如何求解下面的概率问题？ 第1页

一维随机游走的首次击中时(hitting time) - 拉普拉斯算符的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/366037329

一维随机游走的首次返回概率 - 拉普拉斯算符的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/365721223

我前几天刚好在算这个问题，我们设该粒子每步有 的概率向右走（+1），有 的概率向左走（-1）。假定

约定 表示该粒子从原点出发，经过n步之后，第一次到达吸收壁 的概率，显然当 。

由粒子的运动性质，我们可以较容易地得到迭代方程：

从物理意义上很好理解，如果该粒子在这一步向右走，那么为了达到同样的结果就必须在剩下的 步当中走完 步，反之亦然，并且由于该粒子不是向左走就是向右走，所以等式成立。那么，从 的角度来看，这就是一个二阶常系数差分方程，但是我们 这个步长项没法对齐，所以我们进行Z变换如下：

这样，我们有：

我们可以将高阶项转移到左面，有

仅需要解这个方程

的特征根就好了，我们假设这个方程的特征根分别为 和 （由一元二次方程求根公式易得），由韦达定理，我们有：

由观察可得：

这是一个等比数列，故而可得到

两式子相减，可得：

把常数整合以后，可以通项公式写作：

当然，对于题目当中的条件 ，我们则可得到重根 ，同样地由韦达定理可得：

通约化简之后，采用类似的方法，我们可以得到：

其中 和 都是常系数。无论 是否成立，我们都需要两个特定值来帮助我们求解这两个系数。而由于题设条件，我们可得

带入就可以求解两个方程得到 的系数，然后随机，将Z变换转换回去（别忘了， 跟 之间的关系）

对该式子进逆变换，即可得到通项公式，结果谁爱算谁算吧，反正我懒，摸了= =