如何证明 √2 + √3 + √5 是无理数？
首先，我们得明确一下什么是无理数。简单来说，无理数就是不能表示成两个整数之比的数，就像 π 或者 √2 那样，它们的小数点后有无数个不循环的数字。
要证明 √2 + √3 + √5 是无理数，我们可以用一种反证法。反证法就是先假设一个东西是真的，然后通过一系列逻辑推理，发现这个假设会导致一个矛盾，那么我们最初的假设就一定是错的，反之，我们想要证明的东西就是真的。
所以，我们现在就先大胆地假设：
假设 √2 + √3 + √5 是一个有理数。
如果它是有理数，那么根据定义，我们可以把它写成两个整数的比，比如：
√2 + √3 + √5 = p/q
其中 p 和 q 是整数，而且 q 不等于零。为了简化，我们还可以假设 p 和 q 没有公因数，也就是它们是互质的，这样分数就约到最简了。
现在，我们要做的就是从这个等式出发，一步步推导出矛盾。
第一步：把一个根号移到一边，方便后续处理。
我们先来处理一下这个等式。把 √2 移到等号的右边：
√3 + √5 = p/q √2
接下来，为了去掉根号，我们可以考虑两边同时平方。这样做的好处是，平方之后，根号下面的数字就变成整数了。
(√3 + √5)² = (p/q √2)²
展开左边：
(√3)² + 2(√3)(√5) + (√5)² = 3 + 2√15 + 5 = 8 + 2√15
展开右边：
(p/q)² 2(p/q)√2 + (√2)² = p²/q² (2p/q)√2 + 2
现在把它们重新写在一起：
8 + 2√15 = p²/q² (2p/q)√2 + 2
第二步：再次整理等式，把带根号的项集中起来。
我们的目标是让等式一边只剩下一个根号，另一边全部是我们可以判断是有理数还是无理数的数。
把等式右边的 2 移到左边：
8 2 + 2√15 = p²/q² (2p/q)√2
6 + 2√15 = p²/q² (2p/q)√2
现在，我们把带根号的项放到一边，其他项放到另一边。把左边的 2√15 移到右边，把右边的 (2p/q)√2 移到左边：
6 + (2p/q)√2 = p²/q² 2√15
哎呀，这里好像有点问题。我们希望一边只剩一个根号，但现在两边都有根号了。这就需要我们再调整一下策略。
我们回到那个关键的等式：
√3 + √5 = p/q √2
这次，我们不急着平方，而是把等式写成：
√3 + √5 + √2 = p/q
我们试着先把两个根号合并起来处理。比如，我们把 √2 和 √3 放一起：
(√2 + √3) + √5 = p/q
现在两边平方试试：
((√2 + √3) + √5)² = (p/q)²
展开左边：
(√2 + √3)² + 2(√2 + √3)√5 + (√5)² = (p/q)²
(2 + 2√6 + 3) + 2(√10 + √15) + 5 = p²/q²
(5 + 2√6) + 2√10 + 2√15 + 5 = p²/q²
10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = p²/q²
看，还是出现了多个根号。这说明直接这样处理会比较麻烦。我们得找到一种更直接的方式。
我们还是回到这个等式：
√2 + √3 + √5 = p/q
先将 √2 + √3 移到一边：
√2 + √3 = p/q √5
现在两边平方：
(√2 + √3)² = (p/q √5)²
左边展开：2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6
右边展开：(p/q)² 2(p/q)√5 + (√5)² = p²/q² (2p/q)√5 + 5
所以，我们得到：
5 + 2√6 = p²/q² (2p/q)√5 + 5
把等式两边的 5 抵消掉：
2√6 = p²/q² (2p/q)√5
现在我们再来处理一下，把带根号的项放在一边，其余的放在另一边。
把 (2p/q)√5 移到左边，把 2√6 移到右边：
(2p/q)√5 = p²/q² 2√6
看起来还是两个根号。这说明我们的假设可能需要更精细的操作。
让我们回到原始的假设：√2 + √3 + √5 = p/q。
我们知道 √2、√3、√5 都是无理数。
如果我们能够证明 √2 + √3 + √5 的平方是某个无理数加上一个无理数的根号形式，我们就可以继续推导。
