八省联考数学这道题中多面体的总曲率有什么含义？ 第1页
1
ni-shu-nietzsche 网友的相关建议:
自问自答一下。
总曲率应该是微分几何上的概念。
本质上是高斯-博内公式。
高斯曲率在曲面的积分等于 乘以欧拉示性数
因为欧拉定理 对简单多面体成立。
简单多面体的意思是与球面同胚，这是拓扑学上的概念。
在代数拓扑中，欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变量（引自下面文章）
而对于球面的欧拉示性数
我们也就得到了 。
可以参考
当然了，上面指的是连续性的，即曲面，而多面体有顶点，也就是离散性的（也许上面的可以看成一个逼近的结果，是否严格，我不知道）。
下面文章解释了离散型的情况。
总结
可以肯定的是，本题用到了极其深刻的数学知识，比如为什么去定义顶点处的曲率，又为何多面体曲率之和是常数（也就是一个不变量）？其背后用到了微分几何，拓扑等知识的概念。
个人认为这道题出成考题是没有意义的。
yuhang-liu-34 网友的相关建议:
这是离散微分几何里面给出的离散高斯曲率的定义，目的是为了在离散情形让高斯-博内公式仍然成立。想详细了解可以看顾险峰老师以往历次授课的课件（需有本科数学基础）
从连续微分几何的角度来看，这么定义也可以理解，因为曲率本来就可以从holonomy的角度去理解。
这题目出成中学数学题也没什么不妥，虽然背景来自微分几何，但是抛开背景，涉及的知识完全是初等的组合数学。你无视曲率这些概念，就按定义去验证总曲率等于欧拉示性数的倍数，也没什么难的。题主自己答的图片里面也说了“其证明非常简单”，是真的简单，他就写了三四行就证完了。考试题出出这样的题也挺有意思，老是怼圆锥曲线、空间解析几何不觉得无聊么？以后强基计划数学考试题也一定会是这种“高等背景下的初等数学题”居多，因为可以有效防范刷题，真正考察学生思维能力。而且教授们也不是做题家，他们不熟悉中学应试的套路，你要他们出套路题他们还真不一定会出。。
1
相关话题
为什么对于一阶、二阶导，人们通过直观可以轻易地认识，三阶及以上就很难直观地认识了？大学毕业后的我再次参加高考考985，值得么？
遇到一道三角函数题，感觉做不出来，请教各位大佬如何解答？求下列函数的最大值。？
区间连续是逐点定义的，从而有区间上一致连续的概念。区间可导也是逐点定义的，为什么没有一致可导的概念？
各位 求问这个二重积分怎么算出来的?
向量有除法吗？高中数学人教版选修2-1的思考题?
高考真的可以靠运气吗？
如何反驳「凭什么我们几代人的努力凭你寒窗苦读 10 余年就超越」？
高等数学中学泰勒公式，感觉几何意义很模糊，怎么理解？
再给你一次机会，你会不会选择高三复读？
相关的话题
向量奔驰定理有哪些证明?你曾经因为做不出数学题哭泣过吗？
怎么解Biler上的一道分析难题？
现行高考制度的弊端是什么？
高考成绩一般的师范生，为什么当了老师以后，什么题目都会了？
如何看待教育部等八部门提出不得以中高考成绩片面评价学校和教师？
假设我扔一枚硬币，60次有55次正面朝上，我有多大把握认为这枚硬币正面和反面出现概率不相同？
数学中有哪些看起来很不可思议的知识？
为什么飞行员的收入水平那么高，录取分数线却很低？
高中数学怎么考好？
高考有多残酷？
你为什么不推荐高考考生报考华中科技大学？
有一个盒子，把钱放进去有一半的概率变成双倍，也有一半的概率钱会消失，你会放钱进去吗？
看到高考200分然后嫁给富二代的表姐，再看看即将硕士毕业的我觉得心态失衡怎么办？
为什么有些函数经过二次求导后又回到了原函数？
我国为什么不建立一年多次高考制度？
高考因为太紧张发挥不好，只能上专科，建议复读吗？
中国上哈佛剑桥的学生努力辛苦程度可否与高考考生相比？
在当今以及未来几年的社会环境下，高考复读一年只为考个本科有必要么？
2021 年宁夏高考录取分数线发布，文理一本分数线分别为 505、412 分，如何看待今年分数线？
如何评价「周口女孩被冒名上大学，顶替者花 5000 元买指标」事件？
这个含正弦函数的和式极限怎么求?
如何评价人民日报（2016年）《教育公平绝不是平均主义》的文章？
如果今年高考写关于疫情作文，人人都会写，我如何能写出新意，让阅卷老师眼前一亮呢？
求瑕积分∫0^1根号下（x/1-x）dx？
是否存在有源有旋场，不是说有旋必定无源？
问一个数学分析函数连续性的反例?
如果高考成绩清华北大随便挑，但是自己很喜欢浙江大学，清北在使劲抢自己，该选哪个？
如何看待全国政协委员唐江澎建议高考实行双考双筛制，「第二次考试可以让学生选择性考试」？
怎么证明速度的导数是加速度？