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求烷烃同分异构体数目的通项公式? 第1页

  

user avatar   maigo 网友的相关建议: 
      

的同分异构体计数,确实挺难的。

知乎上有两篇专栏文章讨论了这个问题:

P.S. 如果有一个取代基,比如 ,那就简单多了。


user avatar   li-xiang-1-48 网友的相关建议: 
      

刚刚尝试了一下。虽然简洁的描述会涉及波利亚计数定理,但如果不怕繁琐,也是完全可以找到更初等的叙述方式的。

第一步,求n烷基的数量An。

每个n烷基的自由端连接着一个碳原子,这一个碳原子又连接着三个更小的烷基。设这三个更小的烷基分别有a,b,c个碳原子,那么a+b+c=n-1.

我们把三个更小的烷基分别有a,b,c个碳原子的烷基称为abc型烷基。

显然,当a,b,c互不相等时,abc型烷基有AaAbAc种,即三个烷基的数量相乘。

但是,如果三个数有两个相等,aab型烷基,那么就有Aa(Aa+1)Ab/2种,因为两个a型烷基是可以互换位置的,相当于“在Aa个元素里取两次,不计顺序,可以重复”这个组合问题。

同样的道理,aaa型烷基有Aa(Aa+1)(Aa+2)/6种。

把所有符合a+b+c=n-1的型号abc(要求从小到大排列,可以相等)的烷基数量算出来,然后加起来,结果就是An.

例如,如果我们已知A0=1,A1=1,A2=1,A3=2,A4=4,A5=8,

求A6:

005型有A5=8种,

014型有A1A4=4种,

023型有A2A3=2种,

113型有A3=2种,

122型有1种,

加起来一共17种,即A6=17.

实际上,这是一个递推公式。

第二步,求“一个碳原子有标记的n烷烃(简称标碳烷烃)”的数量。

设结果为Bn.利用第一步的结果。和第一步类似,标记的碳原子连接着四个烷基,按照四个烷基的碳原子数abcd分型号求解即可。

例如,求B6.

0005型:A5=8种

0014型:A1A4=4种

0023型:A2A3=2种

0113型:A3=2种

0122型:1种

1112型:1种

合计18种,即B6=18.

第三步,求“一个碳键有标记的n烷烃(简称标键烷烃)”的数量。

设为Cn.这一步较为简单,只需考虑碳链两端连接的两个烷基即可。

例如,求C6.

(注意没有06型,因为我们标记的键是碳—碳键,不是碳—氢键)
15型:A1A5=8种

24型:A2A4=4种

33型:A3(A3+1)/2=3种

加起来是15种,即C6=15.

第四步,求n烷烃的数量。

设为Dn,则Dn=Bn-Cn+A(n/2). n为奇数时最后一项为0.

例如D6=18-15+2=5.即己烷有五种同分异构体。

这个结论基于一个图论事实:

对任何一个烷基碳链来说,

设“不同地位”的碳原子(也就是说,标记不同地位的碳原子,产生不同的标碳烷烃)数量为u,

“不同地位”的碳键(也就是说,标记不同地位的碳键,产生不同的标键烷烃)数量为v,

而s表示“该碳链是否含有一个碳键,使得碳键两边对称”,若存在则s=1,不存在则s=0.

那么u-v+s=1.

对所有的n烷基碳链累加就得到第四步开头的公式。




  

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