请问数学的函数和编程语言的函数有什么区别呢？
数学上的函数和编程语言中的函数，虽然名字相同，都代表着一种“映射”或者“处理”，但在概念的本质、表达方式、应用场景乃至哲学内涵上，都有着不少有趣的差异。咱们就掰开了揉碎了，仔细聊聊它们之间的区别。
数学中的函数：纯粹的抽象，逻辑的王国
想象一下，数学中的函数，更像是一个严格定义的规则或者关系。它不关心“它是怎么做到的”，只关心“它做了什么”。
定义与映射： 最核心的区别在于它们的定义方式。数学函数是通过集合论来定义的。一个函数 $f$ 是从一个集合 A（定义域）到另一个集合 B（值域）的一种二元关系，满足：
A 中的每一个元素，都有一个 B 中的元素与之对应（存在性）。
A 中的每一个元素，都只能对应 B 中的一个元素（唯一性）。
我们可以用数学表达式来描述这种关系，比如 $f(x) = x^2$。这意味着，无论你输入什么值给 $x$，这个函数总是会将其平方。
输入与输出： 输入（定义域）和输出（值域）在数学中可以是任何数学对象。可以是数字（实数、复数、整数、有理数），可以是向量，可以是矩阵，可以是集合，可以是函数本身（高阶函数），甚至可以是更抽象的概念。例如，一个函数可以接收一个多项式，输出它的导数。
状态与副作用： 数学函数是纯粹的，不包含“状态”或“副作用”。也就是说，无论你调用一个数学函数多少次，只要输入相同，输出就永远相同。它不会改变外部世界的任何东西，也不会依赖于调用时的外部环境（除了它的输入）。例如，$f(x) = x^2$ 永远只做平方这个动作，不会打印“Hello World”，也不会修改全局变量。
存在性与无限性： 数学函数可以处理无限的定义域和值域。例如，实数函数 $f(x) = x+1$ 定义在所有实数上，这是一个无限的集合。数学也允许我们定义那些在有限计算机上无法完全枚举的函数。
表达方式： 主要通过数学符号、公式、图形来表达。如 $y = sin(x)$，或使用 $lambda$ 演算的表示法 $lambda x. x^2$。
哲学内涵： 更偏向于逻辑推理、理论证明，是构建数学大厦的基石。它探讨的是“可能性”和“必然性”，是事物间客观存在的联系。
编程语言中的函数：执行的指令，操作的载体
编程语言中的函数，更像是一个封装好的、可执行的代码块，它接收输入，执行一系列操作，然后返回一个结果。
定义与执行： 编程函数是通过代码语句来定义的。它是一系列指令的序列，告诉计算机“如何做”。例如：
```python
def add_one(x):
result = x + 1
return result
```
这定义了一个名为 `add_one` 的函数，它接收一个参数 `x`，执行加一的操作，然后返回结果。
输入与输出（参数与返回值）： 输入通常是编程语言中的数据类型，如整数、浮点数、字符串、布尔值、列表、字典等。输出也是这些数据类型。它们的范围受限于计算机硬件的表示能力和内存限制。
状态与副作用： 这是编程函数与数学函数最显著的区别之一。编程函数可以拥有状态（例如，全局变量、类的成员变量），可以产生副作用（例如，打印到控制台、修改文件、发送网络请求、改变全局变量的值）。一个带有副作用的函数，即使输入相同，每次调用也可能产生不同的行为或结果。
```javascript
let counter = 0;
function incrementAndPrint() {
counter++; // 副作用：修改了外部变量
console.log("Count is now: " + counter); // 副作用：打印到控制台
return counter;
}
```
这里 `incrementAndPrint` 函数每次调用都会使 `counter` 增加，并且打印出不同的信息。
计算与过程： 编程函数本质上是一种计算过程。它描述了如何一步一步地完成某个任务。它强调的是“如何做”，而不是仅仅“做了什么”。
表达方式： 通过特定编程语言的语法来表达。例如 Python、Java、C++、JavaScript 等。
哲学内涵： 更偏向于解决实际问题、自动化任务，是构建软件系统的砖石。它关注的是“如何实现”和“如何效率地实现”，是计算机执行的具体动作。
详细对比总结
| 特征 | 数学函数 | 编程语言函数 |
| : | : | : |
| 本质 | 集合间的映射关系，纯粹的逻辑规则 | 可执行的代码块，一系列计算指令 |
| 定义方式 | 数学符号、公式、集合论 | 编程语言的语法（语句、表达式） |
| 输入/输出 | 任何数学对象（数字、向量、集合、函数等） | 编程语言的数据类型（整数、字符串、列表、对象等） |
| 状态 | 无状态，纯粹的 | 可以有状态（依赖外部变量、类成员等） |
| 副作用 | 无副作用 | 可以有副作用（打印、文件操作、网络请求等） |
