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泊松分布的现实意义是什么，为什么现实生活多数服从于泊松分布？ 第1页

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1 甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店：

每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？

老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：

均值为：

按道理讲均值是不错的选择（参见“如何理解最小二乘法？”），但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖， 的时间不够卖：

你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

2 老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用 来表示：

然后把 的三个馒头（“甜在心馒头”，有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：

把 均分为四个时间段：

此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：

在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：

内卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。

这样的概率通过二项分布来计算就是：

但是，如果把 的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了：

从图中看，每个时间段，有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

解决这个问题也很简单，把 分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：

这样， 内卖出7个馒头的概率就是（相当于抛了20次硬币，出现7次正面）：

为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成 份：

越细越好，用极限来表示：

更抽象一点， 时刻内卖出 个馒头的概率为：

3 的计算

“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率 怎么求？”

在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：

那么：

4 泊松分布

有了 了之后，就有：

我们来算一下这个极限：

其中：

所以：

上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在 时间内卖出 个馒头的概率为：

一般来说，我们会换一个符号，让 ，所以：

这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

5 馒头店的问题的解决

老板依然蹙眉，不知道 啊？

没关系，刚才不是计算了样本均值：

可以用它来近似：

于是：

画出概率密度函数的曲线就是：

可以看到，如果每天准备8个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来：

这样 的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”

6 二项分布与泊松分布

鉴于二项分布与泊松分布的关系，可以很自然的得到一个推论，当二项分布的 很小的时候，两者比较接近：

7 总结

这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。

生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理，我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变？所以可以用泊松分布来计算。

还有比如交通规划等等问题。

这篇文章可以继续扩充：如何理解指数分布？

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解泊松分布？
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这篇回答节选自我在专栏《机器学习中的数学：概率统计》中的一篇文章，我们来谈一下泊松分布的问题。

欢迎关注我的知乎账号 @石溪 ，将持续发布机器学习数学基础及算法应用等方面的精彩内容。

谈到泊松分布必须要结合着先说说二项分布

1.二项分布及二项随机变量

1.1.分布列及PMF

我们还是举抛硬币的例子：将一个硬币抛掷 次，每次抛掷出现正面的概率为 ，每次抛掷彼此之间都是相互独立的，随机变量 对应 次抛掷得到的是正面的次数。

这里，随机变量 服从二项分布，二项分布中的核心参数就是上面提到的 和 ，随机变量的分布列可以通过下面这个熟悉的公式计算得到：

下面我们通过依次指定不同的 参数： ，来绘制 图，来观察一下二项随机变量的分布情况：

代码片段： 

       from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set()  fig, ax = plt.subplots(3, 1) params = [(10, 0.25), (10, 0.5), (10, 0.8)] x = range(0, 11)  for i in range(len(params)):     binom_rv = binom(n=params[i][0], p=params[i][1])     ax[i].set_title('n={},p={}'.format(params[i][0], params[i][1]))     ax[i].plot(x, binom_rv.pmf(x), 'bo', ms=8)     ax[i].vlines(x, 0, binom_rv.pmf(x), colors='b', lw=3)     ax[i].set_xlim(0, 10)     ax[i].set_ylim(0, 0.35)     ax[i].set_xticks(x)     ax[i].set_yticks([0, 0.1, 0.2, 0.3])      plt.show()

