为什么 Bert 的三个 Embedding 可以进行相加？ 第1页

这是一个很有意思的问题，苏剑林老师给出的回答，真的很妙：

Embedding的数学本质，就是以one hot为输入的单层全连接。
也就是说，世界上本没什么Embedding，有的只是one hot。

在这里想用一个简单的例子再尝试理解一下：

假设 token Embedding 矩阵维度是 [4,768]；position Embedding 矩阵维度是 [3,768]；segment Embedding 矩阵维度是 [2,768]。

对于一个字，假设它的 token one-hot 是[1,0,0,0]；它的 position one-hot 是[1,0,0]；它的 segment one-hot 是[1,0]。

那这个字最后的 word Embedding，就是上面三种 Embedding 的加和。

如此得到的 word Embedding，和concat后的特征：[1,0,0,0,1,0,0,1,0]，再过维度为 [4+3+2,768] = [9, 768] 的全连接层，得到的向量其实就是一样的。

再换一个角度理解：

直接将三个one-hot 特征 concat 起来得到的 [1,0,0,0,1,0,0,1,0] 不再是one-hot了，但可以把它映射到三个one-hot 组成的特征空间，空间维度是 4*3*2=24 ，那在新的特征空间，这个字的one-hot就是[1,0,0,0,0...] (23个0)。

此时，Embedding 矩阵维度就是 [24,768]，最后得到的 word Embedding 依然是和上面的等效，但是三个小 Embedding 矩阵的大小会远小于新特征空间对应的 Embedding 矩阵大小。

当然，在相同初始化方法前提下，两种方式得到的 word Embedding 可能方差会有差别，但是，BERT还有Layer Norm，会把 Embedding 结果统一到相同的分布。

BERT的三个Embedding相加，本质可以看作一个特征的融合，强大如 BERT 应该可以学到融合后特征的语义信息的。

之前回答这个问题写了巨多，但答非所问。用“BERT如何做的嵌入”或者是“BERT的输入是什么”回答了“为什么 Bert 的三个 Embedding 可以进行相加”这个问题。这里按照题意，重新表达一下我的理解。

BERT的词嵌入由符号嵌入（Token Embedding）、片段嵌入（Segmentation Embedding）和位置嵌入（Position Embedding）合成得到，表示为

上述三个嵌入分量都可以表达为“独热”（one-hot）编码表示输入与嵌入矩阵的乘积形式，即

其中， ：依据符号在词典中位置下标、对输入符号构造的one-hot编码表示； ：依据符号在两个序列中隶属标签（更一般的为符号属性）下标、对输入符号构造的one-hot编码表示； ：以符号在句子位置下标、对输入符号构造的one-hot编码表示； 、 和 分别为其对应的待训练嵌入参数矩阵； 、和 分别为字典维度、序列个数（更一般的为符号属性）和最大位置数； 为嵌入维度。下面从三个角度理解合成：

角度1——从形象角度理解

上面的嵌入合成有点像在调颜色，先有一个基于字典的符号嵌入，“花里胡哨”的；然后按照符号类型属性（BERT为句子的隶属关系）添加颜色，相同的符号类型添加相同的颜色，于是具有相同属性符号的颜色就接近了一些；然后再按照位置，进一步添加不同的颜色。

角度2——从网络角度理解

（1）按照分别过网络再做求和融合的角度理解

三个one-hot编码向量与嵌入矩阵相乘，等价于构造三个以one-hot编码向量作为输入，输入维度分别为 、和 ，输出维度均为 的全连接网络。求和即为特征融合。如下图所示

（2）按照先做Concat融合再过网络的角度理解

三个one-hot编码向量与嵌入矩阵相乘，按照矩阵分块，可以改写为

对应的全连接网络变为一个大网络，输入维度为 ，输出维度还是 。对应的网络结构图形如下图所示

角度3——从空间映射角度理解

三个嵌入的合成，是将符号空间、符号属性空间和位置空间三个看似“风马牛不相及”的空间表示，通过线性映射到一个统一的、同质的特征空间上去，然后再以求和的方式做坐标综合，如下图所示

如果按照角度2的到底先融合还是后融合的两个视角，那上面说的是先映射后融合模式。当然，我们也可以按照角度2做先融合后映射的思考。先做如下铺垫

类似于欧氏积空间（例如 ）能够表达更高维的空间，人们也期望通过积（Product）的形式复合子流形的表达方式，将不同的流形复合，来刻画复杂的高维流形结构。定义如下形式多个流形的笛卡尔积（Cartesian Product）

其中，“ ”表示空间的笛卡尔积， 称为分量流形（Component Manifold）。设 为维度为 的流形，则 也为一流形，称为积流形，其维度为 。证明从略。

对应上面铺垫和我们的问题，可以知道 ， 、 和 分别对应上面的符号空间、符号属性空间和位置空间。按照笛卡尔积的从“每个空间取点组团”的定义，我们的对三个one-hot编码的Concat操作即作出了 维积流形中的一个点。然后再做的一个的线性映射，等于去获取该点的 维内蕴坐标。

不管怎么理解，都是在做特征的融合。至于为什么可以加，那是因为进行变换后映射到了同质空间。希望有帮助！