为什么国产数分教材在定义函数f在x处极限的时候都要求函数f在x的去心邻域内有定义？
好，咱们来聊聊为什么我们学数学分析的时候，教材里定义函数在某点极限，都要加上“在去心邻域内有定义”这一条。这可不是多此一举，里头藏着挺深刻的道理呢。
想象一下，我们想知道一个函数 f(x) 在 x₀ 这个点“附近”是个什么样子。这不是说它在 x₀ 这个点本身的值，而是它非常非常靠近 x₀ 的时候，值会朝着哪个方向靠拢。这就是极限的思想。
比如，你爬山，想知道山顶附近的地形。你关心的是山顶周围，而不是山顶上那一点点。就算山顶上正好有个亭子挡住了视线，你仍然可以从四周观察，大概知道山顶的高度和形状。
去心邻域的意义：抛开“在点本身”的干扰
这里说的“去心邻域”，简单来说，就是以 x₀ 为中心，但把 x₀ 本身去掉的那个区间。比如，x₀ 的一个去心邻域可以是 (x₀ δ, x₀) ∪ (x₀, x₀ + δ)，其中 δ 是一个很小的正数。
为什么要把 x₀ 本身去掉？这主要有几个原因，而且它们之间是相互关联的：
1. 定义极限的本质是趋近，而非取值：
极限关注的是趋近的过程，而不是到达的终点。我们想知道的是，当 x 越来越接近 x₀ 时，f(x) 的值会怎么样。如果函数在 x₀ 处没有定义，比如分母为零导致无穷大，或者直接就是个“洞”，这反而更能体现出“趋近”的意图。
举个例子：函数 f(x) = (x² 1) / (x 1)。
当 x = 1 的时候，这个函数是没有定义的，因为分母是零。但如果我们看它在 x=1 附近的值，比如 x=0.9, 0.99, 0.999, 1.001, 1.01, 1.1，我们会发现 f(x) 的值都非常接近 2。
f(0.9) = (0.81 1) / (0.9 1) = 0.19 / 0.1 = 1.9
f(0.99) = (0.9801 1) / (0.99 1) = 0.0199 / 0.01 = 1.99
f(1.01) = (1.0201 1) / (1.01 1) = 0.0201 / 0.01 = 2.01
可以看到，尽管 f(1) 未定义，但当 x 趋近于 1 时，f(x) 趋近于 2。如果定义要求 f(1) 必须有定义，那这个例子就无法很好地说明极限的概念了。去掉 x₀ 本身，恰恰是为了让我们能够观察到这种“无限接近但可能不等于”的现象。
2. 避免“点值”干扰对“趋近”的判断：
如果函数在 x₀ 处有定义，但它的值 f(x₀) 故意被设得离它在 x₀ 附近的“趋势”很远，这会干扰我们对极限的理解。
比如，我们定义一个函数 g(x)：
g(x) = x + 1, 当 x ≠ 0
g(0) = 100
对于这个函数，当 x 趋近于 0 的时候，它的值很明显是趋近于 1 的（从 (x+1) 这个表达式来看）。但是 g(0) 的值是 100，这跟它趋近的值完全不一样。如果我们不要求去心邻域，而是要求在闭区间内有定义（包含 x₀），那么对于这个函数，我们怎么说它的极限是 1 呢？g(0) 那个“意外”的值会让人犹豫。
通过要求去心邻域，我们说“对于任意小于 δ 的正数 ε，只要 0 < |x x₀| < δ，就有 |f(x) L| < ε”。这里的 “0 < |x x₀|” 恰恰排除了 x = x₀ 的情况。这样，我们就能清晰地看到函数在 x₀ 之外的“邻近”行为，而不用担心 x₀ 本身的值对这个判断产生干扰。
3. 统一概念，便于理论推导：
数学理论的建立需要严谨和一致性。很多重要的数学定理和结论，比如连续性的定义、导数的定义、泰勒展开等等，都依赖于函数在某个点 附近 的行为。如果对极限的定义不统一，这些理论的推导就会变得异常复杂，甚至无法进行。
比如说，连续性的定义：如果 lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀)，那么函数 f 在 x₀ 处连续。
