格林函数就是坐标表象的时间演化算符吗？ 第1页

谢邀，物理专业学生理解格林函数应该从格林函数的物理别称去理解。

格林函数又称之：传播子或（两点）关联函数。

这三个名称体现了格林函数的三种不同的来源（背景）。我们称其为格林函数的时候是因为这是英国数学家格林在解（线性）偏微分方程的时候引入的一种方法，本质上来说格林函数同傅里叶变换、分离变量法等类似都是解偏微分方程的一套工具。量子力学以及整个物理学都是通过偏微分方程建立的，所以物理中会碰到格林函数也就不足为奇了。

当我们称其为传播子的时候，则为了强调量子力学（场论）的性质，传播子体现了粒子从时空点A到时空点B的结果。所以在传播子是一个关于时空点A和B的函数。假设我们的场有无数个粒子，那把场中所有的粒子在时空点B的传播子叠加起来（假设场依旧是线性的）自然是我们最后要求的场了。

如果我们称之为一个关联函数的时候，则是为了强调其统计特征。在很多实际情况下，我们不了解或者不关心在其基础的或者是本源的力。只能看到宏观下，物质被组织在一起了。我们可以通过计算其关联函数（整个计算完全是基于统计学的，没有任何解微分方程的过程），来判断是怎样性质的力将物质组织到一起的。不同的维数、力程等都会对关联函数加以作用。而这个关联函数可以直接和功率谱结和起来，功率谱是易测的。例如我们可以通过功率谱对噪声划分颜色，从而确定噪声来源的物理过程。例如说我们常见的白噪声来源于一个高斯随机过程，而线路中最先想到的高斯随机过程自然就是电子的热运动了。例如暗物质存在的证据之一，微波背景的角功率谱也是通过模拟发现现有物质模型缺少一部分关联函数的贡献，从而推论有一部分贡献零压强的“物质”和一部分贡献负压强的“能量”。事实上早在哈勃时代就开始分析天体间的关联函数了，另外关联函数在凝聚态和材料等学科也属于基础中的基础。

不过实际上很多物理学家会混用传播子和关联函数。教材上一般说传播子是指动量空间的性质，关联函数则是坐标空间的性质。可以说传播子是动量空间的关联函数或者关联函数是坐标空间的传播子。

为具体说明问题，我们举一个金属方箱内部电磁平衡问题。

我们可以从电磁学的角度来看的话就是解一个波动方程。

以及对应的边界条件

。

格林函数的思想就是将其转换为无数个点源问题的叠加。每个点源 产生的格林函数传播子关联函数 也满足一个波动方程：

相应的边界条件都是最简单的等于零，通过骚气的手段最后得到坐标空间的格林函数/关联函数/传播子：

这个传播子的意义是 时刻在 发出的信号， 时刻一定到达 处 的球面上。并基于传播子给出最后偏微分方程的解。

如果我们对上述的格林函数做一傅里叶变换（注：四维傅里叶变换需先做一个wick转动）就得到了我们很熟悉的光子的传播子：

我们可以现在动量空间对场进行叠加，最后再通过傅里叶变换得到坐标空间的结果。它的物理意义自然是速度等于光速的粒子最多有无穷个。

当然假设我们对电磁学一窍不通，却又有很精确的测电磁场的仪器，可以标志粒子（当然这在量子力学中是原则上不可行的）。我们就可以根据在不同时空点粒子出现的概率，统计上计算出一个关联函数：

这完全是一个概率统计的问题，不牵扯到任何解微分方程。如果我们测量足够精确的话这个关联函数就应该等于我们之前计算得到的格林函数。

总结一下：格林函数是解算偏微分方程得到的，而传播子我们是根据拉氏量得到的，关联函数则是通过统计学规律得到的。实际上就是一个宏观现象和微观原理对应的过程。