如何完全用量子电动力学描述一个匀强电场中做加速运动的电子? 第1页

谢邀。这是一个有趣的问题，类似于“牛刀能不能杀鸡”之类的问题，而我恰恰好就专门研究过这个问题。为了准确地描述这个问题，我们先把整个问题限制于激光电子加速(laser-induced particle accelerator)的系统中。

我们把电子看做是一个一维的波包函数，激光光场则看做是一个沿着电子传播方向(z方向)上的时空交变的电场 其中传播方向的波矢 。那么，我们可以把“匀强电场”定义为在零频极限下的这个交变电场，即

（1）

这样的好处是依然可以把“匀强电场”看做是零频条件下的电磁场，它也可以发射光子和吸收光子。当然，它不是唯一的处理方式。但是这种处理方式非常适合进一步同时量子化电子和光场。当用量子电动力学(QED)方法得到了在光场下的电子加速的结果后，我们只需取零频极限就可以了，即，对应于“匀强电场下的电子加速”。

经典力学下电子加速图像

在经典力学的图像下，电子的运动可以被看做是一个点粒子(-e)以平均速度为 在交变电场下的运动，它可以用Hamilton方程来刻画：

（2）

在短时近似条件下，在第一个方程中，我们认为 ，因此 。那么，电子被加速或者减速后的能量转移量(energy transfer)，可以表示为

（3）

其中相位 代表了同步条件，而 是电子被加速的有效长度， 是相对初始相位。这个电子加速量的大小线性地正比于加速场的场强( )和加速长度( )。这个结果在零频极限下 ( )，即电子在匀强电场下的加速量，是

（4）

这个结果是经典线性加速，在经典力学下是不言而喻的。但是在量子力学下，电子并不是点粒子，而是一个波函数(wave function)来描述，我们用Schrodinger方程来描述电子在电磁场下的运动行为。此时，我们还能重复上面公式(3)(4)的结果吗？答案是可以，但是想要获得这个结果并不是很简单的。

量子力学下电子加速图像

我们在量子力学图像，把电子看做是一个高斯波包，但是我们把电磁场还是看做是经典场，也就是电子函数的背景场。我们写下来，我们描述整个电子波包被加速过程的Schrodinger方程，即

(5)

其中Hamiltonian保护两部分 ，一个是自由电子部分( )，另一个是相互作用部分( )。自由电子的部分可以写成非相对的( )，也可以写成相对论的( )，但是考虑到我们的初始电子波函数是一个电子波包，中心速度为 ，平均动量是 ，平均能量为 ，我们不妨在平均能量位置Tayler展开，得到自由电子的Hamiltonian

(6)

其中中心速度，平均动量和平均能量，可以根据相对论情况或者非相对论情况，可具体获得。这儿，为了保持一般性，我们不做具体区别。注意，在量子力学下p是动量算子。

另一方面，相互作用部分，通过最小耦合的方式也从自由的 中诱导出来，这儿可直接给出来，

（7）

这儿，我们没有选取具体的规范，其中A是沿着z方向的磁矢势。我们需要跟前面引入的经典电场建立联系。这个联系是直接的，即 ，因此可反解出

（8）

好了，描述激光下的自由电子的Schrodinger方程(5)被定义好了。

现在，我们给出具体的初始电子波函数，方程有可以自己”润“了。我们定义初始波函数为，

(9)

其中 是归一化因子。

利用Schrodinger运动方程(5)和初始波包(9)，理论上我们就可以计算出下一时刻电子的末态波函数，我们不妨记为 ，那么电子的能量转移量可以通过下式计算得到，即

(10)

其中电子波包的初始平均能量为 。我们可以通过一阶含时微扰的方法来计算末态波函数，这儿具体的过程就不写了，可以参看我的文章[Dimension-dependent stimulated radiative interaction of a single electron quantum wavepacket]。我就直接给出微扰之后整理的结果，即

(11)

其中，电子波包的加速跟经典线性加速(3)的结果一样，只是多了指数衰减因子 。这儿，参数 ，其中 ， 是电磁波波长。

我们可以得到如下结论：

1. 这个衰减因子之所以是高斯型的，主要是因为我们假设了初始电子波函数是一个高斯波包。它也可以是其他形状。
2. 根据这个参数，我们首先发现，当电子波包的尺寸趋于零的时候，即 ，电子可以被看做是一个经典点粒子，此时我们也发现波包加速变成了经典加速。这符合我们的预期。
3. 再根据这个参数，我们其次发现，当电场趋向于匀强电场时，即 ，我们也可以得到经典线性加速。此时电子波函数的尺寸 不管是多少，只要有限大小即可。这不是一个平庸的结果，这意味着电子波函数是可以被匀强电场加速的。
4. 更有意思的结论是，只要电子波包尺寸远远小于交变电场的波长，即 ，那么量子的电子加速行为趋向于经典的电子加速行为。这给了我们一个新的角度，来看待光和物质相互作用过程中的量子到经典的转变过程(quantum-to-classical transition)。

