你在生活中用过最高端的数学知识是什么？ 第1页

当然是讲高冷段子了！

每当有人缠着非让讲一段的时候，我就不得不祭出轻易不用的高冷数学段子大法（都是被你们逼的！）：

第一个段子：

一个法国小朋友去学校学数学。

回家以后爸爸想考考他学的怎么样了，问：3+4 =？

小朋友：不知道

爸爸不甘心：那4+3呢？

小朋友：不知道

爸爸郁闷了：那你都知道啥啊？

小朋友：我知道 3+4 = 4+3

爸爸彻底郁闷了：这不是显然的嘛！！

小朋友：不！老师说要先证明这是一个阿贝尔群！

一般讲完这段，大家会愕然表示好冷好冷。

没关系，忽略。开讲第二段。

第二个段子：

从前有位老公公，他养了一群猴子。

早上他给每只猴子4个枣，晚上给3个。

猴子们不开心。

于是老公公说：那咱们改为每天早上3个，晚上4个好不好？

猴子们表示很开心。

注意：梗在这里↓↓↓

讲到这里，一定要淡淡地加一句：这个故事告诉我们，猴子们是不懂阿贝尔群的。

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呃，前两天好像刚讲过了的说。

那位还在用老式缝纫机打补丁的朋友，可能是个数学小天才！

老式的脚踏缝纫机应该是一代人的回忆，你仔细想过它的原理吗？为了更便捷地使用，上百年来聪慧的工程师对这种机器进行不断革新，这里就有着很奇妙的数学。即使今天已经出现了智能电动缝纫机，但处理布料的缝纫方式仍是线的各种组合，重新看这些老物件，或许会给人们新的启发。

撰文丨Tony Philips（石溪大学荣誉数学教授）

编译丨Hadron

缝纫机是十九世纪机械发明的奇迹之一。据说，圣雄甘地曾经称它是“人类为数不多的有用发明之一”。这种自动化的工具与打印机或者点钞机不同，应用它来处理的最终是实际的材料，而非呈现信息。在本文中我将从数学层面探索缝纫机和通常被同时提及的绕线器（bobbin winder）的原理：双线连锁缝纫法（Lockstich，也称为锁式线迹，是缝纫机上最常用的一种工艺）在拓扑层面上如何实现，以及阿基米德螺旋线形状的凸轮是如何保证在长线轴上均匀绕线的。

线步拓扑学

最原始的缝纫机使用的是单线链式线迹：

链式线迹缝法：每逢一针，一圈丝线都被拖进上一圈线形成的环中。

链式缝法在拓扑学上不是个难题，因为线完全不打结——只需拉动上图的右端线头，就足以让整个缝线瓦解。对于一些需要容易打开的情况，比如家里装满土豆或者狗粮的袋子，这种缝法是比较好用。但是，有的时候这个特性是灾难性的，除非你那么想要一件一扯就坏的衣服。

最早实现锁式缝法的缝纫机大约诞生于1830年至1850年间，这种缝纫机用两股线来缝制。

锁式线迹逢法：在每一个针脚处，上方的线与下方的线缠绕在一起，并且朝向一致。如果忽略要缝的布料，你会看到两股线均匀地缠绕在一起，一股绕着另一股。

一眼看上去，用机器缝出锁式缝法从拓朴学上来说似乎是不可能的。缝纫机用两股线来缝接缝，而每股线都来自一个线轴——上方的线来自位于机器顶端的线轴，下方的线则来自于隐藏在缝纫机内部梭子里的线筒。那么问题来了，这两股线是如何一圈一圈地缠绕在一起？

答案很简单，线筒没有固定在缝纫机上。在早期的缝纫机上，线筒装在子弹形状的梭子里，每缝一针，梭子就先前进穿过上线，当针抬起后，梭子退回，这样就完整地绕了一圈。梭子在缝纫机中能够自由地穿梭就是实现这种缝法的关键。在更现代的缝纫机中，线筒被卡在一个光滑的圆形金属梭子中，它处于一个固定的位置，但不是被完全固定住，而是可以转动。每缝一针，上方线都被挂到金属梭子上，随之转动后刚好和下方线缠起来并被拉紧。

图a

图b

两种实现锁形缝法的方案。图a：“振荡梭”。每缝一针，梭子带着线筒（蓝线）穿过上方线（红色）形成的环。图b：“旋梭”。线筒（绿线）被封闭在保持固定的圆形光滑梭子里，每缝一针上面的线（黄色）被拉向绕梭子一圈。在这两种情况下，为了保证在拓扑学上是可能的，梭子必需在机器内能够自由运动。