运行结果：

挺好看的一张图，我们来简要解释一下代码：

第11行：生成服从指定参数 , 的二项分布随机变量。

第12行~第18行： 分别对其进行PMF图绘制，因为是离散型随机变量，因此不建议画成折线图，这种形态更为合适一些。

在这个例子中，我们直接通过scipy中的stats模块得到的二项分布的概率质量函数，也就是反映了不同参数条件下，随机变量 各取值点所对应的取值概率。

1.2.随机变量的采样

我们可以使用 模块中的 方法进行二项随机变量的采样模拟，我们可以指定所要采样的随机变量个数，这里指定重复采样10万次。我们使用三组参数 ：分别是 ， 和 。

通过上述模拟采样试验可以得到每种实验结果所对应的次数，然后我们通过归一化，可以计算出随机变量每一种取值所对应的频数，并将其作为概率的近似进行绘图观察。

代码片段 

       from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set()  fig, ax = plt.subplots(3, 1) params = [(10, 0.25), (10, 0.5), (10, 0.8)] x = range(0, 11) for i in range(len(params)):     binom_rv = binom(n=params[i][0], p=params[i][1])     rvs = binom_rv.rvs(size=100000)     ax[i].hist(rvs, bins=11, normed=True)     ax[i].set_title('n={},p={}'.format(params[i][0], params[i][1]))     ax[i].set_xlim(0, 10)     ax[i].set_ylim(0, 0.4)     ax[i].set_xticks(x)     print('rvs{}:{}'.format(i, rvs))  plt.show()

运行结果： 

       rvs0:[0 4 2 ... 3 2 3] rvs1:[6 6 5 ... 5 7 8] rvs2:[7 8 9 ... 9 7 8]

程序打印的结果是三个数组，这就是我们在不同参数下分别做10万次采样试验的结果数组。

1.3.随机变量的数字特征

服从二项分布的随机变量，他的期望和方差的表示很简单，服从参数为 的二项分布的随机变量 ，他的期望和方差的公式我们直接给出来：

期望：

方差：

我们可以结合上面的试验，用几种方法来验证一下上述结论：

代码片段： 

       import numpy as np from scipy.stats import binom  binom_rv = binom(n=10, p=0.25) mean, var, skew, kurt = binom_rv.stats(moments='mvsk')  binom_rvs = binom_rv.rvs(size=100000) E_sim = np.mean(binom_rvs) S_sim = np.std(binom_rvs) V_sim = S_sim * S_sim  print('mean={},var={}'.format(mean,var)) print('E_sim={},V_sim={}'.format(E_sim,V_sim)) print('E=np={},V=np(1-p)={}'.format(10 * 0.25,10 * 0.25 * 0.75))

运行结果： 

       mean=2.5,var=1.875 E_sim=2.50569,V_sim=1.8735076238999997 E=np=2.5,V=np(1-p)=1.875

我们用三种方法计算了服从参数为 的二项分布随机变量的均值和方差，其中：

第04行~第05行： 是用函数包中的方法计算的分布的各个理论统计值；

第07行~第10行：从采样试验中得到的样本数据计算出来的均值和方差；

第14行：通过公式直接计算出来的理论值。

看的出，利用采样样本数据计算出来的值和理论值基本上是相等的。

看完了二项分布，我们再来看看泊松分布：

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2.泊松分布及泊松随机变量

2.1.泊松分布的应用场景

我们刚刚讲了， 次独立的伯努利试验成功的次数是一个服从二项分布的随机变量，其中参数为 和 ，期望为 。我们这里看一种非常特殊的情况：就是 非常大， 非常小，但是期望 结果适中。

现实生活中有没有这类情况？有，比如我们考虑任何一天内发生飞机事故的总数，记作随机变量 ，总共飞机飞行的次数 非常大，但是单架次飞机出现事故的概率 非常小。或者用随机变量 表示一本书中字印刷错误的次数， 表示一本书中的总字数，非常大，而 表示每个字印刷出错的概率，非常小。

