有哪些少见却实用的求积分的经验技巧？

在与微积分的漫长斗争中，我们往往依赖教科书上那些经典的套路：换元法、分部积分、三角替换、部分分式等等。这些方法固然是基石，但就像武林绝学一样，真正的强者总有几招不为人知的奇招妙式。今天，我想和大家分享一些我个人在实践中摸索出来的，不那么主流，但屡试不爽的求积分的“偏门”技巧，希望能为大家打开新的思路。

技巧一：巧妙的“加减零”与“乘除一”

这听起来像是小学数学题，但在积分里，它可以是化繁为简的绝妙手段。核心思想是：在被积函数中，通过适当的加减一个量或者乘除一个量，使得表达式的结构发生有利于积分的变化，而整体的值不变。

加减零的艺术：
例子： 考虑积分 $int frac{x+2}{x^2+4x+5} dx$。
直接看，分母的导数是 $2x+4$。分子是 $x+2$。如果分子是 $2x+4$ 就好了，可以直接用换元法。
这时候，“加减零”就派上用场了。我们可以在分子上“变魔术”：
$frac{x+2}{x^2+4x+5} = frac{1}{2} cdot frac{2(x+2)}{x^2+4x+5} = frac{1}{2} cdot frac{2x+4}{x^2+4x+5}$
看，我们在分子上巧妙地乘了2，然后为了保持原样，再在外面乘一个 $frac{1}{2}$。这样，分子就变成了分母的导数，积分就变得容易了：
$int frac{x+2}{x^2+4x+5} dx = frac{1}{2} int frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx = frac{1}{2} ln|x^2+4x+5| + C$
再比如，遇到 $int frac{1}{x^2+2x+3} dx$ 这种，分母是二次的，求导也不是简单的形式。我们可以配方：$x^2+2x+3 = (x+1)^2 + 2$。
现在我们需要一个形如 $int frac{1}{u^2+a^2} du = frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C$ 的形式。
在分子上，我们“加减零”的操作就是：
$int frac{1}{(x+1)^2+2} dx$
为了凑成 $arctan$ 的形式，我们希望分子出现 $x+1$ 的项。虽然这里分子是1，但我们可以将其看作是 $0 cdot (x+1) + 1$。
更直接的做法是，如果我们看到了分母的导数是 $2x+2$，而分子是1，我们可以考虑：
$int frac{1}{x^2+2x+3} dx = int frac{1}{(x+1)^2+2} dx$
我们可以强制凑出分母导数的一部分：
$frac{1}{(x+1)^2+2} = frac{1}{2} cdot frac{2}{(x+1)^2+2}$
这里没能直接凑出分子是分母的导数。但是，如果我们对分母配方：$x^2+2x+3 = (x+1)^2 + 2$。
为了得到 $frac{1}{a} arctan(frac{u}{a})$ 的形式，我们需要凑出 $sqrt{2}$。
$int frac{1}{(x+1)^2+2} dx = int frac{1}{(sqrt{2})^2 (frac{(x+1)^2}{2}+1)} dx = int frac{1}{2 (frac{x+1}{sqrt{2}})^2+2} dx$
不，这个方向有点偏。正确思路是：
$int frac{1}{(x+1)^2+2} dx$
我们希望得到 $int frac{1}{u^2+a^2} du$ 的形式，其中 $u = x+1$， $a^2=2$，即 $a=sqrt{2}$。
积分变成 $int frac{1}{u^2+(sqrt{2})^2} du$。
为了凑出 $frac{1}{a}$，我们可以在被积函数里“乘除一”：
$int frac{1}{u^2+(sqrt{2})^2} du = int frac{1}{sqrt{2}} cdot frac{sqrt{2}}{u^2+(sqrt{2})^2} du$
这里其实是被积函数乘以 $frac{sqrt{2}}{sqrt{2}}$，然后把一个 $sqrt{2}$ 提出来，另一个留在里面。
所以， $int frac{1}{(x+1)^2+2} dx = frac{1}{sqrt{2}} int frac{sqrt{2}}{(x+1)^2+(sqrt{2})^2} dx$
令 $u = x+1$, $du = dx$, $a = sqrt{2}$。
$frac{1}{sqrt{2}} int frac{a}{u^2+a^2} du = frac{1}{sqrt{2}} cdot arctan(frac{u}{a}) + C = frac{1}{sqrt{2}} arctan(frac{x+1}{sqrt{2}}) + C$
这个例子充分体现了“乘除一”和对公式的深刻理解。

