为什么国际单位制下地球重力加速度的数值很接近圆周率的平方？
要详细解释这个现象，我们需要从几个关键点入手：
1. 什么是地球重力加速度 ($g$)？
首先，我们要理解 $g$ 的定义。它不是一个固定的常数，而是地球对物体施加的引力作用在物体单位质量上的加速度。根据牛顿万有引力定律，地球对一个质量为 $m$ 的物体的引力 $F$ 可以表示为：
$F = G frac{M cdot m}{r^2}$
其中：
$G$ 是万有引力常数，一个非常小的数值，大约是 $6.674 imes 10^{11} ext{ N} cdot ext{m}^2/ ext{kg}^2$。
$M$ 是地球的质量，大约是 $5.972 imes 10^{24} ext{ kg}$。
$r$ 是地球的半径（或者说物体到地心的距离），对于地球表面上的物体，我们通常取平均半径，大约是 $6.371 imes 10^6 ext{ m}$。
根据牛顿第二定律，$F = m cdot a$。在这里，$a$ 就是重力加速度 $g$。所以：
$m cdot g = G frac{M cdot m}{r^2}$
约去质量 $m$ 后，我们得到：
$g = G frac{M}{r^2}$
从这个公式可以看出，$g$ 的值取决于地球的质量 ($M$)、万有引力常数 ($G$) 以及地球的半径 ($r$)。
2. 为什么 $g$ 的数值接近 $pi^2$？
这确实是一个“巧合”，但我们也要看到，人类在制定单位制时，也受到了一些自然现象的启发，或者说，一些单位的定义方式，无意中让某些基本常数或物理量表现出有趣的数值关系。
a. 单位制的选择：
国际单位制 (SI) 是在19世纪末逐步建立和完善的。它的基础是七个基本单位（长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度）。其中，长度（米）和时间（秒）的定义方式，对 $g$ 的数值产生了直接影响。
秒 (s) 的定义： 早期，秒的定义是基于地球的自转周期，或者说一天（24小时）的1/86400。后来，为了更精确，秒被定义为原子（铯133）辐射的特定频率的周期数。但追溯到最初的定义，时间单位与地球的运动是相关的。
米 (m) 的定义： 米最初的定义也与地球相关（例如，地球通过巴黎的子午线长度的千万分之一）。后来，米被定义为光在真空中1/299792458秒内传播的距离。
b. 历史上的“秒摆”和米的定义：
在18世纪末和19世纪初，科学家们在尝试建立精确的度量衡体系时，曾受到“秒摆”概念的启发。“秒摆”是指周期为2秒的单摆（即来回一次为2秒，半周期为1秒）。单摆的周期 $T$ 可以近似表示为：
$T = 2pi sqrt{frac{L}{g}}$
其中，$L$ 是摆长。
如果我们想得到一个周期为2秒的单摆（即半周期为1秒），那么：
$1 = 2pi sqrt{frac{L}{g}}$
平方后得到：
$1 = 4pi^2 frac{L}{g}$
于是，我们可以得到：
$g = 4pi^2 frac{L}{1^2}$
$g = 4pi^2 L$
或者，如果我们考虑一个半周期为1秒的摆：
$T = 2 imes 1 ext{ s} = 2pi sqrt{frac{L}{g}}$
$1 = pi sqrt{frac{L}{g}}$
$1 = pi^2 frac{L}{g}$
$g = pi^2 L$
如果我们将摆长 $L$ 定义为1米，那么 $g = pi^2 imes 1 ext{ m}$。 换句话说，如果一个单摆的摆长正好是1米，并且它的周期恰好是2秒（即半周期为1秒），那么在那个地点，$g$ 的值就会正好是 $pi^2 ext{ m/s}^2$。
c. 历史上定义“米”时的一种思路（虽然不是最终的定义）：
有说法称，在早期定义“米”的时候，曾考虑过让一个1米长的单摆具有1秒的半周期（即2秒的完整周期）。如果真是这样，那么在那个时候，“米”的定义就与 $g$ 的值直接关联起来了。
如果 $L = 1 ext{ m}$ 并且 $T = 2 ext{ s}$（半周期为1秒），那么 $g = pi^2 L / (T/2)^2 = pi^2 imes 1 / 1^2 = pi^2 ext{ m/s}^2$。
为什么这种关联会产生？
