随机取牌算不出 24 点的概率是多少？ 第1页
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mario-super-34 网友的相关建议:
这道题很有意思，可以理解为，从一副牌里随机抽取4张数字牌，用基础运算，也就是只用加减乘除以及括号算不出来的概率有多大，不允许采用乘方，阶乘等操作。
（网传的笑话就是，如果允许阶乘和求导的话，四张牌任何一个数对未知数求导为0，然后0的阶乘为1，四个1相加再阶乘为24，因此全部都有解）
首先，我们分两种情况来考虑，一种是去掉大小王和JQK，另一种是只去大小王，JQK当成11，12，13。前者一共有C(40,4) = 91390种情况，后者一共有C(52,4)＝270725种情况。
我们可以用程序来模拟。我们把四张牌所有的数字组合都列出来。
然后对于任何一种组合，比如1，2，3，4，我们用permutation列出24种顺序，然后对于中间三个空当，把＋－＊／四个符号填进去，这样又有64种情况，最后，我们用递归调用法，把所有的运算顺序都给列出来，起到加括号的作用。这样就可以达到目的。
这里要注意的是，因为牌的数量有限， 每一种数字组合出现的概率是不一样的，比如四个4，只有一种可能，那就是草花4，红桃4，黑桃4，方块4。但是对于1234，情况则高达256种，因为四个数字每种都有4个花色。因此后者的概率是前者的256倍。我的做法是，每种都要赋予不同的权重。
这是我的程序代码
_author_ = "super mario" from itertools import permutations def getvalue(left,right,num,s): if left==right: return [num[left]] output = [] for i in range(left,right): for leftnum in getvalue(left,i,num,s): for rightnum in getvalue(i+1,right,num,s): if s[i]=='+': output.append(leftnum+rightnum) if s[i]=='-': output.append(leftnum-rightnum) if s[i]=='*': output.append(leftnum*rightnum) if s[i]=='/': if rightnum==0: continue if leftnum%rightnum < 10**(-6): output.append(leftnum*1.0/rightnum) else: output.append(leftnum*1.0/rightnum+0.000001) return output symbol = ["+","-","*","/"] def solve(nums): flag = 0 for num in permutations(nums): for index in range(64): i1,i2,i3 = index/16,index%16/4,index%4 s = [symbol[i1],symbol[i2],symbol[i3]] result = getvalue(0,3,list(num),s) for r in result: if abs(r-24)<10**(-12): string = str(num[0])+s[0]+str(num[1])+s[1]+str(num[2])+s[2]+str(num[3]) flag = 2 elif 10**(-12) < abs(r-24) < 10**(-3): string = str(num[0])+s[0]+str(num[1])+s[1]+str(num[2])+s[2]+str(num[3]) if flag!=2: flag = 1 return flag total,solved,totalw,solvedw = 0,0,0,0 for num1 in range(14): for num2 in range(1,num1+1): for num3 in range(1,num2+1): for num4 in range(1,num3+1): if num1==num2==num3==num4: weight = 1 elif num1==num2==num3 or num2==num3==num4: weight = 16 elif num1==num2 and num3==num4: weight = 36 elif num1==num2 or num2==num3 or num3==num4: weight = 96 else: weight = 256 total += 1 totalw += weight nums = [num1,num2,num3,num4] result = solve(nums) if result==0: print nums[0],nums[1],nums[2],nums[3] solved += 1 solvedw += weight print total print solved print "----" print totalw print solvedw 最后的的运行结果，如果是1-10数字，一共有79936种情况有解，算不出的概率是12.53%，平均每抽八个组合，有一个算不出来。如果是1-13的数组，则一共有217817种是有解的，算不出的概率是19.54%，平均每抽五次，就有一次算不出来。
如果只考虑组合，不考虑权重，1-10一共有715种组合，算不出来的共149种，比率为20.84%。而1-13有1820种组合，算不出来的有458种，比率为25.16%。我们发现这个比率大于概率，因为不同的数字越多，出现的概率越高，所以可以认为不同数字的牌相对更容易形成24点。这点也是能理解的，因为不同数字可以形成的结果也越多，就好比一把枪有了更多的子弹，可以射向更多的位置，更容易击中24这个目标。
总之，大部分情况下，我们还是能算出来的。
另外，我还额外研究来一种情况，那就是必须要通过分数的操作运算才能算出的组合，这种被成为高难度组合。比如5551，必须用5x(5-1/5)，化整为分，最后化分为整才能算出。我的程序的做法是，对每个不能被整除的除法，给出 的偏移，然后输出的时候，如果某牌组，没有运算输出24，但是有组合输出离24的牌相差 到 的情况，则视为必须通过分数运算才能得到的高难度组合，输出结果后再进行进一步验算确认。
最后发现，这样高难度的牌一共有15种。其中10种在1－10以内。
其中最难的我个人认为是8 8 3 3，因为看似很简单，三八24，但是你需要用到的操作是，先用3减去8/3得到1/3，然后用另一个8去除这个数。
最后，我把24点1-10以内的算不出的组合全部列在下面供大家参考。
GalAster 网友的相关建议:
这是一道元编程题啊, 远离 for 循环波动拳...