乘除一的妙用：
例子： 积分 $int sin^3 x dx$。
直接用换元法似乎行不通。分部积分也不太容易。
我们可以把它拆开：$sin^3 x = sin^2 x cdot sin x = (1cos^2 x) sin x$。
这时，“加减零”的思想又来了。我们看，这里有 $sin x$ 和 $cos x$。如果我们令 $u = cos x$，那么 $du = sin x dx$。
所以，我们在被积函数里“凑”一下：
$int sin^3 x dx = int sin^2 x cdot sin x dx = int (1cos^2 x) sin x dx$
我们想让它变成 $int (dots) (sin x dx)$ 的形式。怎么做？
$int (1cos^2 x) sin x dx = int (1cos^2 x) (sin x) dx$
这里我们在等号右边乘以了 $1$，又在等号左边乘以了 $1$ 来抵消。这其实就是“乘除一”的操作：乘以 $(1)/(1)$。
现在可以换元了：令 $u = cos x$， $du = sin x dx$。
$int (1u^2) du = int (1u^2) du = (u frac{u^3}{3}) + C = (cos x frac{cos^3 x}{3}) + C = frac{cos^3 x}{3} cos x + C$
这就是通过“加减零”和“乘除一”，将一个看似棘手的三角积分，转化为一个简单的多项式积分。

技巧二：利用“对称性”与“周期性”的积分

有些积分，特别是定积分，其被积函数可能具有某种“对称性”或“周期性”，我们可以巧妙地利用这些性质来简化计算。

对称性：
偶函数与奇函数性质： 对于定积分 $int_{a}^{a} f(x) dx$：
如果 $f(x)$ 是偶函数（$f(x) = f(x)$），则 $int_{a}^{a} f(x) dx = 2 int_{0}^{a} f(x) dx$。
如果 $f(x)$ 是奇函数（$f(x) = f(x)$），则 $int_{a}^{a} f(x) dx = 0$。
例子： 计算 $int_{pi/2}^{pi/2} x cos x dx$。
令 $f(x) = x cos x$。
$f(x) = (x) cos(x) = x cos x = f(x)$。
所以 $f(x)$ 是奇函数。根据性质，该定积分为 $0$。
这个结果直接就出来了，省去了复杂的计算。

积分区间上的对称性： 有时被积函数并非严格的奇偶函数，但其在积分区间上体现出某种对称性。
例子： 计算 $int_{0}^{pi} frac{x sin x}{1+cos^2 x} dx$。
这是一个比较有名的例子，通常用到一个性质：
$int_{0}^{a} f(x) dx = int_{0}^{a} f(ax) dx$。
令 $I = int_{0}^{pi} frac{x sin x}{1+cos^2 x} dx$。
利用上述性质，我们将 $x$ 替换为 $pix$：
$I = int_{0}^{pi} frac{(pix) sin(pix)}{1+cos^2(pix)} dx$
注意到 $sin(pix) = sin x$ 且 $cos(pix) = cos x$，所以 $cos^2(pix) = (cos x)^2 = cos^2 x$。
因此，
$I = int_{0}^{pi} frac{(pix) sin x}{1+cos^2 x} dx = int_{0}^{pi} frac{pi sin x x sin x}{1+cos^2 x} dx$
$I = int_{0}^{pi} frac{pi sin x}{1+cos^2 x} dx int_{0}^{pi} frac{x sin x}{1+cos^2 x} dx$
注意，第二项就是原来的 $I$。所以：
$I = int_{0}^{pi} frac{pi sin x}{1+cos^2 x} dx I$
$2I = pi int_{0}^{pi} frac{sin x}{1+cos^2 x} dx$
现在计算这个积分：令 $u = cos x$，则 $du = sin x dx$。
当 $x=0$ 时，$u = cos 0 = 1$。
当 $x=pi$ 时，$u = cos pi = 1$。
所以，
$int_{0}^{pi} frac{sin x}{1+cos^2 x} dx = int_{1}^{1} frac{du}{1+u^2} = int_{1}^{1} frac{du}{1+u^2}$
$= [arctan u]_{1}^{1} = arctan(1) arctan(1) = frac{pi}{4} (frac{pi}{4}) = frac{pi}{2}$。
所以，$2I = pi cdot frac{pi}{2} = frac{pi^2}{2}$。
$I = frac{pi^2}{4}$。
这个技巧避免了复杂的代数运算，而是利用了积分本身的性质。