这个定义本身就要求了两个东西：
lim_{x→x₀} f(x) 存在。
f(x₀) 有定义，并且等于这个极限值。
如果极限的定义就不要求在 x₀ 处有定义，那连续性的定义就会变得有点奇怪。更重要的是，很多性质（比如介值定理、极值定理的证明）都暗含了函数在某个区间内的“平滑”或“连接”的特性，而这些特性的体现，往往是通过去心邻域来捕捉的。
举个更具体的例子：导数的定义
函数 f 在 x₀ 点的导数，记作 f'(x₀)，定义为：
f'(x₀) = lim_{h→0} [f(x₀ + h) f(x₀)] / h
这里，我们同样要求函数 f 在 x₀ 的去心邻域内有定义。为什么？
首先，表达式 f(x₀ + h) 要求 x₀ + h 这个点在函数的定义域内。当 h 趋近于 0 时，x₀ + h 会趋近于 x₀。如果函数在 x₀ 的去心邻域内都有定义，那么当 h 从正负两侧趋近于 0 时，f(x₀ + h) 这个值是存在的，我们才能进行计算。
其次，表达式中的分母是 h。当 h → 0 时，我们关心的是分子 [f(x₀ + h) f(x₀)] 的变化率。这个变化率的“极限”才代表了函数在该点的“瞬时变化率”。
如果函数在 x₀ 的去心邻域内没有定义，比如在 x₀ 附近突然出现了一个“洞”或者无穷大的地方，那么 h 趋近于 0 的过程就会变得不稳定，我们无法稳定地计算出这个变化率的极限。
总结一下：
要求函数在 x₀ 的去心邻域内有定义，是为了让极限的定义能够专注于函数在点 x₀ 附近的“趋近”趋势，而排除掉 x₀ 本身可能存在的“例外”情况。这样做：
聚焦核心思想： 极限是关于趋近的，不是关于取值的。
避免干扰： 防止孤立的点值干扰对整体趋势的判断。
理论基石： 保证了连续性、可微性等重要概念的严谨定义和后续理论的推导顺畅。
这就像我们看一幅画，我们更关注画面的整体构图、色彩和意境，而不是画框上的一个不起眼的小瑕疵（除非这个瑕疵影响了整个画面的观感）。去心邻域的作用，就是让我们能看到“画面”本身，而暂时忽略掉那个“画框”上的点。所以，这个看似简单的附加条件，却是构建整个数学分析大厦不可或缺的基石之一。
想象一下，我们想知道一个函数 f(x) 在 x₀ 这个点“附近”是个什么样子。这不是说它在 x₀ 这个点本身的值，而是它非常非常靠近 x₀ 的时候，值会朝着哪个方向靠拢。这就是极限的思想。
比如，你爬山，想知道山顶附近的地形。你关心的是山顶周围，而不是山顶上那一点点。就算山顶上正好有个亭子挡住了视线，你仍然可以从四周观察，大概知道山顶的高度和形状。
去心邻域的意义：抛开“在点本身”的干扰
这里说的“去心邻域”，简单来说，就是以 x₀ 为中心，但把 x₀ 本身去掉的那个区间。比如，x₀ 的一个去心邻域可以是 (x₀ δ, x₀) ∪ (x₀, x₀ + δ)，其中 δ 是一个很小的正数。
为什么要把 x₀ 本身去掉？这主要有几个原因，而且它们之间是相互关联的：
1. 定义极限的本质是趋近，而非取值：
极限关注的是趋近的过程，而不是到达的终点。我们想知道的是，当 x 越来越接近 x₀ 时，f(x) 的值会怎么样。如果函数在 x₀ 处没有定义，比如分母为零导致无穷大，或者直接就是个“洞”，这反而更能体现出“趋近”的意图。
举个例子：函数 f(x) = (x² 1) / (x 1)。
当 x = 1 的时候，这个函数是没有定义的，因为分母是零。但如果我们看它在 x=1 附近的值，比如 x=0.9, 0.99, 0.999, 1.001, 1.01, 1.1，我们会发现 f(x) 的值都非常接近 2。
f(0.9) = (0.81 1) / (0.9 1) = 0.19 / 0.1 = 1.9
f(0.99) = (0.9801 1) / (0.99 1) = 0.0199 / 0.01 = 1.99
f(1.01) = (1.0201 1) / (1.01 1) = 0.0201 / 0.01 = 2.01
