泊松分布的现实意义是什么，为什么现实生活多数服从于泊松分布？ 第1页
1
matongxue 网友的相关建议:
1 甜在心馒头店
公司楼下有家馒头店：
每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？
老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：
均值为：
按道理讲均值是不错的选择（参见“如何理解最小二乘法？”），但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖， 的时间不够卖：
你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。
2 老板的思考
老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用 来表示：
然后把 的三个馒头（“甜在心馒头”，有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：
把 均分为四个时间段：
此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：
在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：
内卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。
这样的概率通过二项分布来计算就是：
但是，如果把 的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了：
从图中看，每个时间段，有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。
解决这个问题也很简单，把 分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：
这样， 内卖出7个馒头的概率就是（相当于抛了20次硬币，出现7次正面）：
为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成 份：
越细越好，用极限来表示：
更抽象一点， 时刻内卖出 个馒头的概率为：
3 的计算
“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率 怎么求？”
在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：
那么：
4 泊松分布
有了 了之后，就有：
我们来算一下这个极限：
其中：
所以：
上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在 时间内卖出 个馒头的概率为：
一般来说，我们会换一个符号，让 ，所以：
这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。
5 馒头店的问题的解决
老板依然蹙眉，不知道 啊？
没关系，刚才不是计算了样本均值：
可以用它来近似：
于是：
画出概率密度函数的曲线就是：
可以看到，如果每天准备8个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来：
这样 的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。
老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”
6 二项分布与泊松分布
鉴于二项分布与泊松分布的关系，可以很自然的得到一个推论，当二项分布的 很小的时候，两者比较接近：
7 总结
这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。
生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理，我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变？所以可以用泊松分布来计算。
还有比如交通规划等等问题。
这篇文章可以继续扩充：如何理解指数分布？
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解泊松分布？
zhang-san-5-26-12 网友的相关建议:
这篇回答节选自我在专栏《机器学习中的数学：概率统计》中的一篇文章，我们来谈一下泊松分布的问题。
欢迎关注我的知乎账号 @石溪 ，将持续发布机器学习数学基础及算法应用等方面的精彩内容。
谈到泊松分布必须要结合着先说说二项分布
1.二项分布及二项随机变量
1.1.分布列及PMF
