ARCH GARCH TGARCH EGARCH 、GARCH-M到底有什么优缺点，有什么不同？ 第1页

波动率是用来衡量资产收益率的条件二阶矩的。收益率（假设已经中心化)可以写作如下的模型表达式： , 其中 为零均值，单位方差的白噪声， . 因此

.

(本身可能为随机变量)称为收益率 的波动率。

GARCH 是描述一般波动率过程的模型，其反映了波动率的聚集性和厚尾性。GARCH(p,q)模型的形式为

(1)

其中 ,

或者写为更普通的形式 (1')

去掉 项，上式就成为ARCH(q)模型。理论上，GARCH(p,q)模型等价于一个特殊的ARCH 模型， 也就是可以将（1） 写为

(2)

其中 ,

显然，用GARCH模型替代ARCH模型使得我们可以降低需要估计模型参数的个数，使得模型更加简洁。

上面的GARCH模型是对称的，同样大小的冲击，无论是正是负对波动率的影响都是相同的。实际的金融市场， 负面消息（负收益）对于市场波动率的冲击往往大于正面消息（正收益）的冲击。为了刻画这种不对称性，在基本的GARCH模型基础上出现了许多改进。其中之一是TGARCH(Threshold GARCH)，其基本形式为：

,

另一种更常见的非对称GARCH模型是GJR-GARCH：

有时候更倾向于对波动率的对数而不是波动率建模，此时就产生了EGARCH(Exponential GARCH):

这样可以不必在建模中为了保证波动率平方的非负性而对模型参数的范围进行限制。同时，由于现在新的收益率扰动对于波动率的影响表现为乘积而不是加和，非对称性自然被纳入模型之中。这是EGARCH的另外一个优点。

最后，经典的GARCH模型只考虑资产收益率的波动率的建模，并不涉及收益率本身。但是经济理论同时指出，对于风险厌恶的投资者，其承担风险期望获取风险补偿。因此提出了GARCH-M模型，即将收益率表示为

其中 为风险市场定价（market price of risk)。如果波动率 由上述的GARCH模型（1）刻画，整个模型就称为GARCH-M。此时需要估计参数 。因此利用GARCH-M可以对收益率和波动率同时建模。

上述内容全部可以参考GARCH Models, Structures, Statistical Inference and Financial Applications