| 无限性 | 可以处理无限的定义域和值域 | 受限于计算机硬件和内存，通常是有限的 |
| 关注点 | “是什么”：事物间的关系和性质 | “怎么做”：执行过程和操作的步骤 |
| 可测试性 | 通过逻辑推导和证明 | 通过运行代码、单元测试、集成测试 |
| 抽象级别 | 更高层、更抽象的逻辑抽象 | 相对具体、实现细节更丰富的抽象 |
| 目的 | 建立数学理论，描述自然规律 | 解决实际问题，实现自动化，构建软件系统 |
举个例子来加深理解：
想象我们要“求一个数的平方”：
数学函数： $f(x) = x^2$。这是一个抽象的定义。无论 $x$ 是 2、3、$sqrt{7}$，还是一个非常大的实数，这个函数都明确地告诉我们结果是 $x$ 乘以 $x$。我们不会关心这个计算是怎么在机器上完成的，只关心这个映射关系本身。
编程函数：
```python
def square(x):
return x x
```
当我们调用 `square(5)` 时，计算机执行的是一系列指令：找到 `x` 的值（5），执行乘法运算（5 5），然后将结果（25）返回。这个过程发生在具体的计算机环境中。如果 `square` 函数内部还包含打印语句，那它就有了副作用。
更微妙的区别：
“值”与“过程”： 在某些函数式编程语言（如 Haskell）中，函数本身可以被视为“一等公民”，可以像数据一样传递和操作，这更接近数学函数的“值”的概念。而在命令式编程语言中，函数更多地被看作是“过程”或“方法”，强调执行的顺序和动作。
类型系统： 数学函数可以有任意复杂的类型，而编程函数则受限于语言的类型系统。例如，有些数学函数可能无法在静态类型语言中直接用有限的类型签名来表示。
求值策略： 不同的编程语言有不同的求值策略（如惰性求值、严格求值），这会影响函数实际执行的时间点和方式，而数学函数是不考虑这些执行细节的。
总而言之，数学函数是关于定义和关系的纯粹抽象，是逻辑推理的工具；而编程函数是关于执行和操作的指令集合，是解决实际问题的手段。编程函数是在数学函数概念的基础上，为了在计算机中实现和执行而进行的具体化和扩展。理解了它们各自的侧重点，就能更好地理解它们在不同领域扮演的角色。
数学中的函数：纯粹的抽象，逻辑的王国
想象一下，数学中的函数，更像是一个严格定义的规则或者关系。它不关心“它是怎么做到的”，只关心“它做了什么”。
定义与映射： 最核心的区别在于它们的定义方式。数学函数是通过集合论来定义的。一个函数 $f$ 是从一个集合 A（定义域）到另一个集合 B（值域）的一种二元关系，满足：
A 中的每一个元素，都有一个 B 中的元素与之对应（存在性）。
A 中的每一个元素，都只能对应 B 中的一个元素（唯一性）。
我们可以用数学表达式来描述这种关系，比如 $f(x) = x^2$。这意味着，无论你输入什么值给 $x$，这个函数总是会将其平方。
输入与输出： 输入（定义域）和输出（值域）在数学中可以是任何数学对象。可以是数字（实数、复数、整数、有理数），可以是向量，可以是矩阵，可以是集合，可以是函数本身（高阶函数），甚至可以是更抽象的概念。例如，一个函数可以接收一个多项式，输出它的导数。
状态与副作用： 数学函数是纯粹的，不包含“状态”或“副作用”。也就是说，无论你调用一个数学函数多少次，只要输入相同，输出就永远相同。它不会改变外部世界的任何东西，也不会依赖于调用时的外部环境（除了它的输入）。例如，$f(x) = x^2$ 永远只做平方这个动作，不会打印“Hello World”，也不会修改全局变量。
存在性与无限性： 数学函数可以处理无限的定义域和值域。例如，实数函数 $f(x) = x+1$ 定义在所有实数上，这是一个无限的集合。数学也允许我们定义那些在有限计算机上无法完全枚举的函数。
表达方式： 主要通过数学符号、公式、图形来表达。如 $y = sin(x)$，或使用 $lambda$ 演算的表示法 $lambda x. x^2$。
哲学内涵： 更偏向于逻辑推理、理论证明，是构建数学大厦的基石。它探讨的是“可能性”和“必然性”，是事物间客观存在的联系。
编程语言中的函数：执行的指令，操作的载体
编程语言中的函数，更像是一个封装好的、可执行的代码块，它接收输入，执行一系列操作，然后返回一个结果。
定义与执行： 编程函数是通过代码语句来定义的。它是一系列指令的序列，告诉计算机“如何做”。例如：
```python
def add_one(x):
result = x + 1
return result
```
这定义了一个名为 `add_one` 的函数，它接收一个参数 `x`，执行加一的操作，然后返回结果。
输入与输出（参数与返回值）： 输入通常是编程语言中的数据类型，如整数、浮点数、字符串、布尔值、列表、字典等。输出也是这些数据类型。它们的范围受限于计算机硬件的表示能力和内存限制。
