如何看待马前卒盼望几十年后的人类能用望远镜看到300光年外行星的表面细节？ 第1页

工科生之语？

一直想在知乎上写一个关于阿贝成像原理的回答了，没想到在有关马逆的提问下被我逮到了，今个我就政理两开花！

1873年，德国蔡司光学器械公司有位年轻的工程师阿贝（实际上阿贝和蔡司是合伙人关系，在蔡司去世后阿贝成为蔡司公司的头头），他当时也有和马逆同志相同的疑惑：如何提高透镜的分辨本领。与马先生不同的是阿贝碰到的是有关于显微镜的问题，而马先生则是望远镜的问题。另一点与马先生不同的是阿贝从根本上阐述了这个问题，而马先生则提出若干年后我们要看到系外行星。

阿贝之前阐述成像的是我们在初中阶段就学过的几何成像原理。几何成像原理利用光直线传播很容易能解释何时成正立放大虚像、何时成倒立缩小实像的问题，却很难回答：限制透镜分辨率的根本因素是什么。从几何成像原理推论像 只不过是黯淡，利用信号放大技术我们可以想办法加亮。如果世界真的是同马先生想的一样是按几何成像走的话，那么还是有可能实现300光年看行星的伟大壮举的（注意此时锅已经甩到做信号放大的那群人脑袋上，我们光学不负责任）。但很遗憾，实际上像 不但黯淡而且模糊，几何成像原理并非问题的根本。

阿贝从波动角度出发，重新解释了成像原理。阿贝成像分为两个部分：1.物体发出的光经过透镜在其焦平面 形成夫琅禾费衍射光斑；2.夫琅禾费衍射光斑继续传播在像平面 叠加成像。

通俗点的解释就是物发出的光在通过透镜到达焦平面时，变成一系列在空间上隔开的频率不同的光源。这些光源独立传播到达像平面叠加形成像，我们可以在空间上遮蔽一些光的传播路线使得其不能继续传播，实现空间滤波。从数学上讲前者对应一个傅里叶变换，后者对应一个逆傅里叶变换。经过这么一来一回自然最后可以还原到原始物上去。

既然傅里叶变换是个可逆的过程那为何会出现模糊。原因在于傅里叶逆变换只会还原穿过透镜的光的傅里叶变换。即要得到所有信息的像需要所有物体发出的光才能实现。这就从波动光学角度上解释了为何像会有残次。

那么问题来了，在经过透镜的那次傅里叶变换时，究竟丢失了什么信息？即透镜相当于一个怎样的滤波器？高通？低通？还是中通？我们回过头来看一个单独的夫琅禾费衍射。

对于中央亮纹有公式：

其它条纹

注意到角度 的取值是有一定范围的，所以亮条纹的数目是有限的，而且波长越大（频率越低）、狭缝越窄（透镜越小）则亮纹越少。也就是说透镜的存在使得透过的高频光数目减少了，相当于一个低通滤波，孔径越小则越明显。熟悉信号与系统这么课的朋友自然就发现模糊现象是自然的。由此我们得到了阿贝在147年前的结论：入射光阑孔径限制了分辨率的大小。

基于此瑞利给出了分辨率瑞利判据：

是入射光阑孔径，可以近似为目镜大小，那么对于马先生 @睡前消息 回答中的美好未来：

当然其中话槽点很多，例如：“对于一颗100光年外的系外行星，焦点在970亿公里(600亿英里)之外”，好像再说对于一个物体a而言它的焦点在x cm，显然焦点是针对透镜系统的。当然我们认为这是笔误。

那一个100光年10 km的分辨率，可见光近似于1000 nm 所要求的孔径得多大？利用瑞利判据很容易计算得到：

在数量级上这个量貌似和太阳半径是一致的。那么我们就可以恭喜马先生终于避免翻车了吗？当然有点着急，因为太阳的构成的引力透镜，其实相当于一个巨大的遮罩，遮罩有 能说透镜有 吗？显然不行，我们得计算这个透镜得有效孔径有多大。

利用引力透镜给的光线折射公式：

其中 是太阳半径，为了避免球差和彗差贡献的光线应取线性部分，其不应该大于 的5%，即半径为 ，带宽 的一个窄环。它的光阑孔径大概是

那这时候就可以给马先生奏凯歌了吧！

当然前提是如之前分析的那样他必须将目镜（探测器）至少送到太阳引力透镜的焦距（ ，之前算错了）之外。我们以旅行者一号20km/s的速度算的话，大概在一百年以后。好了此时这个锅成功地甩给了搞航天的了（猜猜能够烧掉多少个天下第一水司楼？）。

虽然很欣赏督工尝试做科普的精神

但是还是希望把这个任务交给更适合的人来