如何求函数 f(x) = sinx + sin2x + sin3x 的值域？ 第1页

怎么又是这种题...经典钓鱼了属于是

首先注意到是奇函数，因此只需要计算最大值

由于

因此考虑万能代换：设

代入得到 ，然后求最大值即可

以下提供两种方式

方法一：直接求导

有

显然 取到最大值时 三者均为正数

因此 ，显然 在 内递增且恰有一个零点

故只需解方程

解得

而后代入计算知，所求最大值是

如果我们把上面的式子记为 ，那么 值域就是

方法二：均值不等式

一般来讲这种分子为几个因式乘积且分母是一个东西整体的多少次方形式时都可以凑出均值不等式“秒掉”，其实就是待定系数

怎么做呢？先把平方一下，方便操作

也就是说要求 的最大值，其中

待定三个正数 ，然后改写一下分子

根据取等条件，应有

解一下，就是

再代入到第一个方程里面，整理下就是

显然以上方程在 内恰有一个根，记为

先不着急解方程，看下最大值应该长什么样子

将 都用替换一下，得到

其中满足 ，我们尝试寻找一下 对应的极小多项式

首先次数这么高，若直接强行计算 代入再求极小多项式，mma似乎也无能为力......所以先做个带余除法

不难看出分子

以及分母

其中 均为整系数多项式

故

接下来极小多项式就显而易见了， 是方程 的最大根

也就是说， 的最大值是方程 的最大根

约为 ，解之得

故所求值域为

另外题主你这是哪里来的题呀？原题应该是证明 吧，怎么被“偷换概念”了呢

至于如何证明 ，可以看下面的链接

方法还是很漂亮的

emmm有人反馈说看不清，那就把最大值换个写法吧，比如下面这种形式

修改：突然发现即便不引入三角，也可以把结果写得好看和简短一些

嗯，评论区中提出的问题解决了