神奇的阿基米德螺旋线

这些有意思的东西我是从前同事，也是好友Enrico Giusti（意大利数学家）那里得知的。他之前在威尼斯举办的“数学与文化（Matematica e Cultura）”会议的讲座中提到了缝纫机和绕线器。这些内容也可以在佛罗伦萨的数学博物馆“阿基米德花园（The Garden of Archimedes）”里找到。另一位意大利数学家Franco Conti创建了这个展览，想法源于他和Giusti在2000年时出版的Oltre il Compasso: la geometria delle curve（《超越圆规：曲线的几何》）一书。博物馆网站上还有这些绕线器的工作机制。

对于那些不熟悉双线连锁缝纫机的人来说，每台机器都不相同，因为它们都有各自独特的梭芯——一个嵌在梭子内载着下方线的小线筒。为了更方便地将线绕在梭芯里的线筒上，每台缝纫机上都有绕线器这样的装置，它们通常挨着缝纫机的主轴，距离缝纫操作较远的地方。

左图展示的是经典的缝纫机，Singer Sphinx Model 27, 1910年制造。右图是绕线器的近距离展示。Model 27是有振荡梭的设计。

子弹状振荡梭模型和绕线筒，展示的这款长约1.5英寸。

对于那种圆形旋转梭里面较短的线筒，要保证线缠绕均匀通常不是问题，缝纫机上的绕线器能让线均匀地抽出来（当然还是建议你盯着点绕线的过程，必要时用手调整一下）。但是像上图中那种古老型号使用的又窄又长的线筒就不那么好办了：在缠绕过程中，需要沿着线筒来回引导线。有种非常简单的解决方法，即在绕线器上设计一个可动的结构，来达到来回运动的效果。下图展示了这种简单的机制，线可以被引导通过一个转动的、直径与线筒长度相等的环上，然后通过固定点连到绕线器，但这会导致线在线筒两端堆积。在右图中，可以看到绿色区域的绕线量是相同长度红色区域的两倍。Conti解释了这样做为什么会让线在线筒的两端堆叠。

（a）图为实际装置示意图，绕线筒绕沿平行纸面方向匀速旋转，圆盘沿垂直纸面方向匀速旋转。圆盘上黑点对应下的线筒的位置为绕线的位置。黑点在线筒上方停留时间的长短决定了绕线量的多少。如图（b）所示，圆盘均匀转动一圈时，绕线筒绿色部分区域在圆盘上对应的圆心角大小是红色部分所示区域对应圆心角大小的两倍，因此绿色区域的绕线量是红色区域的两倍。由此可见绕线将在线筒两端堆叠，结果如图（c）。

解决方案由这类缝纫机的发明者和后续发展者提出，就是在类似于上图的旋转圆盘上安装一个心形的凸轮，就像两条阿基米德螺旋拼起来一样。（在极坐标轴可以表示为当 0≤θ≤π，r=θ，当 −π≤θ≤0，r=−θ)。与之连接的臂杆可以调整以匹配绕线器的长度。

1868年出版的507 Mechanical Movements 收录了这种利用阿基米德螺旋把圆周运动转换成均匀线性运动的装置。（507 Mechanical Movements，《507种机械运动》，作者Henry T. Brown是The American Artisan杂志的编辑，这份刊物专门刊登工业革命时期机械工程领域的新内容，最终Brown将其集合成书，出版了21版。现在这本书可以在网上查到，并有动图。）这个缝纫机上的巧妙装置是第96个，书中还给出了解释。

阿基米德螺线

507种机械运动书中记录的心形凸轮

心形凸轮。心形凸轮的旋转可以使臂杆得到均匀的横向运动。虚线拟合出了心形凸轮的运动轨迹。臂杆装置被等分成任意个部分，从这些点确定了一系列的同心圆。从外圈的最左边的点开始，每向中心走一小格的时候，同时需要转动等间距的角度，逐渐走向中心。那么，这些同心圆和向外辐射线的交点就是我们希望拟合出来的曲线。

早些年比较火的光盘，实际上是由载有信息的条状介质（厚1.6微米）绕制而成的，它也是一条阿基米德螺旋线。这样做的好处是，当光盘匀速旋转时，读取信息的激光头只需要匀速地沿光盘做径向运动，就可以均匀地读取刻录在条状介质上的信息，而且不会间断。更古老的留声机的黑胶唱片也是类似的原理，它表面的信息载体——刻槽就形成了一条完美的阿基米德螺旋线。