考虑 (√2 + √3 + √5)²
(√2 + √3 + √5)² = (√2)² + (√3)² + (√5)² + 2(√2)(√3) + 2(√2)(√5) + 2(√3)(√5)
= 2 + 3 + 5 + 2√6 + 2√10 + 2√15
= 10 + 2√6 + 2√10 + 2√15
如果 √2 + √3 + √5 = p/q (一个有理数)，那么它的平方 (p/q)² 也必然是一个有理数。
也就是说，我们假设：
10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = (p/q)²
由于 (p/q)² 是有理数，我们可以把它写成一个有理数 A：
10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = A
那么：
2√6 + 2√10 + 2√15 = A 10
右边 A 10 显然是一个有理数。
我们现在需要证明这个等式 不可能成立。
假设 √6 + √10 + √15 是一个有理数，设为 m/n。
那么 √6 + √10 + √15 = m/n
两边平方：
(√6 + √10 + √15)² = (m/n)²
6 + 10 + 15 + 2√60 + 2√90 + 2√150 = (m/n)²
31 + 2√(415) + 2√(910) + 2√(256) = (m/n)²
31 + 2(2√15) + 2(3√10) + 2(5√6) = (m/n)²
31 + 4√15 + 6√10 + 10√6 = (m/n)²
因为 (m/n)² 是有理数，所以：
4√15 + 6√10 + 10√6 = (m/n)² 31
这仍然是一个有理数。
我们现在来看一个关键的性质：如果一个形如 a√x + b√y + c√z 的数（其中 x, y, z 是不同的无平方因子的整数）是有理数，那么 a, b, c 必须都为零。
在我们的等式 2√6 + 2√10 + 2√15 = A 10 中，
√6, √10, √15 的被开方数 6, 10, 15 是不同的无平方因子的整数（去掉因子 4, 9, 25...），并且它们的系数分别是 2, 2, 2。
根据上面的性质，如果 2√6 + 2√10 + 2√15 是一个有理数，那么它的系数 2, 2, 2 必须都为零，这显然是不可能的。
所以，我们的假设 2√6 + 2√10 + 2√15 是一个有理数是错误的。
这意味着，由它推导出的等式 2√6 + 2√10 + 2√15 = A 10 也是错误的。
回溯一下：
我们是假设 √2 + √3 + √5 = p/q (有理数)。
然后我们得到了 (√2 + √3 + √5)² = (p/q)²。
展开后是 10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = (p/q)²。
因为 (p/q)² 是有理数，所以 2√6 + 2√10 + 2√15 = (p/q)² 10，这是一个有理数。
但是我们刚刚证明了，2√6 + 2√10 + 2√15 不可能是 一个有理数。
这就产生了一个矛盾！
我们最初的假设“√2 + √3 + √5 是一个有理数”导致了一个矛盾。
因此，这个假设一定是错误的。
所以，√2 + √3 + √5 必定是一个无理数。
让我们再梳理一下这个关键的“不同根号的线性组合”的性质，这才是证明的核心：
引理：设 x, y, z 是三个两两互素且不含平方因子的正整数。若 a√x + b√y + c√z = R，其中 R 是有理数，则当且仅当 a = b = c = 0 时，R 必为 0。
更通用的形式是：如果 √p₁, √p₂, ..., √pₙ 是线性无关的（例如，pᵢ 是不同的无平方因子的整数），那么 a₁√p₁ + a₂√p₂ + ... + aₙ√pₙ = 0 当且仅当所有的 aᵢ 都等于 0。
在我们的例子中：
我们得到了 2√6 + 2√10 + 2√15 = (p/q)² 10。
令 R' = (p/q)² 10，R' 是一个有理数。
我们有 2√6 + 2√10 + 2√15 R' = 0。
这里的 √6, √10, √15 是被开方数 6, 10, 15 是两两互素且不含平方因子的整数。
如果 √2 + √3 + √5 是有理数 p/q，那么 R' 就是有理数。