fs = Evaluate [ DeleteDuplicatesBy [ Groupings [ Permutations [{ #1 , #2 , #3 , #4 }, { 4 }], { Plus -> { 2 , Orderless }, Subtract -> 2 , Times -> { 2 , Orderless }, Divide -> 2 }, Inactive ], Factor @* Activate ]] & ; sollutions = Select [ Tally [ all = Subsets [ Flatten @ Table [ ConstantArray [ i , 4 ], { i , 13 }], { 4 }]], AnyTrue [ Quiet [ Activate [ fs @@ First @ # ]], # === 24 & ] & ]; TemplateApply [ "排列的合法组合: ``" , { Length @ fs [[ 1 ]]}] TemplateApply [ "所有排列的数量: ``" , { Length @ all }] TemplateApply [ "有解的排列数量: ``" , { Tr @ sollutions [[ All , -1 ]]}] 没错, 就这么点代码, 元编程就是这么强大
所以答案就是
这段代码什么原理呢
算二十四点可以看成是四个数字外加三个运算符组合
确切的说是任意两个数字和一个符号加括号, 从数学上讲就是求卡特兰数
treeR [ 1 ] = n ; treeR [ n_ ] := treeR [ n ] = Table [ o [ treeR [ a ], treeR [ n - a ]], { a , 1 , n - 1 }] treeC [ n_ ] := Flatten [ treeR [ n ] //. { o [ a_List , b_ ] :> ( o [ # , b ] & /@ a ), o [ a_ , b_List ] :> ( o [ a , # ] & /@ b )}] TreeForm [ # , AspectRatio -> 0.618 ] & /@ treeC [ 4 ] 如图所示4个数字 n 外加 3 个符号 o 一共是 5 种二叉生成树
牌的总数是13*4任选4张, 然后全排列, 符号的总数是四选n-1个槽轮换
所以总的复杂度是
因此对每一对数字需要计算7680个模式, 一共是 1820 种组合, 总的计算量是 1397 7600 次
这有点多不过 Mathematica 你可是数学软件, 你难道不知道加法交换律和乘法交换律吗
代码的第一行就是通过元编程生成了这 7680 个函数, 然后因为加法和乘法具有交换律, 所以 Mathematica 可以约化这两个算符子树交换的情形, 于是本质上只剩下了 1170 个函数
接着对每个排列轮流应用这 1170 个函数, 如果有为24的解就输出, 否则删除
最后取补集, 一共得到 458 个无法通过四则运算计算出 24 点的情况:
1 -> { 1 , 1 , 1 , 1 } 2 -> { 1 , 1 , 1 , 2 } 3 -> { 1 , 1 , 1 , 3 } 4 -> { 1 , 1 , 1 , 4 } 5 -> { 1 , 1 , 1 , 5 } 6 -> { 1 , 1 , 1 , 6 } 7 -> { 1 , 1 , 1 , 7 } 8 -> { 1 , 1 , 1 , 9 } 9 -> { 1 , 1 , 1 , 10 } 10 -> { 1 , 1 , 2 , 2 } 11 -> { 1 , 1 , 2 , 3 } 12 -> { 1 , 1 , 2 , 4 } 13 -> { 1 , 1 , 2 , 5 } 14 -> { 1 , 1 , 3 , 3 } 15 -> { 1 , 1 , 4 , 11 } 16 -> { 1 , 1 , 4 , 13 } 17 -> { 1 , 1 , 5 , 9 } 18 -> { 1 , 1 , 5 , 10 } 19 -> { 1 , 1 , 5 , 11 } 20 -> { 1 , 1 , 5 , 12 } 21 -> { 1 , 1 , 5 , 13 } 22 -> { 1 , 1 , 6 , 7 } 23 -> { 1 , 1 , 6 , 10 } 24 -> { 1 , 1 , 6 , 11 } 25 -> { 1 , 1 , 6 , 13 } 26 -> { 1 , 1 , 7 , 7 } 27 -> { 1 , 1 , 7 , 8 } 28 -> { 1 , 1 , 7 , 9 } 29 -> { 1 , 1 , 7 , 11 } 30 -> { 1 , 1 , 7 , 12 } 31 -> { 1 , 1 , 7 , 13 } 32 -> { 1 , 1 , 8 , 9 } 33 -> { 1 , 1 , 8 , 10 } 34 -> { 1 , 1 , 8 , 11 } 35 -> { 1 , 1 , 8 , 12 } 36 -> { 1 , 1 , 8 , 13 } 37 -> { 1 , 1 , 9 , 9 } 38 -> { 1 , 1 , 9 , 10 } 39 -> { 1 , 1 , 9 , 11 } 40 -> { 1 , 1 , 9 , 12 } 41 -> { 1 , 1 , 10 , 10 } 42 -> { 1 , 1 , 10 , 11 } 43 -> { 1 , 2 , 2 , 2 } 44 -> { 1 , 2 , 2 , 3 } 45 -> { 1 , 2 , 5 , 11 } 46 -> { 1 , 2 , 7 , 13 } 47 -> { 1 , 2 , 8 , 11 } 48 -> { 1 , 2 , 8 , 12 } 49 -> { 1 , 2 , 9 , 9 } 50 -> { 1 , 2 , 9 , 10 } 51 -> { 1 , 2 , 10 , 10 } 52 -> { 1 , 3 , 3 , 13 } 53 -> { 1 , 3 , 5 , 5 } 54 -> { 1 , 3 , 7 , 11 } 55 -> { 1 , 3 , 10 , 13 } 56 -> { 1 , 3 , 11 , 13 } 57 -> { 1 , 4 , 4 , 13 } 58 -> { 1 , 4 , 7 , 10 } 59 -> { 1 , 4 , 8 , 10 } 60 -> { 1 , 4 , 9 , 9 } 61 -> { 1 , 4 , 10 , 13 } 62 -> { 1 , 4 , 11 , 11 } 63 -> { 1 , 4 , 11 , 12 } 64 -> { 1 , 4 , 11 , 13 } 65 -> { 1 , 4 , 12 , 13 } 66 -> { 1 , 4 , 13 , 13 } 67 -> { 1 , 5 , 5 , 7 } 68 -> { 1 , 5 , 5 , 8 } 69 -> { 1 , 5 , 7 , 7 } 70 -> { 1 , 5 , 11 , 13 } 71 -> { 1 , 5 , 12 , 13 } 72 -> { 1 , 5 , 13 , 13 } 73 -> { 1 , 6 , 6 , 7 } 74 -> { 1 , 6 , 7 , 7 } 75 -> { 1 , 6 , 7 , 8 } 76 -> { 1 , 6 , 7 , 13 } 77 -> { 1 , 6 , 9 , 11 } 78 -> { 1 , 6 , 10 , 10 } 79 -> { 1 , 6 , 10 , 11 } 80 -> { 1 , 6 , 11 , 11 } 81 -> { 1 , 6 , 13 , 13 } 82 -> { 1 , 7 , 7 , 7 } 83 -> { 1 , 7 , 7 , 8 } 84 -> { 1 , 7 , 7 , 13 } 85 -> { 1 , 7 , 8 , 13 } 86 -> { 1 , 7 , 10 , 10 } 87 -> { 1 , 7 , 10 , 11 } 88 -> { 1 , 7 , 11 , 11 } 89 -> { 1 , 7 , 11 , 12 } 90 -> { 1 , 7 , 11 , 13 } 91 -> { 1 , 8 , 8 , 13 } 92 -> { 1 , 8 , 9 , 9 } 93 -> { 1 , 8 , 9 , 10 } 94 -> { 1 , 8 , 10 , 10 } 95 -> { 1 , 8 , 11 , 11 } 96 -> { 