我们还是举抛硬币的例子：将一个硬币抛掷 次，每次抛掷出现正面的概率为 ，每次抛掷彼此之间都是相互独立的，随机变量 对应 次抛掷得到的是正面的次数。
这里，随机变量 服从二项分布，二项分布中的核心参数就是上面提到的 和 ，随机变量的分布列可以通过下面这个熟悉的公式计算得到：
下面我们通过依次指定不同的 参数： ，来绘制 图，来观察一下二项随机变量的分布情况：
代码片段：
from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set() fig, ax = plt.subplots(3, 1) params = [(10, 0.25), (10, 0.5), (10, 0.8)] x = range(0, 11) for i in range(len(params)): binom_rv = binom(n=params[i][0], p=params[i][1]) ax[i].set_title('n={},p={}'.format(params[i][0], params[i][1])) ax[i].plot(x, binom_rv.pmf(x), 'bo', ms=8) ax[i].vlines(x, 0, binom_rv.pmf(x), colors='b', lw=3) ax[i].set_xlim(0, 10) ax[i].set_ylim(0, 0.35) ax[i].set_xticks(x) ax[i].set_yticks([0, 0.1, 0.2, 0.3]) plt.show() 运行结果：
挺好看的一张图，我们来简要解释一下代码：
第11行：生成服从指定参数 , 的二项分布随机变量。
第12行~第18行： 分别对其进行PMF图绘制，因为是离散型随机变量，因此不建议画成折线图，这种形态更为合适一些。
在这个例子中，我们直接通过scipy中的stats模块得到的二项分布的概率质量函数，也就是反映了不同参数条件下，随机变量 各取值点所对应的取值概率。
1.2.随机变量的采样
我们可以使用 模块中的 方法进行二项随机变量的采样模拟，我们可以指定所要采样的随机变量个数，这里指定重复采样10万次。我们使用三组参数 ：分别是 ， 和 。
通过上述模拟采样试验可以得到每种实验结果所对应的次数，然后我们通过归一化，可以计算出随机变量每一种取值所对应的频数，并将其作为概率的近似进行绘图观察。
代码片段
from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set() fig, ax = plt.subplots(3, 1) params = [(10, 0.25), (10, 0.5), (10, 0.8)] x = range(0, 11) for i in range(len(params)): binom_rv = binom(n=params[i][0], p=params[i][1]) rvs = binom_rv.rvs(size=100000) ax[i].hist(rvs, bins=11, normed=True) ax[i].set_title('n={},p={}'.format(params[i][0], params[i][1])) ax[i].set_xlim(0, 10) ax[i].set_ylim(0, 0.4) ax[i].set_xticks(x) print('rvs{}:{}'.format(i, rvs)) plt.show() 运行结果：
rvs0:[0 4 2 ... 3 2 3] rvs1:[6 6 5 ... 5 7 8] rvs2:[7 8 9 ... 9 7 8] 程序打印的结果是三个数组，这就是我们在不同参数下分别做10万次采样试验的结果数组。
1.3.随机变量的数字特征
服从二项分布的随机变量，他的期望和方差的表示很简单，服从参数为 的二项分布的随机变量 ，他的期望和方差的公式我们直接给出来：
期望：
方差：
我们可以结合上面的试验，用几种方法来验证一下上述结论：
代码片段：
import numpy as np from scipy.stats import binom binom_rv = binom(n=10, p=0.25) mean, var, skew, kurt = binom_rv.stats(moments='mvsk') binom_rvs = binom_rv.rvs(size=100000) E_sim = np.mean(binom_rvs) S_sim = np.std(binom_rvs) V_sim = S_sim * S_sim print('mean={},var={}'.format(mean,var)) print('E_sim={},V_sim={}'.format(E_sim,V_sim)) print('E=np={},V=np(1-p)={}'.format(10 * 0.25,10 * 0.25 * 0.75)) 运行结果：