那么等式 2√6 + 2√10 + 2√15 R' = 0 就意味着我们有一个由不同无平方因子的根号组成的表达式等于一个有理数。
为了更严谨地说明，我们可以这样处理：
假设 √2 + √3 + √5 = r，其中 r 是有理数。
则 √2 + √3 = r √5。
两边平方：(√2 + √3)² = (r √5)²
2 + 3 + 2√6 = r² 2r√5 + 5
5 + 2√6 = r² 2r√5 + 5
2√6 = r² 2r√5
因为 r 是有理数，r² 也是有理数。
所以，2√6 + 2r√5 = r²。
左边是一个形如 a√x + b√y 的形式，其中 x=6, y=5。6 和 5 是不含平方因子的整数。
根据无理数的性质，如果一个形如 a√x + b√y 的数（x, y 是不同的无平方因子的整数）是有理数，那么 a 和 b 必须都为零。
在这里，a = 2, b = 2r。
所以，为了使 2√6 + 2r√5 = r² 成立，并且右边是（有理数）r²，左边必须等于这个有理数 r²。
而左边又包含根号形式。
如果 2√6 + 2r√5 是一个有理数，那么要求 2 = 0 且 2r = 0，这显然是不可能的。
那么另一种更精妙的推导方法是：
假设 √2 + √3 + √5 = r，其中 r 是有理数。
√2 + √3 = r √5
两边平方：5 + 2√6 = r² 2r√5 + 5
2√6 = r² 2r√5
2√6 + 2r√5 = r²
现在我们把这个等式写成：
2√6 + (2r)√5 r² = 0
我们知道 √6 和 √5 的被开方数 6 和 5 是互素且不含平方因子的整数。
根据线性无关的性质，如果 a√x + b√y + c = 0，其中 x 和 y 是不同的无平方因子的整数，那么 a=0, b=0, 并且 c=0。
在这里，a=2, b=2r, c=r²。
所以，为了使 2√6 + (2r)√5 r² = 0 成立，我们必须有：
1. 2 = 0 （系数a）
2. 2r = 0 （系数b）
3. r² = 0 （常数项c）
从 2 = 0 这个条件，我们立刻就得到了一个 矛盾。
因此，我们的原始假设“√2 + √3 + √5 是一个有理数”必然是错误的。
结论：√2 + √3 + √5 是一个无理数。
这个证明的关键在于利用了几个重要的数学概念：
1. 无理数的定义： 不能表示为两个整数之比的数。
2. 反证法： 通过假设其相反情况成立，然后推导出矛盾来证明原命题。
3. 平方运算： 用于消除根号。
4. 根式线性无关性（或根号的独立性）： 形如 a√x + b√y 的表达式（其中 x, y 是不同的无平方因子的整数）只能在 a 和 b 都为零时才等于零，或者等于一个有理数。
通过这个过程，我们一步步剥离了根号，并最终利用了无理数不能被简单组合成有理数的特性，成功证明了 √2 + √3 + √5 的无理数身份。这其实是一个很有意思的数学技巧，用到了一些不那么直观的性质。
网友意见
√2 是无理数
上初中数学课，在知道无理数后，数域从有理数扩充到了实数。无理数被简单理解成带根号的，开方开不尽的数。实际上，两者的区别为：有理数可以写成两个整数之比，而无理数则不能。
接着，课本上，大家都见识过 √2 是无理数的证明方法。如果忘记了的，我这里再提一下。
假设 √2 是有理数，则可以表达为 p/q 这种既约分数的形式，其中 p 和 q 都是整数，且互质（co-prime），即最大公约数为1。这也是有理数区别于无理数的地方，无理数无法表示成这样的分数。 ，两边平方得到 ，移项有 。右边有2，表明左边是偶数，但只有偶数的平方才能得到偶数，奇数的平方不可能是偶数。所以 p 应为偶数，p = 2r 带入有， ，于是有 ，如法炮制，q也是偶数了，这样就推导出 p 和 q 有公约数 2 了，与最初的假设相矛盾，所以 √2 是无理数。
对于单独的 √3、√5，也是采用这种反证法，只不过不谈奇偶，谈论的是3的倍数、5的倍数。比如，一个整数的平方是3的倍数，则这个整数就是3的倍数。
√2 + √3 是无理数
因为要证明的数涉及到多个平方根，从一个数到两个数的组合，甚至到多个数的组合，都可以采用这种平方的思想来反证。