周期性：
对于周期函数 $f(x)$，周期为 $T$，即 $f(x+T) = f(x)$。
$int_{a}^{a+T} f(x) dx = int_{0}^{T} f(x) dx$ (积分在一个周期内的值与起始位置无关)。
$int_{0}^{nT} f(x) dx = n int_{0}^{T} f(x) dx$ (n为整数)。
例子： 计算 $int_{0}^{2pi} |sin x| dx$。
函数 $|sin x|$ 的周期是 $pi$（因为 $|sin(x+pi)| = |sin x| = |sin x|$）。
因此，$int_{0}^{2pi} |sin x| dx = 2 int_{0}^{pi} |sin x| dx$。
在 $[0, pi]$ 区间内，$sin x ge 0$，所以 $|sin x| = sin x$。
$2 int_{0}^{pi} sin x dx = 2 [cos x]_{0}^{pi} = 2 (cos pi (cos 0)) = 2 ((1) (1)) = 2 (1+1) = 4$。
这个结果很容易理解，就像计算波浪的面积一样。

技巧三：黎曼和的“变戏法”

虽然大多数时候我们直接用积分公式求解，但理解黎曼和的本质有时也能提供一些非传统的思路。特别是一些涉及到求和的题目，如果能将其转化为一个黎曼和的积分形式，就迎刃而解了。

黎曼和的定义： $int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^{n} f(x_i^) Delta x$，其中 $Delta x = frac{ba}{n}$，且 $x_i^$ 是 $[x_{i1}, x_i]$ 中的任意一点。
例子： 计算极限 $L = lim_{n o infty} sum_{k=1}^{n} frac{n}{n^2+k^2}$。
这个求和形式并不直接是某个函数的黎曼和。我们需要将其 变形 成黎曼和的形式。
观察到分母中有 $n^2+k^2$，可以提公因数 $n^2$：
$frac{n}{n^2+k^2} = frac{n}{n^2(1 + k^2/n^2)} = frac{1}{n} frac{1}{1 + (k/n)^2}$。
那么，求和就变成了：
$L = lim_{n o infty} sum_{k=1}^{n} frac{1}{1 + (k/n)^2} cdot frac{1}{n}$。
现在，这个形式非常像黎曼和 $sum_{i=1}^{n} f(x_i^) Delta x$。
令 $Delta x = frac{1}{n}$。为了匹配 $frac{ba}{n} = Delta x$，我们可以选择 $ba=1$。
令 $x_k = frac{k}{n}$。那么 $x_k$ 的间隔是 $frac{1}{n}$。
被积函数 $f(x)$ 就是 $frac{1}{1+x^2}$。
我们还可以确定积分区间：当 $k=1$ 时，$x_1 = frac{1}{n}$，趋近于 $0$。当 $k=n$ 时，$x_n = frac{n}{n} = 1$。
所以，这个求和可以看作是函数 $f(x) = frac{1}{1+x^2}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的黎曼和。
$L = int_{0}^{1} frac{1}{1+x^2} dx$。
这个积分是基本积分之一：
$L = [arctan x]_{0}^{1} = arctan(1) arctan(0) = frac{pi}{4} 0 = frac{pi}{4}$。
这个技巧的精髓在于，识别出求和的模式，并将其巧妙地“翻译”成积分的语言。