阿基米德螺线是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。不同的是，有的是垂直旋转轴匀速直线运动，如前面提到的凸轮和光盘；有的是平行于转轴的匀速直线运动，如阿基米德扬水器。据说，公元前3世纪，阿基米德为了解决用尼罗河水灌溉土地的难题，发明了圆筒状的螺旋扬水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。阿基米德螺旋扬水器是最古老的水泵，借着螺旋曲面绕着旋转轴做旋转运动，将水从低处传输至高处，用于农田灌溉。凭着它操作简单、结构维修简便，流速平稳等优点，至今在工业应用中仍有阿基米德螺旋泵的身影。

上图所示为阿基米德螺旋扬水器，转轴每旋转一圈，每个格子里的水都向前推进一个螺距。

应该注意的是，阿基米德螺旋经常与另一种常见螺线——等角螺线（或称对数螺线）混弄，它们的区别在于后者旋转是以几何级数递增，而阿基米德螺线是恒定的。大数学家雅各布·伯努利对这种曲线颇为痴迷，相传他要求死后把等角螺线刻在墓碑上，结果最终工匠刻成了阿基米德螺线。

等角螺线

阿基米德螺线，这种简洁且深邃的曲线也出现在今天各类工程应用里，小到螺丝，大到通讯天线。技术的魅力在于为人类带来了切实的应用，而背后的原理更显自然界的神奇。或许你再翻出仍在储藏间角落的缝纫机，还能发现过去没注意到的科学道理。

本文图片均来源于网络

前几周，波士顿的北大校友会和清华、复旦、上交校友会一起办了一次相亲（？）活动。活动结束的时候，男嘉宾和女嘉宾都可以选择一个“心动异性”。最后在 27 位男嘉宾和 27 位女嘉宾中，有 3 对投了对方为心动异性。

有人问了一句，这个结果显著吗？P 值是多少？

大家一阵沉默。。。

换一个方式表达这个问题：

假如有 N 个男生和 N 个女生，每人都随机选择一位异性，最后有 x 对男女生互投了对方，求 x 的概率分布。

我作为工作人员，为了搞清楚我们这配上 3 对到底有多成功，或者说有多大概率是随机事件，后来推了半天才推出来，感觉愧对母校培养。

这个问题看似像经典的 Derangement 问题 （Derangement - Wikipedia），但其实有双向选择的要求，稍微更复杂一些。怎么港，绝对是我在生活中解决过的最复杂的数学问题了...

首先，由 linearity of expectation，可以很容易地得到，

记：N 男 N 女，恰好有 x 对互投的概率为 ， ，则

其中 定义为：共有 N 男 N 女，前 n 个男生和前 n 个女生之间没有配上对的概率。

通过容斥原理不难求出，

最后，对于我们这次活动，N = 27，

也就是说，如果大家都是随机选择，能够配成 3 对或更多的概率只有 7.3%，可以说我们办这个活动的配对是显著有效的了。

把这个公式写在这里，如果以后有人再办非诚勿扰活动，可以用这个公式算算显著性 。。。

# 大家猜猜一开始问显著性的同学学的是什么专业 （答案已揭晓！真身见评论区置顶）

= = = = = = = = = 下面是无趣的内容 = = = = = = = =

Update: 评论区有关于 “p 不是要 0.05 才显著吗” 的评论，其实答主无意构建严格的统计推断，也无意论证这里用什么样的 alpha 比较合理，只是把它当成一个好玩的组合问题罢了，显不显著就看个乐子吧~

Update 2: 想不到一天内这么多赞，谢谢大家。其实写这个文章的初衷是觉得计算 null hypothesis 下的概率分布非常有趣。评论区有很多关于 p-value 和模型假设的讨论，本来不想解释基本概念，但考虑到避免初学者被误导，建议初学者了解几个基本问题。

1, p-value 是什么。 p-value - Wikipedia。通俗地说，刻画的是 null hypothesis 跟当前 observation 的相符程度。具体到本文，刻画的是 “大家都随机选择” 这个假设跟 “27 男 27 女有 3 对配对成功“ 这个事件的相符程度。

2, 如果 p-value 很小，意味着什么。意味着，基于目前的 observation，要么 null hypothesis 不正确，要么我们观测到的是非常偶然的事件。

3, 怎么衡量 p-value “足够小”。这个阈值通常称为 alpha，它的选择需要考虑到很多因素，比如你对 type 1 error, type 2 error 的偏好，这个假设检验的结果将会被如何使用，等等。

