爱因斯坦方程可以通过拉格朗日量导出。个人觉得这是最自然的推法。
不太严谨的说,因为我们觉得拉格朗日量应该是一个反应曲率的纯量,我们可以猜测拉格朗日密度的形式是数量曲率:
接下来要把他带入作用量中。然而这时有一个问题,那就是作用量中的体积元随着规度(场)而变化。为此我们需要把这部分也算入其中。体积元为 ,于是我们吧其中的规度部分也带入作用量中:
接下来自然变分后得到
其中第一项是全微分,是边界项,为0。第二项则得到爱意斯坦张量
于是我们得到真空中的运动方程
该方法也可以求得有其他场时的解。只需要带入其他场的拉格朗日量()便可以得到右侧的动能张量项。
描述广义相对论的场方程一定是这么个形式: ,其中左边 叫爱因斯坦张量(Einstein tensor),描述了空间弯曲的情况,右边 是个系数不重要, 叫能动张量(stress-energy tensor),描述了物质能量的分布情况。右边比较简单,我们已经很清楚能动张量是个什么东西,关键是左边,爱因斯坦张量到底是个什么形式。
这个就要靠猜了。
但是我们知道有这么几个条件:
咱们一个一个来:
所以,总结起来,我们就得到了 且 。因为宇宙常数 是极小的,所以如果我们不考虑宇宙尺度的事情,那爱因斯坦方程就会变成美美的 。
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既然有人问了里奇张量,那我就简单地再补充一下吧。
所谓的“空间弯曲”其实就是由度规(metric) 描述的。在平直时空、笛卡尔坐标系中,度规就是人畜无害的
但是一般而言,度规没有这么漂亮,其中每一项都会是时空坐标 的函数。
通过度规我们可以定义出克氏符号(Christoffel symbols) 。虽然不太好看,但这肯定不是瞎定义出来的,是有道理的。几何上,它描述着“有多少坐标值的变化是由于坐标系的变化才造成的”。举个栗子,上述平直时空的度规显然是个常量,如果我们求导就会得到0。然而,同样是平直时空,如果我们不用笛卡尔坐标系而改用球坐标系,那度规就会变成一个 和 的函数,这时我们求导就不会得到0。然而这是很荒谬的,因为我们只是在用不同的坐标系去描述相同的时空!
所以,克氏符号就是用来修正导数或者梯度在广义相对论中的定义的。比方说,我们描述一条时空中的测地线 时,会说它的速度保持不变也就是二阶导数为零。在笛卡尔坐标系中,这就是 。但是,推广到更一般的情形中,我们就要加上克氏符号的修正 。再例如,在广义相对论中,梯度的定义也要从简单的 变成 。
有了克氏符号的帮助,我们就可以给度规求导了。我们定义出黎曼张量(Riemann tensor) 。这玩意儿呢,其实就是广义相对论中的潮汐力,描述了平行的测地线之间的偏移量。当然,如果时空是平直的,平行的测地线会永远保持平行,所以黎曼张量在平直时空中恒为零,只有在弯曲时空中才不为零。
黎曼张量非常重要,因为它很好地描述了时空的弯曲。我们看到它在平直时空中恒为零,弯曲时空中才不为零,符合我们的想象(如果“什么都没有”,那时空应该是平直的)。它和度规不一样:即使是描述同样的平直时空的度规也有无数种形式。它和克氏符号也不一样:克氏符号不满足张量变换的形式,不是张量,而黎曼张量顾名思义是个张量。
最后,我们可以把黎曼张量收缩,获得其他形式。我们定义里奇张量(Ricci tensor)为 且曲率标量(curvature scalar)为 。它们都从不同方面描述了时空的弯曲,也都是张量(标量也是零阶张量哟),所以最终都进入了爱因斯坦张量的定义。
牛二和万有引力中出现的质量并不是一个东西。根据牛二 和万有引力 ,老爱认为质量具有等效原理——老爱特有的思维方式,凡是不能区分的就是一回事(等能区分了你再区分,不在区分不了的东西上浪费精力,出道的时候在狭义相对论上就是这么干的),即惯性质量 和引力质量 是一回事,这样还留下了一个伏笔,未来如果有人真的证明了这两个质量是一体的两面,那么老爱赢了;未来如果有人能够区分两个质量了,还可以在更大的一个模型上讨论模型退化为等效原理,老爱继续躺赢。
总之:
两个力可以约去,这样可以得到加速度和引力场的关系,这里是有心引力场的情况,显然可以推广到任何引力场:
加速度关乎参考系,引力场关乎引力。这是老爱学习黎曼几何前的研究成果。按照老爱的脑回路,我跳楼的时候到底是引力在拉我,还是参考系在加速运动,我仍然不能区分。。。虽然我在跳楼,可是如果是在加速运动的参考系中,我还是在匀速直线运动(运动轨迹为曲面上的直线——测地线)呢。
不仅是惯性质量和引力质量无法区分,进一步说惯性和引力也不能区分。惯性(力)来自加速的坐标运动,也就是时空弯曲;引力来自物质的分布,确切地讲在相对论意义下是能量和动量的分布。——无论是我跳楼,还是大地加速奔向我,效果都是一样的酸爽。
在获得了黎曼几何这一心法后,结合狭义相对论的成果,老爱可以用张量的语言来讲清楚等效原理。引力的效果(与物质——能量或动量的载体相关)构成能动张量,而时空的弯曲(与参考系相关)构成爱因斯坦张量(来自弯曲时空的Levi-Civita联络上的Riemann曲率张量),场方程就是用张量描述的等效原理。
Einstein场方程联系了描述空间弯曲的Einstein张量 和描述物质能量分布的能动张量 ,即:
其中 是个常数。