可以看到，尽管 f(1) 未定义，但当 x 趋近于 1 时，f(x) 趋近于 2。如果定义要求 f(1) 必须有定义，那这个例子就无法很好地说明极限的概念了。去掉 x₀ 本身，恰恰是为了让我们能够观察到这种“无限接近但可能不等于”的现象。
2. 避免“点值”干扰对“趋近”的判断：
如果函数在 x₀ 处有定义，但它的值 f(x₀) 故意被设得离它在 x₀ 附近的“趋势”很远，这会干扰我们对极限的理解。
比如，我们定义一个函数 g(x)：
g(x) = x + 1, 当 x ≠ 0
g(0) = 100
对于这个函数，当 x 趋近于 0 的时候，它的值很明显是趋近于 1 的（从 (x+1) 这个表达式来看）。但是 g(0) 的值是 100，这跟它趋近的值完全不一样。如果我们不要求去心邻域，而是要求在闭区间内有定义（包含 x₀），那么对于这个函数，我们怎么说它的极限是 1 呢？g(0) 那个“意外”的值会让人犹豫。
通过要求去心邻域，我们说“对于任意小于 δ 的正数 ε，只要 0 < |x x₀| < δ，就有 |f(x) L| < ε”。这里的 “0 < |x x₀|” 恰恰排除了 x = x₀ 的情况。这样，我们就能清晰地看到函数在 x₀ 之外的“邻近”行为，而不用担心 x₀ 本身的值对这个判断产生干扰。
3. 统一概念，便于理论推导：
数学理论的建立需要严谨和一致性。很多重要的数学定理和结论，比如连续性的定义、导数的定义、泰勒展开等等，都依赖于函数在某个点 附近 的行为。如果对极限的定义不统一，这些理论的推导就会变得异常复杂，甚至无法进行。
比如说，连续性的定义：如果 lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀)，那么函数 f 在 x₀ 处连续。
这个定义本身就要求了两个东西：
lim_{x→x₀} f(x) 存在。
f(x₀) 有定义，并且等于这个极限值。
如果极限的定义就不要求在 x₀ 处有定义，那连续性的定义就会变得有点奇怪。更重要的是，很多性质（比如介值定理、极值定理的证明）都暗含了函数在某个区间内的“平滑”或“连接”的特性，而这些特性的体现，往往是通过去心邻域来捕捉的。
举个更具体的例子：导数的定义
函数 f 在 x₀ 点的导数，记作 f'(x₀)，定义为：
f'(x₀) = lim_{h→0} [f(x₀ + h) f(x₀)] / h
这里，我们同样要求函数 f 在 x₀ 的去心邻域内有定义。为什么？
首先，表达式 f(x₀ + h) 要求 x₀ + h 这个点在函数的定义域内。当 h 趋近于 0 时，x₀ + h 会趋近于 x₀。如果函数在 x₀ 的去心邻域内都有定义，那么当 h 从正负两侧趋近于 0 时，f(x₀ + h) 这个值是存在的，我们才能进行计算。
其次，表达式中的分母是 h。当 h → 0 时，我们关心的是分子 [f(x₀ + h) f(x₀)] 的变化率。这个变化率的“极限”才代表了函数在该点的“瞬时变化率”。
如果函数在 x₀ 的去心邻域内没有定义，比如在 x₀ 附近突然出现了一个“洞”或者无穷大的地方，那么 h 趋近于 0 的过程就会变得不稳定，我们无法稳定地计算出这个变化率的极限。
总结一下：
要求函数在 x₀ 的去心邻域内有定义，是为了让极限的定义能够专注于函数在点 x₀ 附近的“趋近”趋势，而排除掉 x₀ 本身可能存在的“例外”情况。这样做：
聚焦核心思想： 极限是关于趋近的，不是关于取值的。
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网友意见
加个截图~~
其实特仑苏陶只是多定义了一个孤立点上的极限，然后表述上有些不一样，其他跟国内教材是一样的。。。
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