假设 √2 + √3 是有理数，则 ，两边平方有 。这里借助 有理数 + 无理数 = 无理数，左边是无理数，右边的有理数平方后还是分数，是个有理数，这样推出一个无理数等于一个有理数而矛盾。同样的方法适用于 √3 + √5、√2 + √5。
接下来，你可能会想，证明了√2 + √3、√3 + √5、√2 + √5 三个组合数都是无理数，三个无理数相加，然后除以2，不就是题目的式子 √2 + √3 + √5 吗？这样是不行的，我们没法证明结论 无理数 + 无理数 = 无理数。一个简单的反例是 √2 与 2 - √2。
√2 + √3 + √5 是无理数
那我们假设 √2 + √3 + √5 是有理数，则 ，三个数的平方和，展开如下， ，所以有 ，为了证明三个无理数的组合√2 + √3 + √5 是无理数，结果回到了去证明另三个无理数的和 √6 + √10 + √15 是无理数，显然这条路行不通。以下记 r = p / q 来写等式，r代表有理数（rational）。
移项 ，两边平方有
啊，终于回到两个无理数的环境了，是好的势头，两边接着平方，
这样就足够清晰了，前三项是有理数，最后一项是无理数。需要指明一下——有理数 × 无理数 = 无理数，在有理数不为0的情况下。
推导出一个等式有多个项，除了一个项是无理数，其他项都是有理数的错误地步，从而推翻初始的假设，得证。注意到经过多次（用数学术语讲是有限次）平方后，等式仍为有限项，否则存在“无限个有理数相加减，可能得到无理数”这个结论来捣乱。证明过程当要严谨。
有理数、无理数运算总结
有理数 + 有理数 = 有理数
有理数 + 无理数 = 无理数
无理数 + 无理数 = 不确定
无穷个有理数相加，不确定
无穷个无理数相加，不确定（这个可归为上上一条）
有理数 x 有理数 = 有理数
非0有理数 × 无理数 = 无理数
无理数 × 无理数 = 不确定
这些结论都很基本，上面没有给出证明，这里稍微提一下。两个有理数 p1 / q1，p2 / q2 的和为 ，很显然，分子分母均为整数，所以两者的和为有理数。这个证明不用反证法。自然也有，有理数 - 有理数 = 有理数。
有理数 + 无理数 = 无理数。这个可以通过反证法。假设 有理数1 + 无理数 = 有理数2，通过移项，无理数 = 有理数1 - 有理数2，得到 无理数 = 有理数 的矛盾结论，所以原假设不成立。
有限到无穷，有理到无理
从有限到无穷，有些不同。无穷个有理数相加，不一定就是有理数。乍看有点反直觉，可以看一看上面总结里的链接。至于无穷个无理数相加得到有理数，我们用大家熟悉的指数函数的 Taylor 级数展开公式 举个例子。
无理数化为无穷个有理数相加： ，
有理数化为无穷个无理数相加： ，
arctan x 的 Taylor 级数展开为 ，带入 arctan(1) = π/4，可以得到求圆周率 π 的一个漂亮但收敛速度慢的公式 ，左边是无理数，右边都是有理数。两边同时除以 π，得到左边是有理数，右边都是无理数 ，这是无理数与有理数相互转化很贴切的两个例子。
π 是无理数
关于 π，Lambert（对，就是那个，图形学里提出 Lambert 光照模型的那个人）在1761年证明了 π 是无理数[1]，通过 sin(x) 与 cos(x) 的无穷级数的除法，证明了 tan(x) 的无穷尽长度的连分数（Continued fraction）表示等式 。接着证明了 x 为非零有理数时，该表达式必为无理数。命题与逆否命题同真假。于是，表达式结果为有理数时，x 必为无理数。该结论带入 tan(π/4) = 1，得到 π/4 必为无理数，从而 π 是无理数得证。一图以蔽之——
回到文章开头，可以用整数之比，即分数的形式来区分有理数和无理数。对于级联形式的分数，即上面提到的连分数，又有很多有趣的数学知识了。对于有理数，它是有限长度的连分数；对于无理数，它是无限逼近的。
参考
- ^Proof that π is irrational https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
这种问题有一个通用办法。
1.首先这玩意是实数。
2.其次，它是 上的代数元，可以算出来它的一个零化多项式。
3.分析发现，零化多项式大于一次并且在 上不可约，所以它不是有理数，所以是无理数。
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