这可以看作是人类在建立科学体系时，尝试将抽象的数学概念（如 $pi$）与可观测的物理现象（如重力、摆的周期）联系起来的一种方式。 $pi$ 自身就与圆周运动和振动现象密切相关。
$pi$ 与圆周运动： $pi$ 是圆周率，是圆的周长与其直径之比，是几何学中的一个核心常数。
$pi$ 与振动： 单摆的运动可以近似看作是简谐振动，而简谐振动的数学描述（方程）中就包含了 $pi$。
所以，在描述一个周期为2秒（半周期1秒）的单摆时，$pi$ 自然会出现在公式中。如果我们进一步设定摆长为1米，并且希望这个1米长的摆在这个特定重力环境下能够有1秒的半周期，那么 $g$ 的数值就必须是 $pi^2$。
3. 现实中的 $g$ 和 $pi^2$ 的差异
正如前面提到的，$g$ 的实际值（约 $9.80665 ext{ m/s}^2$）与 $pi^2$（约 $9.8696 ext{ m/s}^2$）之间存在差异。这主要是因为：
地球不是一个完美的球体： 地球是一个扁球体，赤道半径略大于两极半径。
地球质量分布不均： 地球内部的物质分布并非均匀，导致不同地点的引力大小略有差异。
地球自转效应： 地球的自转会产生离心力，在赤道地区，离心力会抵消一部分引力，使得表观重力加速度减小。
海拔高度： 海拔越高，到地心的距离越远，引力也越小。
米的定义： 最终确定的“米”的定义是基于光速和秒，与地球的物理尺寸或重力没有直接的“锁定”关系。
因此，严格来说，$g$ 的数值接近 $pi^2$ 是一种历史性的“巧合”或是一种在早期度量衡体系建立过程中试图建立的联系。随着科学的进步，单位的定义越来越精确和独立于具体的物理现象，这种近似关系也就更多地被视为一个有趣的巧合。
总结来说：
国际单位制下地球重力加速度的数值之所以接近圆周率的平方，很大程度上源于历史测量和单位定义时期，科学家们试图建立一个简便的度量标准。通过“秒摆”的概念，将1秒的半周期（2秒的周期）与1米的摆长联系起来，就自然而然地让 $g$ 的数值与 $pi^2$ 挂钩。 $pi$ 本身与振动和周期性现象紧密相连，而摆的周期正是由重力决定的。
所以，这并非是 $pi$ 自己“选择”了重力加速度，而是人类在理解和量化自然规律的过程中，在单位体系的构建中，无意中让这两个数值靠得很近，形成了一个令人赞叹的自然数学之美。
网友意见
不知道今天为什么又有很多人为了这个问题吵起来，我仔细的读了一下所有的回答和评论，为了防止误人子弟。我决定来把整个事件的来龙去脉重新梳理一遍。
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/**********为了没看过这个答案的人的阅读体验，我直接把整个答案重新拓展编写了，原答案中的错误和不严谨将重新进行解释，希望这次可以更谨慎些，如仍有不准确的地方还请大家不吝斧正*************/
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π的平方等于g。
首先，我要心悦诚服的认错，上面那句话的确是不准确的，尤其是
@李元轼，提出量纲不对，我觉得你好厉害。
正确的说法应当为：“在历史上曾经有这么短短的一瞬，由于一个被人为设定的物理单位的定义的变动，使得π的平方，和那一瞬，那一地点的地球的重力加速度，在数值上，是相等的。”
（然而这里需要指出的是：这个由于定义造成的相等，确实是因为巧合。这个巧合指的是：不同的定义方式来定义同样的一个物理量，得到的结果却非常的相似，这就好比说：我现在需要一碗吃的东西，有些人用了大米等等最后做了米粉，有人用小麦云云最后做了面条。有点殊途同归的意思。）
这其实是个挺好玩的故事，还得从当年“米”的定义说起：在1688年，威尔金斯建议用钟摆的方法来确定标准长度。然后啊，1790年法国国民议会将“米”定义为：“纬度45度的海平面上半周期为1秒的单摆的摆长”。当时的考虑是“取一个纯粹以自然决定而不以国家政令决定的长度单位为基准，以此建立不分国界的测量系统”。【1】
（一直再强调什么现在是本初子午线定义的：我们都知道的好么！
更何况现在已经不是本初子午线的定义了。关于米的正式定义，时间如下：
最新的一米为：1983年定义的：光在真空中一秒通过的距离的 1/299792458。）【2】
