有什么有趣的数学题？
初听“悖论”二字，你可能会以为是个逻辑上的死结，但生日悖论更像是一个关于概率的“反直觉”现象。它的核心问题是：在一个房间里，需要有多少人，才能使得至少有两个人同一天生日的概率大于50%？
听到这个问题，很多人脑子里闪过的数字大概是365（一年有多少天）除以2，或者觉得需要相当多的人才能达到这个概率。比如，你可能会觉得，要凑够两个人同一天生日，怎么也得有几十个人吧？毕竟，一年365天，每个人生日随机分布的可能性还是挺大的。
然而，答案却会让你大吃一惊。只需要23个人，就能让两人同一天生日的概率超过50%！
是不是觉得有点不可思议？23个人，感觉还不多啊，怎么就有超过一半的可能性了？这正是生日悖论的魅力所在。它不是说“一定会”有两个人同一天生日，而是“很有可能”会。这种概率上的微妙之处，往往容易被我们直觉所忽略。
为了理解这一点，我们不妨换个角度来思考。与其计算“至少有两个人同一天生日”的概率，不如计算“所有人的生日都互不相同”的概率，然后再用1减去这个概率，就能得到我们想要的答案。这么做更方便计算，而且结果殊途同归。
我们来一步一步推导。
假设房间里有$n$个人。
第一个人： 他的生日可以是任意一天，这不影响任何概率，因为他是第一个。
第二个人： 为了让他和第一个人生日不同，他必须避开第一个人的生日。一年有365天，所以他有364天可以选择，而不会与第一个人重复。因此，第二个人生日与第一个人不同的概率是 $frac{364}{365}$。
第三个人： 为了让他和前两个人生日都不同，他必须避开前两个人的生日。现在已经有两个人占用了两天，所以他有363天可以选择。因此，第三个人生日与前两人都不同的概率是 $frac{363}{365}$。
以此类推……
第$n$个人： 为了让他和前面$n1$个人生日都不同，他必须避开前面$n1$个人的生日。这$n1$个人已经占据了$n1$个不同的生日。所以，他有 $365 (n1)$ 天可以选择。因此，第$n$个人生日与前面$n1$人不同的概率是 $frac{365 (n1)}{365}$。
那么，所有$n$个人的生日都互不相同的概率，就是将以上这些概率连乘起来：
$P( ext{所有人生日互不相同}) = frac{365}{365} imes frac{364}{365} imes frac{363}{365} imes dots imes frac{365 (n1)}{365}$
这个式子可以用阶乘的形式表示，稍微简化一下：
$P( ext{所有人生日互不相同}) = frac{365 imes 364 imes 363 imes dots imes (365n+1)}{365^n} = frac{P(365, n)}{365^n}$
其中，$P(365, n)$是排列数，表示从365个生日中选取$n$个并排序的方案数。
而我们真正关心的是“至少有两个人同一天生日”的概率，也就是：
$P( ext{至少两人同一天生日}) = 1 P( ext{所有人生日互不相同})$
现在，让我们来计算当$n=23$时的情况：
$P( ext{23人里至少两人同一天生日}) = 1 left( frac{365}{365} imes frac{364}{365} imes dots imes frac{365 (231)}{365} ight)$
$P( ext{23人里至少两人同一天生日}) = 1 left( frac{365}{365} imes frac{364}{365} imes dots imes frac{343}{365} ight)$
当计算这个乘积时，你会发现，每一步的概率都在下降，但下降的速度并没有你想象的那么快。尤其是在人数增加到一定程度后，连乘的数字虽然都在分子小于分母，但随着分母指数级的增长和分子递减，概率下降的速度其实很快。
我们来具体算算几个点：
10个人： 同一天生日的概率大约是11.7%。
20个人： 同一天生日的概率大约是41.1%。
23个人： 同一天生日的概率大约是50.7%。超过一半了！
30个人： 同一天生日的概率大约是70.6%。
50个人： 同一天生日的概率高达97%!
