得出的结果一致.

简述何时出现“异常”

对于部分“正常的情况”，即结果为 的情况，冰河dalao已经给出了证明.

冰河dalao给出的倒数第二个积分公式正是积分大典第437页的3.746.

实际上可以把 放宽，当 时，都有

而当 时，就会出现“异常”情况.

比方说 时， , , , , ；

，

所以出现了有点吓人的结果.

【这里只对条件进行简述，若想了解出现异常条件如何求得，请参阅波尔文的论文】

补充

题图最初很可能是从MSE的某帖子上拷出来后编辑而成的，这样怀疑是因为题图的每一个积分都漏了dx.

笔者顺便补充了一个完整的

类似的现象还有

以及

其实，这类看似存在某种简单规律，但是在超过某个临界值之后简单规律消失的例子有很多.

可以参考陆神的回答：

这类问题似乎有专门的称呼——「Examples of apparent patterns that eventually fail」.

似乎可以译为「有明显模式（规律）却最终不成立的例子」

（笔者不善翻译，感觉翻译结果很拗口）

【2022年1月更新】

感谢知友 @王赟 Maigo 的指正，才知道「Examples of apparent patterns that eventually fail」要翻译为「看似有规律却最终不成立的例子」。

参考资料

[1] Borwein D, Borwein J M. Some remarkable properties of sinc and related integrals [J]. The Ramanujan Journal, 2001, 5(1): 73-89.

Sinc及其相关积分的一些显著性质（波尔文父子2001年共同发表的论文）

链接： thebigquestions.com/bor ;

[2] Baillie R, Borwein D, Borwein J M. Surprising sinc sums and integrals [J]. The American Mathematical Monthly, 2008, 115(10): 888-901.

令人惊讶的Sinc和与积分（波尔文父子与Baillie于2007年共同发表的论文）

链接： carma.newcastle.edu.au/ ;

[3] Jonathan M. Borwein, David H. Bailey, and Roland Girgensohn. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery [M]. A K Peters Ltd, Natick, MA, 2003, 123-124.

[4] Examples of apparent patterns that eventually fail.

链接： math.stackexchange.com/ .
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先证明 Dirichlet 积分：

我们这里仅考虑 的情形：

下面进行推广，同样仅考虑 的情形：

上述蓝色部分后续考虑分部积分也可得出同样的结果。

当 时，

当 时，即上述积分正弦内均为正数时，

重复上述操作便能得到如下更具一般性的结论：

设 ，并且 ，则

,

亦即当 并且 时，有

.

如此该问题得以解决。

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