这就当年“米”一小段前身。不过当然，法国科学院在1791年选定了子午线的定义。因为该院认为要确保基本单位恒定不变，应以自然的物理量为基础。而地球表面的各处的重力有轻微的不同，会影响钟摆的测量。（虽然这中小的误差在我们这种凡人眼里根本没有区别好么……）。
对于故事有异议的，这里还有一篇讲历史的:
" The origins of the meter go back to at least the 18th century. At that time, there were two competing approaches to the definition of a standard unit of length. Some suggested defining the meter as the length of a pendulum having a half-period of one second; others suggested defining the meter as one ten-millionth of the length of the earth's meridian along a quadrant (one fourth the circumference of the earth). In 1791, soon after the French Revolution, the French Academy of Sciences chose the meridian definition over the pendulum definition because the force of gravity varies slightly over the surface of the earth, affecting the period of the pendulum.
"【3】
一句话翻译就是：“两种方法各行道，但钟摆定义不靠谱所以用了子午线的定义。”
恩，背景交代完毕，剩下的有高中物理力学基础的就可以自行推导了：
单摆周期公式，就是高中物理都学过的那个，
(嗯，我知道这里面有一个对于简谐振动模型的近似……但你们不会真的要追究这个吧………)
恩，好啦
T=2秒对不对
L=1米对不对
所以：
我都不忍心继续往下推倒了…………已经很明显了吧…………
而且，最重要的是：
在当时这不仅仅是只是数值相近哦，而是数值相等哦~~~
所以嘛，整个事件总而言之，我觉得可以这么理解：之所以有人觉得是巧合，有些人觉得不是巧合，是因为，推导的过程是千真万确的并不是巧合。但是当时提出这个定义的人（John Wilkins），其实是利用了：“用这样的方式居然可以推导出一个和其他定义几乎一样的数值”的这样一个巧合来尝试作为定义。”
事实上对于一个物理量的定义，本来不同的定义间就是没有任何关系的，取舍的关键在于是否精确和稳定，当时的子午线定义，和单摆的定义，以及后来的铂铱合金和再后来的光谱定义，他们之间并没有任何的参考，之所以得到的“米”都十分近似。只不过是被是定义者人为设定的好的而已。
只可惜正如同子午线的定义因为不够精确而被铂铱合金取代，而铂铱合金又被光谱的定义所取代。单摆这么谐星的定义实在是不够稳妥，所以最终被无情的取代的了而已。
1.
cnrs.fr, Géodésie et définition du mètre1790-1799
2. Cardarelli, François (2003). Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures.
Springer-Verlag London Ltd. ISBN 978-1-4471-1122-1.
3.
Base unit definitions: Meter类似的话题
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这真是一个引人入胜的巧合，让人不禁想探究背后的原因。国际单位制下地球表面的重力加速度（通常用 $g$ 表示）的数值，确实非常接近圆周率（$pi$）的平方。大约是 $9.80665 ext{ m/s}^2$，而 $pi^2$ 大约是 $9.8696 ext{ m/s}^2$。这中间的差异很小，但确............. -
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