如何证明任意比2更大的偶数都是两个素数之和？ 第1页

由于水平有限，笔者只会证明充分大的偶数能被表示成两个殆素数（almost prime）的和：

定理1：存在正整数m使所有大偶数都可以被拆分成两个各自的素因子个数都不超过m的正整数。

为了避免内容太冗长，我们不加证明地引用一种已知的筛法：

引理1（Brun筛^[1][2][3]）：若 、 为素数的子集、 ，用b(d)表示 中的同余类个数。若存在正实数X满足 且

则存在 使得 。

把这个结论摆上来之后我们就可以来看看怎么去用筛法来研究哥德巴赫猜想了。

从殆素数到筛法

当m、n为正整数时，倘若N的最小素因子p都满足 则有 。这意味着N最多只可能有m个素因子。此时我们就可以称n为一个m阶殆素数（almost prime of order m）。对于一个大偶数N，当我们在寻找和为N的两个殆素数时我们实际上在就是在寻找不超过N的正整数n使得n和N-n都是m阶殆素数。由于所有不超过 的素数都不超过 ，所以我们就可以得到以下充分条件：

引理2：对于一个偶数N，当不超过N的正整数n和N-n的所有素因子都不小于 则n和N-n各自的素因子个数都不超过m。

有了这个引理之后我们就可以构造筛法了。根据欧几里得引理，我们如果一个素数p整除n(N-n)则n和N-n中至少有一个是p的倍数。因此引理2就可以变成：

引理3：对于一个偶数N，若存在不超过N的正整数n使得n(N-n)没有小于 的素因子，则n和N-n各自的素因子个数都不超过m。

利用引理3，我们就可以构造筛法来计算这种殆素数的个数了：

定理2：对于大偶数N，若用 表示N能被拆成两个m阶殆素数的方法个数，则有：

其中 、 为全体素数。

通过定理2，我们成功地将殆素数问题转化成了筛法，所以就可以来计算把这些参数代入到引理1中来证明定理1。不过在此之前我们有必要探究一下哥德巴赫问题中对应的V(z)。

V(z)与哥德巴赫问题中的奇异级数

为了更好地套用定理1，我们有必要对b(d)进行确定从而得到V(z)的展开。当我们在研究 的同余类个数时，我们实际上就是在研究同余方程 的解数。而且这个解数满足：

通过分类讨论，我们就能得知：

把这个结论代入到V(z)中，便有：

对于第一个乘积，当z≥2时有：

而对于第二个乘积，由Mertens第三定理可知：

把这些渐近公式结合起来，我们就能得到结论：

引理4：若m为固定正整数、 ，则有：

其中

被称为哥德巴赫问题中的奇异级数（singular series）。

万事俱备只欠东风，我们接下来就可以来证明定理1了。

定理1的最终证明

根据引理1、定理2和定理4，我们知道存在常数 使得：

现在设置 ，我们就得到了定理1的加强形式：

定理3：存在正整数m和正实数A使得所有大偶数N被表示成两个m阶殆素数的之和方法个数均超过 。其中 由(*)来定义。

后记

其实本回答的展示的过程仅仅是m+m证明中最简单的部分。最复杂的部分其实还是引理1。通过优化引理1中K和 的具体大小。二十世纪前半叶中，数学家们先后证明了m+m的具体形式：

至此，数学家们对哥德巴赫问题的研究依然依赖于Brun筛。1949年Selberg提出了著名的 筛^[4]，这个方法的特点就是能够给出非常紧密的上界。通过将Brun、Buchstab和Selberg的方法结合，王元^[5]率先将4+4改进到3+4。之后对3+4的改进基本上都是通过Selberg筛来完成的。1973年陈景润对1+2的证明中也用到了Selberg筛：

有精力的话我再把引理1的证明整理出来。敬请期待更新！

参考

1. ^ Halberstam, H., & Richert, H.-E. (1974). Sieve methods. Academic Press.
2. ^ Ténenbaum, G. (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge University Press.
3. ^ Cojocaru, A., & Murty, M. R. (2005). An introduction to sieve methods and their applications. Cambridge University Press.
4. ^筛法（4）——Selberg筛法 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/388965550
5. ^ Wang, Y. (2005). Selected papers of Wang Yuan. World Scientific.

问题标签：钓鱼（户外运动）。这个标签是认真的吗？【手动狗头】

我，哥德巴赫，打钱

（狗头）