这种情况下， 很大 很小，二项分布的分布列可以简化为我们这里谈到的泊松分布的分布列：

，其中， ，

期望和方差满足：

特别的，当我们的 ，且 时，对应的二项分布列：

就收敛于上面的泊松分布列了。

通俗点说把，就是只要当 ，且 非常大， 非常小，泊松分布就是二项分布的一个非常好的近似。计算简便就是他的一个很大的优势

2.2.泊松分布的PMF图

同样的，我们也用python代码来画一下他的PMF函数图，对应的观察一下指定参数下泊松分布的分布列。

正如我们所说，泊松分布的参数就是一个 ，我们分别绘制一个 和 的泊松分布PMF图，并获取他们的均值和方差。

代码片段： 

       from scipy.stats import poisson import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set()  fig, ax = plt.subplots(2, 1) x = range(0, 20) params = [10, 2]  for i in range(len(params)):     poisson_rv = poisson(mu=params[i])     mean, var, skew, kurt = poisson_rv.stats(moments='mvsk')     ax[i].plot(x, poisson_rv.pmf(x), 'bo', ms=8)     ax[i].vlines(x, 0, poisson_rv.pmf(x), colors='b', lw=5)     ax[i].set_title('$\lambda$={}'.format(params[i]))     ax[i].set_xticks(x)     print('lambda={},E[X]={},V[X]={}'.format(params[i], mean, var))      plt.show()

运行结果： 

       lambda=10,E[X]=10.0,V[X]=10.0 lambda=2,E[X]=2.0,V[X]=2.0

同样的，我们对 的泊松分布进行采样。

代码片段： 

       import numpy as np from scipy.stats import poisson import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set()  lambda_ = 2 data = poisson.rvs(mu=lambda_, size=100000) plt.figure() plt.hist(data, normed=True) plt.gca().axes.set_xticks(range(0, 11)) print('mean=', np.mean(data)) print('var=', np.square(np.std(data))) plt.show()

运行结果： 

       mean= 2.00542 var= 2.0082906236

这也是我们通过10万次采样试验得出的统计结果，我们通过这个结果集计算了均值和方差，和模型的理论推导值是一致的。

此内容节选自我的专栏《机器学习中的数学：概率统计》，前三节可免费试读，欢迎订阅！

当然还有《机器学习中的数学（全集）》系列专栏，欢迎大家阅读，配合食用，效果更佳~

有订阅的问题可咨询微信：zhangyumeng0422

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英国：山姆先生，你好你好，有什么事情我们可以帮你的？

美国：我要说的事，你们千万别害怕

英国：我们是日不落的高卢鸡，我们不会怕，你请说。

美国：这次5G，我不能监控了！

英国：5G是哪一位？

美国：不是哪位，是那个我完全不能走后门的5g啊！

法国：（画画中，2g）

美国：没那么老，刚出的

法国：（画画中，3g）

美国：没那么慢，网速几百兆的

法国：（画画中，4g）

美国：延迟呢？

法国：（转过来，4g+）

美国：这……

英国：（添几笔，韩国5g）

美国：（愤怒！！）5g啊，就那个华为出的5g啊，新闻有没有看？最近很火，速度起飞的那个啊，明白吗

英国：明白了，你请说

美国：他们说我监控别人，搞五眼联盟，试问谁不知道，他们就独立搞研发去了，就在中国深圳，一下子就搞出来了，一个基站就茶杯那么大，茶杯啊。我刚要制裁他，他就退出美国，还起诉我，对我的制裁理都不理，我就像个傻…

法国：（憋不住笑了）

美国：你在笑什么？

法国：我想起高兴的事情

美国：什么高兴的事情？

法国：我刚卖了300架飞机

英国：（憋不住了）

美国：你又笑什么？

英国：我也卖了300架飞机

美国：你们卖的是同样的飞机？

法国：对对对

英国：啊，不是，刚才直播了一下，把一个月流量烧光了。

美国：我再重申一遍，我没有开玩笑！

法国：对对

美国：喂～～

英国：哎，我们言归正传啊，那个，这个华为5g，他厉害吗？

美国：他不是厉不厉害的问题，他真的是那种，那种很少见的那种，敢跟我对着搞，速度快，延迟低，而且我还走不了后门，遗憾的是不是我们搞出来的，我还没来得及体验……

法国：（偷笑）

美国：你个高卢鸡还在笑，我忍你很久了

法国：我卖了飞机

美国：你明明在笑都没停过！

法国：山姆先生，我们受过严格的训练，无论多好笑我们都不会笑，除非忍不住。

英国：不如这样，你先回去用4g发推，等我直播爽完了就来帮你谴责他们。

美国：行，你们赶紧直播，完了多带点水军，很危险的。

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