数学家 Elias M. Stein 逝世，如何总结他的工作？ 第1页

谢邀来答。

得知这个消息之后，我在朋友圈里面转发了Princeton 的讣告，配上了这样一段话，

“是永远读不对的名字，是永远借不到的书，是每次作业都要引用的文献，是留在草稿箱里面的求书的邮件，是读书读到天明的酣畅，是岁末年初悠扬不绝的钟声。”

对于每个工作在harmonic analysis 这个领域的人来说，E.M.Stein 注定是一个绕不过去的名字。一是因为他本人的学术突破，二是因为他本人或与其他合作者合著的书籍，三则是因为他培养的学生。

就我本人的观点而言，这三者在他的贡献中占据同等比重。不同于其他答者，我个人的回答可能具备较强的主观性。对Stein 工作的总结也更多是从我个人的角度和经历出发，而且我并不主张一个回答包罗万象或者几近完美，因为工作总结本身就是一件很难做到“包罗万象”的事情，所以我对自己一向宽容，不必求全责备，希望读者也能抱有同样的心态对待这个回答。如有谬误，欢迎指出；如有见解，欢迎讨论。

首先说个必要也不必要的事情，Stein 不是按照英语方式拼读的，这是一个德语单词，意思是stone，应该读作[ʃtain].

Academic progress

Princeton, Dean of the Faculty 上面关于E.M.Stein 有这样一句评价，

Mathematics may be divided into analysis, geometry and algebra. Eli is a towering figure in analysis.

这句话虽有溢美之嫌，但大体上还是属实的。（By the way, 我一直觉得这篇评价是Stein的学生Fefferman写的，大家有空可以观赏一下，比较到位准确）

Claim 我曾经花过一些时间甄别以下各理论中Eli 的工作和别人的工作，但我发现对于如今融合式的表达而言，这一做法无疑是使我的工作量成倍增加，而且我本人并没有进入科学史工作的愿望，所以以下各结论中，可能会有一些工作不完全归功于Eli ，希望大家在评论区对这样的现象予以指出，我将及时修正。

G.H.Hardy 曾经说过这样一句话，

All analysts spend half their time hunting through the literature for inequalities which they want to use and cannot prove.

因为一定程度上来说，良好的不等式是一座又一座函数空间转换的桥梁，是一个又一个存在唯一性的基石。一定程度上说，不等式就是分析学最基础的武器。

• Littlewood-Paley Theory

类比于real analysis 中常用的cut-off 函数 ，Fourier domain 上的分解可以通过构造一个bump function， 实现，它满足

（1）在 上为1；在 上 ；

（2） .

进一步，考虑periodic -function情形下，构造Littlewood-Paley projection，

对于non-periodic -function，我们考虑这样的形式，

Remark 事实上，我们需要首先考虑Schwartz function，然后通过Schwartz functions 在中稠密建立起这个等式。

基于这样的工作，Stein 在Littlewood, Paley, Bernstein 等人的工作基础上，考虑了square function，形成了这样一个estimate，

其中， .

Remark 通常，这个证明是通过关于singular integral 的Calderon-Zygmund theory 完成的。

无疑，这个工作的贡献是巨大的，为后续建立Sobolev space 上的product estimate，即考虑 上 ，我们断言，

（1） ；

（2） .

使用上述的Littlewood-Paley projection 就可以规避Leibniz multiple-derivative rule 中类似 此类项的控制。进一步地，Littlewood-Paley projection 还可以和Endpoint(Non-endpoint) Sobolev embedding theorem, Bernstein inequality 结合，一同构成了Sobolev 空间PDE分析的基石。

• Calderon-Zygmund theory

事实上，Stein 另一大部分的工作集中在这个部分的refinement & clarification 上面，包括Stein interpolation theorem, Stein maximal principle, Stein's spherical maximal theorem 等等比较关键的工作。但是这一部分很难通过类似上一部分直白的或说较为friendly 的语言叙述，所以这一部分阅读起来比较困难。

1. Stein (Stein-Fefferman) interpolation theorem

这一定理的来源是Riesz-Thorin interpolation theorem，所以我们首先来介绍一下这个定理。当我们考虑一个linear operator, 从一个 -finite 测度空间 到另一个同类空间 满足，

（1） ；

（2）对于所有的 满足估计：

其中 ，那么我们考虑 空间上的 经 映到 空间上满足这样的估计：

其中 . 事实上，这个定理的证明并不复杂。我们可以通过 space & dual space 建立起等式，

然后通过定义不同 上的定义值，我们可以得到一个entire function,

满足在 时的值为 . 通过Hadamard three-lines theorem, 我们便可以得出这个结论。在这个定理基础上，Stein 将其拓展为一族在 上关于 解析的算子 满足：

成立对于所有的 . 其中 是一个关于 增长速率慢于双重 的常数，那么我们可以建立起估计：

Remark Stein 的学生Fefferman 使用了一种更为本质的观察。他通过观察这样一种形式，

其中 是关于 的解析函数。从而通过条件，可以建立起 的bound，从而通过dual space 和Lindelöf theorem 可以重新建立起Riesz-Thorin interpolation theorem，而这种思考的源泉也是Stein 在他的interpolation theorem 的证明。因此，这个定理也被称为Stein-Fefferman interpolation theorem.

Remark 事实上，上文所述的Hadamard three-lines theorem 也是Lindelöf theorem 的一个推论。

2. Stein maximal principle

考虑一列bounded 算子 ，考虑在 中某些稠密的子类中，如连续的紧支集函数（当然，我们还需要考虑一个合理的空间 ）。我们已经知道 是pointwise a.e. 收敛的，那么，进一步地，一个显然的问题是，当我们考虑所有上的函数时，如何才能做到同样的事情呢？

显然，一个自然的考虑是使用maximal operator，假定， 。等价来说，我们需要对所有的 （或此时我们可以直接使用稠密类）建立起一个不等式，

其中 。这个意义在于，在一定规定的条件下，a.e.收敛等价于maximal operator 的有界性。无疑，Stein 的贡献就是建立起来了这一套不等式。他的结果是：考虑 是一个compact group， 是装备Haar measure 的 的homogeneous space，在 的情况下，再假设 communicating with translations(sorry，这一部分我不知道如何翻译……)，我们上述的不等式就可以得以实现。证明的过程比较长，我就不摆上来了……这是Stein 原文的证明，和我们的表述略有差别。

一个相关的结果是Nikishin–Pisier–Stein factorization theorem. 这个考虑也是比较自然的，既然原始考虑是在同一个 空间进行的，那么，如果考虑结果又会如何呢？这个定理回答了这个问题，事实上，如果保持并假定 ，那么，对于任意 ，都将存在一个测度不大于 的集合 满足，

3. Stein spherical maximal theorem

TBC

• Merry Christmas! 祝大家圣诞快乐！