如何理解本征函数与波函数的关系？ 第1页

体系的状态——希尔伯特空间

波函数——空间中的点

厄米算符——空间中的一个线性变换

本征函数——对应厄米算符的一组完备单位正交基，构成空间的一个坐标系

更直观一点，可以用该坐标系将态空间作坐标映射到同构的无限维坐标向量空间中来看:

本征函数——完备单位正交基{e}

波函数——空间中以{e}为基的向量v

厄米算符——坐标向量空间中的一个线性变换

厄米算符的标准矩阵表示——以{e}为基的对应该算符线性变换的标准矩阵(算符作用在基上)，满足性质厄米矩阵中矩阵元等于其伴随: Aij=(Aji)*。

因为{e}是原态空间中算符本征函数的坐标表示，所以在坐标空间中为算符对应线性变换的特征向量，因此坐标空间中算符对应线性变换的标准矩阵为对角矩阵，对角元为本征值。当然也可以换一组完备单位正交基{ε}(也可以不用单位正交)，为厄米算符的另一种矩阵表示。可作基变换，对角化为以{e}为基的标准矩阵表示。不管选择什么样的基，这些矩阵表示都是相似的，并相似于唯一的标准矩阵——以{e}为基的对角矩阵。

对应到原态空间，是以本征函数为基的矩阵表示为对角矩阵，对角元为本征值。非本征函数为基的矩阵表示可对角化为该对角矩阵，也相当于做了基变换。

在坐标向量空间里看，非简并情况下测量(线性变换)后体系的态(向量)投影到了其中一个基ei上。对应到原态空间就是投影到了其中一个本征函数上。该本征函数(基ei)所定义的坐标轴是态空间(坐标向量空间)中的一个子空间。简并的情况下则是投影到简并基所张成的子空间(特征向量空间)里，其投影为简并基的线性组合。