技巧四：利用微分方程

有些积分，特别是涉及到函数本身的复杂关系时，可以尝试将其转化为一个微分方程，然后求解该方程来得到积分值。

例子： 计算积分 $I(a) = int_{0}^{infty} frac{arctan(ax)}{x(1+x^2)} dx$。
这是一个涉及到参数 $a$ 的积分。我们可以尝试对参数 $a$ 求导。
$frac{dI}{da} = int_{0}^{infty} frac{partial}{partial a} left( frac{arctan(ax)}{x(1+x^2)} ight) dx$
$frac{dI}{da} = int_{0}^{infty} frac{1}{x(1+x^2)} cdot frac{x}{1+(ax)^2} dx$
$frac{dI}{da} = int_{0}^{infty} frac{1}{(1+x^2)(1+a^2x^2)} dx$
现在，我们遇到了一个需要用部分分式分解来积分的函数。
令 $frac{1}{(1+x^2)(1+a^2x^2)} = frac{Ax+B}{1+x^2} + frac{Cx+D}{1+a^2x^2}$。
或者，更简单的，利用积分公式： $int_{0}^{infty} frac{dx}{(1+x^2)(1+a^2x^2)} = frac{pi}{2(1+|a|)}$ (这是一个可以查阅或推导的特殊积分公式)。
或者，我们也可以对 $frac{1}{(1+x^2)(1+a^2x^2)}$ 使用部分分式：
令 $y=x^2$，则 $frac{1}{(1+y)(1+a^2y)} = frac{A}{1+y} + frac{B}{1+a^2y}$。
$1 = A(1+a^2y) + B(1+y)$。
令 $y=1$, $1 = A(1a^2)$, $A = frac{1}{1a^2}$。
令 $y=1/a^2$, $1 = B(11/a^2) = B(frac{a^21}{a^2})$, $B = frac{a^2}{a^21} = frac{a^2}{1a^2}$。
所以，$frac{1}{(1+x^2)(1+a^2x^2)} = frac{1}{1a^2} left( frac{1}{1+x^2} frac{a^2}{1+a^2x^2} ight)$。
$frac{dI}{da} = frac{1}{1a^2} int_{0}^{infty} left( frac{1}{1+x^2} frac{a^2}{1+a^2x^2} ight) dx$
$int_{0}^{infty} frac{1}{1+x^2} dx = [arctan x]_{0}^{infty} = frac{pi}{2}$。
$int_{0}^{infty} frac{a^2}{1+a^2x^2} dx$。令 $u=ax$, $du=a dx$, $dx = du/a$。
当 $x=0$, $u=0$。当 $x o infty$, $u o infty$ (假设 $a>0$)。
$int_{0}^{infty} frac{a^2}{1+u^2} frac{du}{a} = a int_{0}^{infty} frac{1}{1+u^2} du = a [arctan u]_{0}^{infty} = a frac{pi}{2}$。
所以，当 $a e 1$ 且 $a>0$ 时：
$frac{dI}{da} = frac{1}{1a^2} (frac{pi}{2} a frac{pi}{2}) = frac{1}{1a^2} frac{pi}{2} (1a) = frac{1}{(1a)(1+a)} frac{pi}{2} (1a) = frac{pi}{2(1+a)}$。
现在我们得到了 $frac{dI}{da} = frac{pi}{2(1+a)}$。对 $a$ 进行积分：
$I(a) = int frac{pi}{2(1+a)} da = frac{pi}{2} ln(1+a) + C$ (假设 $a>0$, 所以 $1+a>0$)。
我们需要确定常数 $C$。当 $a=0$ 时，原积分 $I(0) = int_{0}^{infty} frac{arctan(0)}{x(1+x^2)} dx = int_{0}^{infty} 0 dx = 0$。
将 $a=0$ 代入 $I(a) = frac{pi}{2} ln(1+a) + C$：
$0 = frac{pi}{2} ln(1+0) + C = frac{pi}{2} ln(1) + C = 0 + C$。
所以 $C=0$。
因此，$I(a) = frac{pi}{2} ln(1+a)$。
（注意，这个方法需要对参数求导，并对结果积分，这本身就包含了一定的积分技巧，但其核心在于将积分问题转化为微分方程问题求解。）