1 , 8 , 12 , 13 } 97 -> { 1 , 8 , 13 , 13 } 98 -> { 1 , 9 , 9 , 9 } 99 -> { 1 , 9 , 9 , 10 } 100 -> { 1 , 9 , 9 , 11 } 101 -> { 1 , 9 , 9 , 13 } 102 -> { 1 , 9 , 10 , 10 } 103 -> { 1 , 9 , 10 , 11 } 104 -> { 1 , 9 , 12 , 13 } 105 -> { 1 , 9 , 13 , 13 } 106 -> { 1 , 10 , 10 , 10 } 107 -> { 1 , 10 , 10 , 11 } 108 -> { 1 , 10 , 10 , 13 } 109 -> { 1 , 10 , 11 , 11 } 110 -> { 1 , 10 , 11 , 13 } 111 -> { 1 , 10 , 13 , 13 } 112 -> { 1 , 11 , 11 , 11 } 113 -> { 1 , 13 , 13 , 13 } 114 -> { 2 , 2 , 2 , 2 } 115 -> { 2 , 2 , 2 , 6 } 116 -> { 2 , 2 , 5 , 13 } 117 -> { 2 , 2 , 7 , 9 } 118 -> { 2 , 2 , 7 , 11 } 119 -> { 2 , 2 , 8 , 11 } 120 -> { 2 , 2 , 8 , 13 } 121 -> { 2 , 2 , 9 , 9 } 122 -> { 2 , 2 , 9 , 13 } 123 -> { 2 , 2 , 10 , 12 } 124 -> { 2 , 3 , 3 , 4 } 125 -> { 2 , 3 , 9 , 11 } 126 -> { 2 , 3 , 10 , 11 } 127 -> { 2 , 4 , 7 , 13 } 128 -> { 2 , 4 , 9 , 11 } 129 -> { 2 , 4 , 11 , 13 } 130 -> { 2 , 4 , 12 , 13 } 131 -> { 2 , 5 , 5 , 5 } 132 -> { 2 , 5 , 5 , 6 } 133 -> { 2 , 5 , 7 , 12 } 134 -> { 2 , 5 , 9 , 9 } 135 -> { 2 , 5 , 9 , 13 } 136 -> { 2 , 5 , 11 , 11 } 137 -> { 2 , 5 , 11 , 13 } 138 -> { 2 , 5 , 13 , 13 } 139 -> { 2 , 6 , 7 , 7 } 140 -> { 2 , 6 , 9 , 13 } 141 -> { 2 , 6 , 11 , 11 } 142 -> { 2 , 6 , 13 , 13 } 143 -> { 2 , 7 , 7 , 7 } 144 -> { 2 , 7 , 7 , 9 } 145 -> { 2 , 7 , 8 , 10 } 146 -> { 2 , 7 , 9 , 9 } 147 -> { 2 , 7 , 9 , 12 } 148 -> { 2 , 7 , 10 , 13 } 149 -> { 2 , 7 , 11 , 11 } 150 -> { 2 , 7 , 11 , 13 } 151 -> { 2 , 7 , 13 , 13 } 152 -> { 2 , 8 , 11 , 13 } 153 -> { 2 , 9 , 9 , 9 } 154 -> { 2 , 9 , 9 , 10 } 155 -> { 2 , 9 , 11 , 12 } 156 -> { 2 , 9 , 12 , 12 } 157 -> { 2 , 10 , 10 , 10 } 158 -> { 2 , 10 , 12 , 12 } 159 -> { 2 , 10 , 13 , 13 } 160 -> { 3 , 3 , 3 , 13 } 161 -> { 3 , 3 , 4 , 10 } 162 -> { 3 , 3 , 5 , 8 } 163 -> { 3 , 3 , 5 , 11 } 164 -> { 3 , 3 , 7 , 10 } 165 -> { 3 , 3 , 8 , 11 } 166 -> { 