mean=2.5,var=1.875 E_sim=2.50569,V_sim=1.8735076238999997 E=np=2.5,V=np(1-p)=1.875 我们用三种方法计算了服从参数为 的二项分布随机变量的均值和方差，其中：
第04行~第05行： 是用函数包中的方法计算的分布的各个理论统计值；
第07行~第10行：从采样试验中得到的样本数据计算出来的均值和方差；
第14行：通过公式直接计算出来的理论值。
看的出，利用采样样本数据计算出来的值和理论值基本上是相等的。
看完了二项分布，我们再来看看泊松分布：
关注 @石溪 知乎账号，分享更多机器学习数学基础精彩内容。
2.泊松分布及泊松随机变量
2.1.泊松分布的应用场景
我们刚刚讲了， 次独立的伯努利试验成功的次数是一个服从二项分布的随机变量，其中参数为 和 ，期望为 。我们这里看一种非常特殊的情况：就是 非常大， 非常小，但是期望 结果适中。
现实生活中有没有这类情况？有，比如我们考虑任何一天内发生飞机事故的总数，记作随机变量 ，总共飞机飞行的次数 非常大，但是单架次飞机出现事故的概率 非常小。或者用随机变量 表示一本书中字印刷错误的次数， 表示一本书中的总字数，非常大，而 表示每个字印刷出错的概率，非常小。
这种情况下， 很大 很小，二项分布的分布列可以简化为我们这里谈到的泊松分布的分布列：
，其中， ，
期望和方差满足：
特别的，当我们的 ，且 时，对应的二项分布列：
就收敛于上面的泊松分布列了。
通俗点说把，就是只要当 ，且 非常大， 非常小，泊松分布就是二项分布的一个非常好的近似。计算简便就是他的一个很大的优势
2.2.泊松分布的PMF图
同样的，我们也用python代码来画一下他的PMF函数图，对应的观察一下指定参数下泊松分布的分布列。
正如我们所说，泊松分布的参数就是一个 ，我们分别绘制一个 和 的泊松分布PMF图，并获取他们的均值和方差。
代码片段：
from scipy.stats import poisson import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set() fig, ax = plt.subplots(2, 1) x = range(0, 20) params = [10, 2] for i in range(len(params)): poisson_rv = poisson(mu=params[i]) mean, var, skew, kurt = poisson_rv.stats(moments='mvsk') ax[i].plot(x, poisson_rv.pmf(x), 'bo', ms=8) ax[i].vlines(x, 0, poisson_rv.pmf(x), colors='b', lw=5) ax[i].set_title('$\lambda$={}'.format(params[i])) ax[i].set_xticks(x) print('lambda={},E[X]={},V[X]={}'.format(params[i], mean, var)) plt.show() 运行结果：
lambda=10,E[X]=10.0,V[X]=10.0 lambda=2,E[X]=2.0,V[X]=2.0 同样的，我们对 的泊松分布进行采样。
代码片段：
import numpy as np from scipy.stats import poisson import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set() lambda_ = 2 data = poisson.rvs(mu=lambda_, size=100000) plt.figure() plt.hist(data, normed=True) plt.gca().axes.set_xticks(range(0, 11)) print('mean=', np.mean(data)) print('var=', np.square(np.std(data))) plt.show() 运行结果：
mean= 2.00542 var= 2.0082906236 这也是我们通过10万次采样试验得出的统计结果，我们通过这个结果集计算了均值和方差，和模型的理论推导值是一致的。
此内容节选自我的专栏《机器学习中的数学：概率统计》，前三节可免费试读，欢迎订阅！
当然还有《机器学习中的数学（全集）》系列专栏，欢迎大家阅读，配合食用，效果更佳~
有订阅的问题可咨询微信：zhangyumeng0422
zys-63-60 网友的相关建议:
