有哪些分析的恒等式有很深刻的数学背景？ 第1页

这个问题的大标题有些不太恰当，有贬低分析的zhengzhi不正确倾向。

题主的zhengzhi正确问法应当是：有哪些可以用分析方法得到的恒等式，有数论/代数/几何/组合方面的解释/推论（或者相反的方向）？

这个问题的回答可以说讲上一千零二个夜晚都讲不完，因为实在太丰富太有趣了，简直就是数学中的百宝箱。前面的两个回答提到了一些例子，特别是 @牧童 的回答，浅入深出，可谓是讲数学故事的典范之作。

所以我就只能讲一讲自己熟悉的一方面故事，而且这个故事相当经典，至于究竟深刻不深刻则纯属个人判断。回想一下自己学习了这么久也从来没有想到过要整理一下这方面内容，所以这个答案某种程度上出于自私的目的，是写给自己看的，当然我会写的尽量基础。

这个小狗屎的大标题就是：许多重要的恒等式有 Lie theory 的自然解释。

先讲第一个夜晚的故事。首先声明这方面的内容在很多书上有，但是对于一般读者来说花费的精力较多，所以主要突出结果和主要思想。理解相应的具体结果，不需要数分线代复变以外的知识。

我们回忆著名的范德蒙行列式等式：

其中 是变量。这是一个线性代数课程里面必讲的例子，作为练习也不难得到。当然这个等式一点都不“分析”，看上去逼格也不够，所以并不是我们故事的主角,但是它为后面的叙述做了一个很好的铺垫。

想要有分析和逼格，一个只有有限项的等式肯定是不行的。下面这个著名的雅可比三项乘积 (Jacobi triple product) 等式，是第一个主角

这里面有两个自由变量 。首先它可以作为一个分析的恒等式，把 看成复变量(但是有收敛范围 )。这个等式可以用基本的复分析方法证明，可见 Stein 《复》chap. 10。实际上等式右侧就是著名的雅可比 theta 函数。这个 theta 函数的非同寻常支出在于它可以由左侧的无穷乘积得到故得名，而这是比较“稀有”的现象。换用代数几何的逼格语言，（雅可比）theta 函数作为（一维）复环面 (做标准变量替换 , 作为 的函数) 上全纯线丛的的全纯截面，其除子可以被具体决定出来。

既然范德蒙行列式是关于 个变量 的，雅可比三项乘积是关于一个 和一个 的，那么有没有一个等式把两个东西都结合起来是同时关于 个变量 和一个 的呢？

这里存在着一群封建领主，叫做麦当劳等式 (Macdonald's identities)。嗯就是和 Atiyah一起的麦当劳爷爷。

麦当劳等式实际上是一系列关于有限型（finite type）和仿射型 (affine) Kac-Moody 李代数的等式，包括了范德蒙行列式等式（有限型 ）和雅可比三项乘积等式（仿射型 ）。直观起见我就不辞劳苦地下来 型的麦当劳等式。为了给等式的叙述做铺垫我们需要引入（关于 的）有理对称多项式, 不妨称作有理Schur函数，定义如下：对任意一个 重整数数组 定义“广义范德蒙行列式”

特别的这里取 ， 就是前面通常的范德蒙行列式。那么我们定义关于 的有理Schur函数 为

注意到尽管这是个分式，但是利用范德蒙行列式等式之后会发现分子分母具有公因子 , 于是分母是整除分子的，因而实际得到的是关于 的多项式。另外由行列式的性质，这个有理多项式关于明显是对称的。进一步的 若满足 , 那么相应的有理多项式只有 正整数次幂因而是（对称）多项式，称作 Schur函数 （或者Schur 多项式）。顺便提下，Schur函数给出了对称多项式环“好”的一组基，相应的结构系数恰好全是非负整数。

型的麦当劳等式形状如下：

在这个等式当中左侧仍然是一些列无穷乘积，右侧则是一个类似 theta 函数（但并不是）的求和，其中每一项 的幂次是关于 的二次型求和，前面的系数是有理schur多项式，而雅可比三项乘积等式是 时候的特例。

在这里做几个remark。

注1. 右侧的求和实际上是在所谓-型根晶格 (-root lattice)上做的，记作 。是一个初等的几何对象，它是欧氏空间 当中的离散点集，或者说就是一些晶格点：

其中 是一组向量(实际上也是一组基),他们内积的Gram矩阵为

当中 是标准的欧氏内积。这一组基的一种去发可以用 的标准正交基 表达

以上的 型麦当劳等式，就是对 Kac “infinite dimensional Lie algebras” p.219上公式对型晶格的应用。原本试图直接抄来一个已有的形式然而发现并没有，因此写下这个可以让一般人看懂的形式，占去了本文大部分时间（另外其中可能有某些未修正的错误）。

注2. 除去 A-型根晶格, 麦当劳等式还可以推广到其余的根晶格（root lattices），如 BCDEFG型，对应相应的单李代数的Dynkin图。另外还可以加上相应的 twist, 所以最一般的形式可以针对 ,其中 , 为秩， 称作 tier number, 表示相应twist 的“程度”。

尽管具体写下所有这些等式可以不用任何的 Lie theory，但是麦当劳等式的统一解释需要 Lie theory。麦当劳等式中的所有领主都是由一个王统治的：分母等式 (denominator identities),而分母等式背后还有一个更厉害的王后，叫做特征公式 （character formula）。更具体地说，是关于Kac-Moody 代数可积最高权模（ integrable highest weight module） 的特征公式。有了这些东西，麦当劳的子孙可以说无穷无尽不可胜数。

由于本年度时间余额已经耗尽，所以不妨就先讲到这里。这里只是庞大冰山一小角，后面的故事，我们明年继续讲。

未完待续。