3 , 3 , 10 , 10 } 167 -> { 3 , 3 , 10 , 11 } 168 -> { 3 , 3 , 10 , 12 } 169 -> { 3 , 3 , 11 , 11 } 170 -> { 3 , 3 , 13 , 13 } 171 -> { 3 , 4 , 6 , 7 } 172 -> { 3 , 4 , 7 , 13 } 173 -> { 3 , 4 , 8 , 8 } 174 -> { 3 , 4 , 9 , 10 } 175 -> { 3 , 4 , 10 , 11 } 176 -> { 3 , 4 , 11 , 11 } 177 -> { 3 , 4 , 13 , 13 } 178 -> { 3 , 5 , 5 , 5 } 179 -> { 3 , 5 , 5 , 10 } 180 -> { 3 , 5 , 5 , 13 } 181 -> { 3 , 5 , 7 , 7 } 182 -> { 3 , 5 , 8 , 10 } 183 -> { 3 , 5 , 9 , 11 } 184 -> { 3 , 5 , 11 , 13 } 185 -> { 3 , 6 , 7 , 11 } 186 -> { 3 , 6 , 8 , 11 } 187 -> { 3 , 6 , 10 , 13 } 188 -> { 3 , 7 , 7 , 11 } 189 -> { 3 , 7 , 8 , 10 } 190 -> { 3 , 7 , 10 , 12 } 191 -> { 3 , 7 , 11 , 13 } 192 -> { 3 , 8 , 8 , 13 } 193 -> { 3 , 8 , 10 , 13 } 194 -> { 3 , 8 , 11 , 13 } 195 -> { 3 , 10 , 10 , 10 } 196 -> { 3 , 10 , 10 , 11 } 197 -> { 3 , 10 , 10 , 13 } 198 -> { 3 , 10 , 11 , 11 } 199 -> { 3 , 10 , 12 , 12 } 200 -> { 3 , 10 , 12 , 13 } 201 -> { 3 , 10 , 13 , 13 } 202 -> { 3 , 11 , 11 , 11 } 203 -> { 3 , 11 , 11 , 13 } 204 -> { 3 , 11 , 12 , 13 } 205 -> { 3 , 11 , 13 , 13 } 206 -> { 3 , 13 , 13 , 13 } 207 -> { 4 , 4 , 4 , 13 } 208 -> { 4 , 4 , 5 , 9 } 209 -> { 4 , 4 , 6 , 6 } 210 -> { 4 , 4 , 6 , 7 } 211 -> { 4 , 4 , 7 , 11 } 212 -> { 4 , 4 , 9 , 9 } 213 -> { 4 , 4 , 9 , 10 } 214 -> { 4 , 4 , 9 , 13 } 215 -> { 4 , 4 , 10 , 11 } 216 -> { 4 , 4 , 11 , 11 } 217 -> { 4 , 4 , 13 , 13 } 218 -> { 4 , 5 , 5 , 11 } 219 -> { 4 , 5 , 5 , 12 } 220 -> { 4 , 5 , 5 , 13 } 221 -> { 4 , 5 , 9 , 11 } 222 -> { 4 , 6 , 6 , 11 } 223 -> { 4 , 6 , 6 , 13 } 224 -> { 4 , 6 , 7 , 11 } 225 -> { 4 , 6 , 7 , 13 } 226 -> { 4 , 6 , 8 , 11 } 227 -> { 4 , 6 , 9 , 11 } 228 -> { 4 , 6 , 10 , 13 } 229 -> { 4 , 6 , 11 , 13 } 230 -> { 4 , 7 , 7 , 9 } 231 -> { 4 , 7 , 7 , 10 } 232 -> { 4 , 7 , 7 , 12 } 233 -> { 4 , 7 , 7 , 13 } 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