量子电动力学下电子加速图像

接下来，我们同时把电子和光场都量子化了，这时候我们需要用到一点基本的量子电动力学(quantum electrodynamics, QED)的图像。这个过程可以简单由图三来表示，即电子发射光子和电子吸收光子过程。

如何量子化经典的光场的磁矢势A(公式8)？这个问题的核心在于把一个经典的磁矢势写成一个合适的算子形式 ，并且定义好它所对应的光子态 。然后，反过来验证这个经典磁矢势为这个算子作用在相应的光子态上面的期望值，即 。根据我们掌握的知识，我们选择利用箱量子化的方法，而且我们也知道这个光子态也必须是某种相干态才行。具体来说，这个磁矢势为我们熟知的形式，

(12)

注意，我们关心的只是z方向的分量。我们意识到，在QED的图像下，Schrodinger方程(5)依然是适用的，只是我们需要注意的是初始条件，不再只是电子初态波函数了，而是需要同时考虑光子的初态才行。即，此时的初始条件是

(13)

其中我们可以计算出 。

现在，我们利用图三的光子-电子耦合QED图像，来简单估计一下可能会出现的结果。

假如我们从初始电子和光子态(13)中拿出一个成分为

（14）

其中 是Fock态指标。这个成分的比重可以很容易计算出来，记为 。我们拿出这个成分，可以帮助我们追踪这个成分被如何散射到其他量子态上面去的。考虑到在单光子散射的QED过程中，如图三所示，我们发现初态将被散射到两个新的量子态上面，分别是

(15)

其中 。它代表，电子发射一个光子后，电子动量减少了 ，能量也减少了 ；或者，电子吸收了一个光子后，电子动量增加了 ，能量也增加了 。这个散射截面的大小由matrix element决定，即 。

由于 的厄米性，我们注意到光子发射过程和吸收过程，总是同时发生的，也总是等权重的。这导致电子在吸收光子被加速的同时也会出现发射光子被减速的过程，那么这个时候，我们将预期电子既不会加速e 也不会被减速，能量转移量为零，即 。

天啊，这怎么回事儿？！

经典电子加速可以，量子波包加速也可以，但是QED加速就不可以了吗？

会不会是因为只考虑了单光子过程，而我们需要考虑多光子过程（mutiphoton process）的贡献才行呢？答案是不行。

原因有二。一是线性加速的线性，说明能量转移量是由一阶散射过程主导的。而高阶散射过程会修正线性加速，但不会导致线性加速。第二个原因是多光子散射过程也是厄米的，不管经历如何复杂的散射，我们总能找到互易的散射过程来抵消最终电子的能量转移量。

从QED的角度来看，电子发射和吸收光子的过程总是同时存在的，我们确实没有办法真正加速一个电子啊！但是，经典粒子和量子波包又实实在在地被加速了啊？！如果我们不能用QED重复出经典加速，那么问题一定是出在QED的计算中了！

好了，我就不卖关子了。问题其实就出现在我们在QED计算中忽略了初态和散射态中的量子干涉过程(quantum interference)对电子加速的贡献。

具体的QED计算过程，请容许我暂时忽略掉。但是我们肯定可以得到如下形式的电子-光子末态：

(16)

这个末态是单光子散射后的结果。如果我们盯着其中一个量子态基矢，看它的比重变化，那么其中第一项是初态波，后面两项是散射波贡献的。

到这个时候，我们如何计算末态电子的能量变化呢？注意，这个末态在一般情况下是电子光子纠缠态。对比经典的电子加速(3)和量子波包加速(10)，我们发现可以用如下的表达式来得到末态电子能量转移期望值，即

(17)

其中 是自由电子色散关系，由(6)式给出。这个表达式导致经典加速行为的项，其实是初态和散射态的干涉项，即 。通过具体的计算，我们就可以得到类似真正的QED电子转移量，它可以写成

(18)

其中第一项严格重复了量子波包加速的结果，而第二项则是主要来源于自发辐射的调制(quantum noise corrections)，参看图二。具体的计算可以参考 这个文章:https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/abd35c

最后，我来回复一些可能存在疑惑的地方。

1. 我们用了三种方法来理解电子加速过程，经典的图像，量子力学图像和量子电动力学图像。比对下来，经典加速是最简单的图像。但是从量子电动力学的角度看，这个经典加速来自于初态和散射态的量子相干(quantum interference)。所谓的”经典“反而是一种纯粹的量子效应！
2. 需要特别注意，我们的假设中把匀强电场看做了在零频极限下的电磁场的电场分量。这是一种处理方式，物理上来说，我们还是应该把匀强电场和电磁场看做是不同的物理对象。我不认为用QED的语言重新描述了”匀强电场“之后就会产生新的物理。
3. 我们注意到QED计算电子加速过程中初态对末态的影响，这确实容易被忽略掉。因此在通常的QED散射振幅计算过程中，常常只关心散射波的贡献，这一点在我们使用Fermi黄金规则计算的时候就被注定了。
4. 实际上，要想用QED的图像来获得经典线性加速，我们不仅对于电子的初态的要求是波包更局域，而且还要求光子初态更接近相干态才行。如果初始光场是其他量子光源，比如Fock state,压缩态之类，反而无法加速电子。