英国：山姆先生，你好你好，有什么事情我们可以帮你的？
美国：我要说的事，你们千万别害怕
英国：我们是日不落的高卢鸡，我们不会怕，你请说。
美国：这次5G，我不能监控了！
英国：5G是哪一位？
美国：不是哪位，是那个我完全不能走后门的5g啊！
法国：（画画中，2g）
美国：没那么老，刚出的
法国：（画画中，3g）
美国：没那么慢，网速几百兆的
法国：（画画中，4g）
美国：延迟呢？
法国：（转过来，4g+）
美国：这……
英国：（添几笔，韩国5g）
美国：（愤怒！！）5g啊，就那个华为出的5g啊，新闻有没有看？最近很火，速度起飞的那个啊，明白吗
英国：明白了，你请说
美国：他们说我监控别人，搞五眼联盟，试问谁不知道，他们就独立搞研发去了，就在中国深圳，一下子就搞出来了，一个基站就茶杯那么大，茶杯啊。我刚要制裁他，他就退出美国，还起诉我，对我的制裁理都不理，我就像个傻…
法国：（憋不住笑了）
美国：你在笑什么？
法国：我想起高兴的事情
美国：什么高兴的事情？
法国：我刚卖了300架飞机
英国：（憋不住了）
美国：你又笑什么？
英国：我也卖了300架飞机
美国：你们卖的是同样的飞机？
法国：对对对
英国：啊，不是，刚才直播了一下，把一个月流量烧光了。
美国：我再重申一遍，我没有开玩笑！
法国：对对
美国：喂～～
英国：哎，我们言归正传啊，那个，这个华为5g，他厉害吗？
美国：他不是厉不厉害的问题，他真的是那种，那种很少见的那种，敢跟我对着搞，速度快，延迟低，而且我还走不了后门，遗憾的是不是我们搞出来的，我还没来得及体验……
法国：（偷笑）
美国：你个高卢鸡还在笑，我忍你很久了
法国：我卖了飞机
美国：你明明在笑都没停过！
法国：山姆先生，我们受过严格的训练，无论多好笑我们都不会笑，除非忍不住。
英国：不如这样，你先回去用4g发推，等我直播爽完了就来帮你谴责他们。
美国：行，你们赶紧直播，完了多带点水军，很危险的。
(转b站评论
1
相关话题
概率学什么样的事件都有可能，那么能否通过概率学来给各种自然规律发生事件关系建模代替一切学科和公式？在设计计量经济学模型时，怎么判断是否应该对变量取对数？
共轭是指 ‘先验分布与后验分布共轭“ ，还是指 "先验分布与似然函数共轭“？
为什么有的公司统计双十一下单额，有的统计成交额？
为什么「正态分布」在自然界中如此常见？
蒙提霍尔问题（又称三门问题、山羊汽车问题）的正解是什么？
考试砸了回到家，母亲打我的概率是 1/2，父亲打我的概率也是 1/2，那我被打的概率是多少？
和女朋友在商场走丢了，随机乱逛和守在特定地点等候，哪个相遇的概率更高？
《西部世界》在中国的实际观众量是百万级还是千万级？
如果未来生女孩的概率是 95% ，这个世界会怎样？
相关的话题
如何看待台湾旅游大巴车祸致26人遇难，陆客在台旅游出事是否太多？随机取牌算不出 24 点的概率是多少？
抛掷a0枚硬币，表面朝上的枚数为a1,然后再投掷a1枚硬币类推，这样最后an的概率分布可求吗？
假如我知道了抽卡游戏的随机数生成算法源码，是否能成为欧皇？
如何看待大概率发生小概率事件这句话？
有数学问题在哪里请教？
国外有哪些经典的概率统计教材？
为什么有的公司统计双十一下单额，有的统计成交额？
如何求解下面的一个概率分布问题？
我有一个中奖的瓶盖，朋友背着我兑换一瓶又中奖的饮料，他把饮料喝了，然后把中奖瓶盖还给了我，我亏了吗？
统计学上标准差与标准误的区别与联系是什么？
以数据为基础从概率论的角度分析，飞机到底是不是最安全的交通工具？
怎样看待统计显著性应该被淘汰了？
概率论和实变函数（测度论）有什么联系？
一个数介于 2 和 3 之间，那么它为无理数和有理数的概率分别为多少？
圆内均匀随机地取三个点，三点确定的新圆在旧圆内的概率是多少？
为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？
如果炸弹每秒钟爆炸概率提高一点，从数学期望上来看最有可能在哪一秒爆炸？
两个无偏估计量的方差可能相等吗？如果可能相等，那么此时怎么判断哪个更好呢？
如果《云顶之弈》开局 50 块钱，但只有 1 滴血，能保证吃鸡吗？
如何求解下面的一个概率分布问题？
怎样算原神up池到第x抽才出up角色的概率（1≤x≤180）？
一个计数器，按下一次有50%概率+1，有50%概率-1，平均按下多少次可以使结果为8？
一枚硬币，扔了一亿次都是正面朝上，再扔一次反面朝上的概率是多少？
我有一个中奖的瓶盖，朋友背着我兑换一瓶又中奖的饮料，他把饮料喝了，然后把中奖瓶盖还给了我，我亏了吗？
一个数从1开始，每次各有50%的概率乘0.9或者乘1.1，重复足够多的次数以后，情况会如何？
两个无偏估计量的方差可能相等吗？如果可能相等，那么此时怎么判断哪个更好呢？
能否科学地证明中国的GDP增长和美国患癌症总数没有相关关系？
圆内均匀随机地取三个点，三点确定的新圆在旧圆内的概率是多少？
样本数据达到多少统计指标才有意义？