技巧五：积分的“变体”与类比

有时候，一个问题的积分看起来很棘手，但如果能将其“变体”成一个更熟悉的积分形式，或者通过类比其他领域的数学概念来启发思路，也可能有意想不到的收获。

例子： 计算 $int_{0}^{infty} e^{x^2} dx$（高斯积分）。
这个积分是无法用初等函数表示的。但它有一个非常著名的求解方法，利用了极坐标变换的思想。
设 $I = int_{0}^{infty} e^{x^2} dx$。
考虑 $I^2 = (int_{0}^{infty} e^{x^2} dx) (int_{0}^{infty} e^{y^2} dy)$。
将两个积分合并成一个二重积分：
$I^2 = int_{0}^{infty} int_{0}^{infty} e^{x^2} e^{y^2} dx dy = int_{0}^{infty} int_{0}^{infty} e^{(x^2+y^2)} dx dy$。
现在，这个积分是在第一象限的平面区域上。我们发现被积函数 $e^{(x^2+y^2)}$ 在极坐标下非常简洁。
令 $x = r cos heta$, $y = r sin heta$。
$x^2+y^2 = r^2$。
面积微元 $dx dy$ 在极坐标下变成 $r dr d heta$。
积分区域是第一象限，所以 $r$ 从 $0$ 变化到 $infty$，$ heta$ 从 $0$ 变化到 $frac{pi}{2}$。
$I^2 = int_{0}^{pi/2} int_{0}^{infty} e^{r^2} r dr d heta$。
现在，内部关于 $r$ 的积分是一个简单的换元积分：
令 $u = r^2$, 则 $du = 2r dr$, $r dr = frac{1}{2} du$。
$int_{0}^{infty} e^{r^2} r dr = int_{0}^{infty} e^{u} frac{1}{2} du = frac{1}{2} [e^{u}]_{0}^{infty} = frac{1}{2} (0 (1)) = frac{1}{2}$。
所以，$I^2 = int_{0}^{pi/2} frac{1}{2} d heta = frac{1}{2} [ heta]_{0}^{pi/2} = frac{1}{2} (frac{pi}{2} 0) = frac{pi}{4}$。
因此，$I = sqrt{frac{pi}{4}} = frac{sqrt{pi}}{2}$ (因为原积分是 $0$ 到 $infty$ 的，被积函数 $e^{x^2}$ 是正的，所以 $I$ 是正的)。
这个方法非常巧妙地将一个看似无法处理的积分，通过降维（从二维到一维）和坐标变换，最终求解出来。这里的“类比”是指，很多在二维几何中的问题，可以通过极坐标变换来简化。

总结一下这些“偏门”技巧的共性：

洞察力： 能够透过表面看到函数或积分的内在结构、对称性或与已知公式的联系。
灵活性： 不拘泥于固定的套路，敢于尝试不同的变换和变形。
熟练度： 对基本积分公式、换元法、分部积分等有极深的理解和运用能力，才能在这些技巧的基础上做得更好。
耐心与毅力： 有些时候，一次尝试可能不行，需要不断地调整思路和方法。

这些技巧并非“包治百病”，但它们能够为我们在遇到那些教科书上不直接给出解法的积分时，提供更多的思路和可能性。正如武功高手总有几招绝学，希望这些“偏门”技巧也能成为你积分工具箱里不可或缺的一部分。多做题，多思考，在实践中领悟，你会发现积分的世界远比你想象的要精彩得多。

如题，自学完了一些数学分析，感觉常规方法和一些公式仅对某些例题有效。有没有一些实用的经验和技巧对于解不定积分、定积分、广义积分有效？谢谢！