4, 如果假设检验显著，能够说明什么？见第二个问题。如果认为 null hypothesis 不正确，具体到本文，意思就是 “大家并没有随机选择投票对象“。这可能有颜值因素，有心理学因素，有天气因素，甚至有可能是我们活动举办的好，等等。具体是 null hypothesis 以外的哪个 model，不得而知。我行文中把它完全归功于活动举办的好，纯粹是因为知乎是个娱乐（？）社区，好玩而已。

5, 为什么只考虑完全随机投票，我觉得应该考虑颜值等因素，建立更复杂的模型。很多同学说这个只是开开玩笑，但也有同学看上去比较认真。当然可以提出更多各种各样的 model，然后用观测数据去估测 model 里的各种参数。问题在于，我们几个校友会不太争气，目前就举办了一次活动，只有这一个 data point。“大家都随机选择“ 这个 null hypothesis 非常显然，尝试去 reject 它也是第一步。因为我们只有一个 data point，所以更复杂的 model 暂时没有价值。

6, 为什么不考虑置信区间（confidence interval）。Confidence interval - Wikipedia 因为 confidence interval 是估计某个参数 (parameter) 的时候才要考虑的概念。我们这里没有尝试估计任何 parameter，confidence interval 跟本题无关。我觉得评论区谈到这个的应该是在开玩笑，我也点了赞，但为了避免误导路过的初学者，作此解释。

7, 初学者思考题。 考虑扔一个外观正常的硬币 (1) 关于投掷它的结果，最直接的 null hypothesis 是什么？ (2) 如果扔了 N 次，都是正面，p-value 是多少？(3) 你觉得什么情况下能 reject null hypothesis？(4) 如果把正常硬币错判为非正常硬币，需要支付 x 元代价；把非正常硬币错判为正常硬币，需要支付 y 元代价。x 和 y 的值会怎么改变你在上一题中的回答？(5) 如果我扔了 100 次都是正面，请问以下解释你最喜欢哪个：A, 这个硬币不是一个 fair coin。B, 我非常幸运，主角光环，毕竟乐透都有人反复中奖。C, 硬币结果与一个隐藏的 “手气值” 有关，我今天手气值爆棚，但明天就不好说了。D, 我有超能力。

谢邀。

扬州城一年一度的斗宴到了，「一笑天」酒楼拿出了他们的成名之作：三套鸭。「三套鸭」是淮扬菜中的名品之一，以家鸭、野鸭和乳鸽为食材，香味层层嵌套，妙不可言。

我有幸尝到此等美味，刚刚入口，我便忘记了一切，仿佛天地之间的灵气都汇聚到了舌尖。再看周围人，也都沉浸其中，仿佛被口中的美味带到了另一个世界。

片刻之后，众人回过神来，这时坐在正中的老者才开始给我们讲解这「三套鸭」的奥妙：

「三套鸭的做法已经失传很久了，有一天我得到了一本菜谱，里边零星介绍了三套鸭的做法，我年事已高，便交给了我的爱徒研究。爱徒也很争气，不到两个月就做出了『三套鸭』。

「然而我尝了一口就失望了，因为口味和传说差得太远。三种肉的香味倒是不缺，但是没有浑然一体之气，这在厨艺上是致命的缺陷了。

「爱徒只看了一眼我尝第一口的表情便明白了，悻悻而退。又过了两个月，他又端来了他做的『三套鸭』。

「我尝了一口便震惊了，这次的感觉完全不同，各种味道融会贯通，真是『三「味」一体』！我狼吞虎咽地吃完剩下的鸭肉，这才问他这道菜是怎么做得。他微微一笑，开始讲述他的这两个月的经历。

「他开始几天愁眉不展，便出去闲逛。有一天遇到了一个学数学的朋友，聊到了这件事。他的朋友看了看菜谱，惊讶地发现『三套鸭』在菜谱中的名字又叫『七咂汤』，询问我徒弟，徒弟只说『七』是虚指，三种食材怎么会有七种味道呢？他的朋友略一沉思，抬头数道：『家鸭一味，野鸭一味，乳鸽一味，这是三味；家鸭和野鸭一味，家鸭和乳鸽一味，野鸭和乳鸽一味，又是三味；家鸭、野鸭和乳鸽一起，又是一味，这便是七种味道了。』爱徒恍然大悟，回家便做出了正宗的『七咂汤』！」

说到这里，老者停顿了一下，问我们：你们从这个故事里知道了什么？

我们面面相觑，老者笑道：

n元集合的非空子集有2的n次方减1个。

感谢周浩晖

，改编于此作品《三吃三套鸭》。