无限大的围棋盘上某个子的存活概率是多少？ 第1页

偶然间想起几年前的这道题，沿着 byoshovel 的思路继续算了一下，考虑了 3 阶的 fixed polyominoes，略微改进了一下上下界。

主要是使用分类讨论，然后用条件概率进行计算。我们把要讨论死活的黑子称为天元黑子，其所在的黑子串称为天元黑子串。根据围棋的规则，只有与天元黑子串相邻的交叉点可能成为天元黑子串的气。在计算中，与天元黑子串相邻的交叉点的数量是我们需要特别注意的。

下界

我们根据天元黑子串的情况分为 4 类：1.孤立天元黑子；2.天元黑子串有 2 个黑子；3.天元黑子串有 3 个黑子，且为转角型；4.其他情况。

1.孤立天元黑子

这种情况下天元黑子周围的 4 个交叉点均不是黑子，所以这种情况发生的概率为 。而在这种情况下，只要 4 个交叉点不都是白子天元黑子就能存活，而需要注意的是，根据分类这 4 个点已经没有可能是黑子了，因而每个点是白子和空的条件概率各为二分之一，所以天元黑子存活的条件概率为 。因此这种情况对天元黑子存活的概率贡献为

2.天元黑子串有 2 个黑子

这种情况有 4 类可能（分别为天元黑子的上下左右为黑子），而与这两个黑子相邻的交叉点有 6 个，这 6 个交叉点自然不能是黑子，所以这种情况发生的概率为 。在这种情况下，与之前类似，与黑串相邻的点有 6 个，所以天元黑子存活的条件概率为 。因此这种情况对天元黑子存活的概率贡献为

3.天元黑子串有 3 个黑子，且为转角型

这个情况有根据转角的方向（4 个）和天元黑子在转角型 3 子中的位置（3 种）分类共有 4*3=12 类，而与这 3 个黑子相邻的交叉点有 7 个，所以这种情况发生的概率为 。在这种情况下，与之前类似，天元黑子存活的条件概率为 。因此这种情况对天元黑子存活的概率贡献为

4.其他情况

这种情况发生的概率为 。在这种情况下，注意到与天元黑串相邻的交叉点数量不少于 8 个，所以天元黑子存活的条件概率至少为 。因此这种情况对天元黑子存活的概率贡献至少为

综合起来，我们就得到了存活概率的下界

上界

类似地，我们根据天元黑子串的情况分为 4 类：1.孤立天元黑子；2.天元黑子串的形状为 1*n，其中 n 大于 1；3.天元黑子串有 3 个黑子，且为转角型；4.其他情况。这里的分类 2 与下界中的分类略有不同，因为在这里可以做出一个幂级数稍微地改进一下上界，但是如果在下界里面也这样弄的话在计算其他情况的时候式子就会变得略微复杂。

1.孤立天元黑子

这种情况发生的概率为 ，天元黑子死亡的条件概率为 ，因此这种情况对天元黑子死亡的概率贡献为

2.天元黑子串的形状为 1*n，其中 n 大于 1

对于某个 n，由于可以分为纵向和横向，且天元黑子可以位于 n 个位置中的任意位置，所以这种情况有 2n 种小类，另外注意到与 n 个黑子相邻的交叉点有 2n+2 个。所以这种情况发生的概率为 ，而天元黑子死亡的条件概率为 。因此这种情况对天元黑子死亡的概率贡献是一个级数，为

3.天元黑子串有 3 个黑子，且为转角型

这种情况发生的概率为 ，天元黑子死亡的条件概率为 ，因此这种情况对天元黑子死亡的概率贡献为

4.其他情况

由于我们需要的是天元黑子存活概率的上界，所以需要考虑黑子死亡概率的下界。但是在这种情况中，与黑串相邻的交叉点个数没有一个统一的上界，所以就没法用一个简单的式子给出界了，因而我们忽略掉这种情况。

综合起来，我们就得到了存活概率的上界

评论

我们用分类讨论的方法，通过一些复杂的计算给出了存活概率的更精确一些的上下界

但这似乎与 惠飞须泽胡桃 用 19 路棋盘模拟得到的 0.9825 不太符合，与 byoshovel 模拟的 0.98470±0.00004 到是符合的。

另外在上界的第 4 种情况中，我考虑过用 fixed polyominoes 的数量（OEIS A001168）的界，但是 OEIS 上的界是渐近的而我需要的是对于所有 n 都成立的界（尤其是需要对小的 n 成立的界否则误差可能会比较大），所以想得到更精确的上下界可能还是要计算机暴力枚举不可。

最后，我之前一直在想这里的这个存活概率与围棋合法局面数量的关系。关于围棋合法局面数量可以参考 Tromp 和 Farneback 的文章 Combinatorics of Go，里面证明了一个关于 n*n 棋盘上合法局面数量的常数的存在性，即

其中 L(n) 就表示 n*n 棋盘上合法局面数量，常数 L 被称为 base of liberties，约为 2.975734192043357249381。可以粗糙地认为当 n 很大的时候，对棋盘随机染色，大约会有 (L/3)^(n^2) 的局面是合法的，也就是所有棋子都是有气的。但是我没有想到这个常数与这题里的存活概率之间有意思的联系。

2021.11.29