状态与副作用： 这是编程函数与数学函数最显著的区别之一。编程函数可以拥有状态（例如，全局变量、类的成员变量），可以产生副作用（例如，打印到控制台、修改文件、发送网络请求、改变全局变量的值）。一个带有副作用的函数，即使输入相同，每次调用也可能产生不同的行为或结果。
```javascript
let counter = 0;
function incrementAndPrint() {
counter++; // 副作用：修改了外部变量
console.log("Count is now: " + counter); // 副作用：打印到控制台
return counter;
}
```
这里 `incrementAndPrint` 函数每次调用都会使 `counter` 增加，并且打印出不同的信息。
计算与过程： 编程函数本质上是一种计算过程。它描述了如何一步一步地完成某个任务。它强调的是“如何做”，而不是仅仅“做了什么”。
表达方式： 通过特定编程语言的语法来表达。例如 Python、Java、C++、JavaScript 等。
哲学内涵： 更偏向于解决实际问题、自动化任务，是构建软件系统的砖石。它关注的是“如何实现”和“如何效率地实现”，是计算机执行的具体动作。
详细对比总结
| 特征 | 数学函数 | 编程语言函数 |
| : | : | : |
| 本质 | 集合间的映射关系，纯粹的逻辑规则 | 可执行的代码块，一系列计算指令 |
| 定义方式 | 数学符号、公式、集合论 | 编程语言的语法（语句、表达式） |
| 输入/输出 | 任何数学对象（数字、向量、集合、函数等） | 编程语言的数据类型（整数、字符串、列表、对象等） |
| 状态 | 无状态，纯粹的 | 可以有状态（依赖外部变量、类成员等） |
| 副作用 | 无副作用 | 可以有副作用（打印、文件操作、网络请求等） |
| 无限性 | 可以处理无限的定义域和值域 | 受限于计算机硬件和内存，通常是有限的 |
| 关注点 | “是什么”：事物间的关系和性质 | “怎么做”：执行过程和操作的步骤 |
| 可测试性 | 通过逻辑推导和证明 | 通过运行代码、单元测试、集成测试 |
| 抽象级别 | 更高层、更抽象的逻辑抽象 | 相对具体、实现细节更丰富的抽象 |
| 目的 | 建立数学理论，描述自然规律 | 解决实际问题，实现自动化，构建软件系统 |
举个例子来加深理解：
想象我们要“求一个数的平方”：
数学函数： $f(x) = x^2$。这是一个抽象的定义。无论 $x$ 是 2、3、$sqrt{7}$，还是一个非常大的实数，这个函数都明确地告诉我们结果是 $x$ 乘以 $x$。我们不会关心这个计算是怎么在机器上完成的，只关心这个映射关系本身。
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```python
def square(x):
return x x
```
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更微妙的区别：
“值”与“过程”： 在某些函数式编程语言（如 Haskell）中，函数本身可以被视为“一等公民”，可以像数据一样传递和操作，这更接近数学函数的“值”的概念。而在命令式编程语言中，函数更多地被看作是“过程”或“方法”，强调执行的顺序和动作。
类型系统： 数学函数可以有任意复杂的类型，而编程函数则受限于语言的类型系统。例如，有些数学函数可能无法在静态类型语言中直接用有限的类型签名来表示。
求值策略： 不同的编程语言有不同的求值策略（如惰性求值、严格求值），这会影响函数实际执行的时间点和方式，而数学函数是不考虑这些执行细节的。
总而言之，数学函数是关于定义和关系的纯粹抽象，是逻辑推理的工具；而编程函数是关于执行和操作的指令集合，是解决实际问题的手段。编程函数是在数学函数概念的基础上，为了在计算机中实现和执行而进行的具体化和扩展。理解了它们各自的侧重点，就能更好地理解它们在不同领域扮演的角色。
网友意见
本质上是一个东西，因为当初计算机科学就是数学人搞出来的。所以用了相同的名词。
只不过数学的函数往往仅计算值。编程语言的函数除了计算值，还可以执行一些其它的功能，这种功能从函数的角度来看叫做「side effect」副作用，也可以翻译为「边际效应」。因为从数学函数的角度，计算一个变量的值同时产生了其它影响那就属于副作用。
编程语言的函数可以不计算出任何值，只执行其副作用。当然，这其实也能算是函数的一种。所以从概念定义上，编程的函数与数学上的函数确实是一个东西。
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