70个人： 同一天生日的概率接近99.9%。
看到这个数字变化了吗？从20人到23人，概率就从41%跳到了50%，这中间仅仅增加了3个人，但概率却增加了近10个百分点。而当人数达到50人时，几乎就成了必然事件。
为什么会这样？
生日悖论之所以令人惊奇，是因为我们人类的直觉更擅长处理“与某一个特定对象发生关联”的概率，而不是“在众多对象中，任意两个之间发生关联”的概率。
想象一下你在派对上，你问一个人：“你的生日是今天吗？” 他生日是今天的概率是 $frac{1}{365}$。但这和生日悖论完全不同。生日悖论问的是：是否存在一对（可能很多人），他们的生日是同一天。
在23个人里，有多少对可能的组合呢？这是组合数的问题。23个人之间可以组成的配对数量是：
$C(23, 2) = frac{23 imes (231)}{2} = frac{23 imes 22}{2} = 23 imes 11 = 253$ 对！
你看，在23个人里，就有253对可能的生日匹配。每一对都存在 $frac{1}{365}$ 的概率是同一天生日。虽然每一对同一天生日的概率很小，但因为有这么多对潜在的匹配，累积起来的概率就变得相当可观了。
这就像你买彩票，单张彩票中头奖的概率极低，但如果你购买了很多张彩票，或者参与一个大型的抽奖活动，你中奖的总概率就会大大增加。生日悖论就是这种“集合效应”的体现。
它有什么用？
生日悖论不仅是个有趣的数学游戏，它还揭示了概率思维在实际生活中的应用：
计算机安全： 在密码学中，类似生日悖论的原理被用来分析“生日攻击”。例如，如果攻击者能找到两个拥有相同哈希值的数字证书，就可以冒充合法的用户。找到这样的碰撞所需的“输入”数量，往往比人们直觉预期的要少得多。
统计学： 它帮助我们理解样本量对结果的影响，以及直觉偏差可能带来的误判。
生活中的趣味： 下次你参加一个只有几十人的聚会时，不妨可以悄悄地跟朋友说：“我打赌，我们这里至少有两个人是同一天生日。” 说不定你就能赢！
总而言之，生日悖论是一个绝妙的例子，说明了数学有时会以最出人意料的方式挑战我们的直觉，让我们看到数字背后隐藏的强大力量。它提醒我们，在思考概率问题时，要警惕那些看似简单却可能隐藏着陷阱的直观感受，而要依赖严谨的数学推导。下次有人问你房间里有多少人才能超过50%的概率有相同生日时，你就可以自信地说出那个令人惊讶的数字：23。
网友意见
昨天看到的一个很有意思的题
自己做用的是导数法，很容易得到结果
然后一看答案
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还能这么做啊
刚才看的另一个一个回答下有个评论用到了这个方法，学会了
关于无理数寻近亲的工作.jpg
然后就。。。
有代號 A, B, C 的三位神祇，只知祂們名為「真實、虛謊、任性」，但不知哪個代號屬哪個名字。真實之神只說真話，虛謊之神只說假話，而任性之神會隨意說真話或假話。你的任務是利用三條是非題，找出 A, B, C 的身份，但每次只能向一位神祇發問。神祇們都懂得你的語言，但只會用祂們的語言回答 "da" 或 "ja"。這兩種回答，一個解「是」，一個解「否」，但你不知道哪個回答是哪個意思。
2000年曾出现过一道知名的五点共圆问题，震惊全中国
交际花定理。
定理 如果一群人中任意两个人总是有且仅有一个共同的朋友(朋友关系是相互的)，那么一定有一个人是交际花。(即与所有其他人是朋友)
证明需要用到一点儿线性代数，不过前半段是中学生甚至小学生都看得懂的。十分有趣，曾收入《数学天书中的证明》。看的时候请把人抽象为点，朋友关系抽象为线，画个图。
下面证明。首先，要么这群人里只有一个人，要么至少有三个人。如果为一个或三个，问题显然成立。假设至少有四个人。
用反证法，假设交际花不存在。我们先证明每一个人的朋友个数是一样的。把一个人 的朋友数记为 。对于两个人 ，令这两个人不是朋友，设 。(这个一定存在)假设 是 的所有朋友。由于 和 有一个共同朋友，不妨设为 。 与 恰有一个朋友，不妨设是 。 与 恰有一个共同的朋友，记为 。
首先， 都是不同的人。否则，假设 ，则 有两个共同朋友 。矛盾。从而 至少有 个朋友，即 。故 。同理 。故 。
现在只解决了两个人的问题，下面推广到所有人。对于任意一个人 ，他/她与 不同时是朋友，也就是会与 之一不是朋友。不妨设是 ，对 重施上面的手段可知 也是 。最后考虑 ,(注意，现在不知道朋友数的只有他/她了)由于 也与一个人不是朋友(否则是交际花)，所以故技重施可以知道 。这就证明了所有人的朋友数是一样的。
设一共有 个人，我们再次考虑 的朋友，这 个人的朋友数之和为 。由于每一个人 都与 有一个共同的朋友，故每一个人都被数到，且 被数了 次。从而有一个重要的结果： 。
下面是线性代数的主场～
首先，开头已经假设 。所以 。给人编号，记为 。我们先考虑一个邻接矩阵 。也就是说，矩阵中的元素都是零或一，且第 行第 列的数 是 等价于 是朋友。规定一个人与自己不是朋友。由定理的条件，任取两行，都存在一列，这一列与这两行的交集都是 。之前已经证明每一个人都有 个朋友，所以每一行或者每一列的数之和都是 。从而
其中 是全为 的矩阵。我们考虑特征值，由于 的特征值是一个 和 个 ，故 的特征值是一个 和 个 。从而可知 的特征值是一个 和 个 。假设是 个 与 个 。线性代数告诉我们，一个方阵的特征值之和等于矩阵的迹。所以 。故 ，且 。从而 是有理数，从而是整数。令 ，则 。从而 ，得到 。但是 ，矛盾。
表面上看起来不有趣，结果很有趣...
在这里给出一种解答
发现这题的亮点了吗...注意Remark...真的超级像Lucas定理啊...
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