能介绍一下什么是熵权法吗？
好的，咱们来聊聊“熵权法”这个东西，尽量说得明白透彻，保证听着舒服，不带机器味儿。
你是不是有时候会遇到这种情况：手里有一堆数据，想做个评价，比如给不同的城市打分，看哪个城市生活更便利，哪个城市发展更有潜力。但问题来了，这些数据五花八门的，有的是人均收入，有的是绿化覆盖率，有的是犯罪率，还有的是教育资源占比。直接拿来比，有点像拿苹果和橘子比哪个甜，对不上号。而且，有些数据本身就有点“话痨”，说了好多信息，有些数据呢，可能就有点“沉默寡言”，提供不了太多有价值的东西。这时候，我们就需要一种方法来帮我们判断，哪些数据更重要，更有区分度，能真正帮助我们做出有意义的评价。
熵权法，顾名思义，就是利用“熵”这个概念，来给咱们的评价指标“称重”的一种方法。
咱们先来说说“熵”是啥。你别被这个词吓着，它其实是个挺直观的概念，最早是从热力学那儿过来的，描述的是一个系统的“混乱程度”或者“不确定性”。一个越混乱、越没规律的系统，它的熵就越高。
到了信息论里，香农大爷把这个概念借过来了，用来衡量一个信息源的“不确定性”或者“信息量”。一个信息源产生的信息越随机、越难以预测，它的信息熵就越高。简单来说，一个指标的“熵”值越小，说明这个指标的数据越集中，变化越小，它所包含的信息量就越少，对我们做判断的“贡献度”也就越低。反过来，一个指标的“熵”值越大，说明这个指标的数据越分散，变化越剧烈，它所包含的信息量就越多，在评价中就越重要。
这就好比你在听收音机，如果一直在播一段单调的音乐，你就很难从中获取新的信息，感觉很无聊，这时候“信息熵”就很低。但如果广播里一会儿是新闻，一会儿是笑话，一会儿是音乐，信息变化很多，你就觉得内容很丰富，获取的信息量很大，这时候“信息熵”就高。
那么，熵权法是怎么把这个“熵”用到评价指标上的呢？
整个过程大概可以分成这么几步：
第一步：数据标准化，让大家“站到同一起跑线”
前面说了，咱们的数据单位、量纲都不一样，直接比没意义。所以，第一步得先把数据标准化。常用的方法有两种：
正向指标标准化： 比如人均收入，收入越高越好。这时候，用某个指标的实际值除以该指标所有值的总和，或者除以所有值的最大值，让数据变成比例，值越大说明贡献越大。
负向指标标准化： 比如犯罪率，犯罪率越低越好。这时候，我们需要把负向指标“转化”成正向的，比如用最大值减去该指标的实际值，再进行类似正向指标的标准化处理。这样，处理后的值越大，表示“越好”。
这步操作的目的，就是把各种单位、量纲不同的数据，都变成一个没有单位、数值在0到1之间的比例数，方便后面计算。
第二步：计算每个指标的“离散度”
标准化之后，我们就要看每个指标的数据到底有多“分散”。这里面会用到一个叫做“信息熵”的公式，它长这样：
$H_j = sum_{i=1}^{n} p_{ij} log(p_{ij})$
其中：
$H_j$ 就是第 $j$ 个指标的信息熵。
$n$ 是评价对象的数量（比如你评价的城市数量）。
$p_{ij}$ 是第 $i$ 个评价对象在第 $j$ 个指标上的标准化数值。
这个公式看起来有点复杂，但咱们理解一下就行。这个求和的过程，就是把每个评价对象在某个指标上的标准化值（前面处理好的比例数）拿出来，然后用这个值除以所有评价对象在该指标上的总和，得到一个“占比” $p_{ij}$。然后再用这个占比去算个“对数”，再求和然后取负数。
核心在于 $p_{ij}$ 的计算。 简单来说，$p_{ij}$ 就像是第 $i$ 个城市在“教育资源”这个指标上的“相对贡献度”。如果一个城市在某个指标上的数值特别高，而其他城市都比较低，那这个城市的 $p_{ij}$ 就会比较大。反之，如果大家在这个指标上的数值都差不多，那么每个城市的 $p_{ij}$ 就会比较小。
第三步：计算每个指标的“信息效用值”
咱们知道，一个指标的信息量越大，它的“熵”就越高。但我们评价的时候，更关心的是哪个指标能更有效地“区分”这些评价对象，也就是变化幅度大、信息量大的指标更有价值。
所以，我们就要引入一个“信息效用值” $d_j$。这个值就是用 1 减去这个指标的熵值 来表示：
$d_j = 1 H_j$
你看，如果一个指标的熵值 $H_j$ 很低（说明数据很集中，信息量少），那么它的信息效用值 $d_j$ 就会很高（说明它能提供的区分信息多，更有用）。反之，如果熵值很高（数据分散，信息量大），那它的信息效用值 $d_j$ 就会比较低。
这就像是在说：数据越有“规律性”，越能预测的，反而越没啥用了；数据越是难以预测、越是“随机”的，反而越能提供新的信息。
第四步：计算每个指标的“权重”
有了每个指标的信息效用值 $d_j$，我们就可以根据这个值来确定每个指标在最终评价中所占的“权重”了。权重怎么算呢？很简单，就是用每个指标的信息效用值占所有指标信息效用值总和的比例：
$w_j = frac{d_j}{sum_{j=1}^{m} d_j}$
其中：
$w_j$ 就是第 $j$ 个指标的权重。
$m$ 是指标的总数量。
这样算出来的 $w_j$，自然就满足 所有指标的权重加起来等于 1，而且 信息效用值越高的指标，得到的权重就越大，在最终评价中的话语权就越重。
第五步：计算综合评价得分
最后一步，就是用我们算出来的每个指标的权重 $w_j$，去乘以它对应的标准化值 $p_{ij}$，然后把所有指标的结果加起来，得到每个评价对象的综合评价得分：
$S_i = sum_{j=1}^{m} w_j p_{ij}$
这个 $S_i$ 就是第 $i$ 个评价对象的最终得分。得分越高，就说明这个评价对象在综合考虑了所有指标的区分度后，表现越好。
用人话说，熵权法的逻辑就是：
1. 先别管好坏，统一一下“单位”，让大家看起来都一样大。
2. 看看每个指标里的数据，有没有什么明显的“规律”。 如果一个指标里的数据都差不多，那它可能就没啥意思，大家都是“同一类人”。如果数据变化很大，那它就很有意思，能把人“区分”开来。
3. 把那些能把人“区分”开来的指标，赋予更高的“话语权”（权重）。 那些变化不大的、大家都很相似的指标，就给点小小的面子就行。
4. 最后，用这些带有不同“话语权”的指标，来计算每个评价对象到底有多优秀。
熵权法的优点是什么？
客观性强： 它的权重计算完全依赖于原始数据本身的变化程度，不掺杂主观的人为判断。这是它最大的优点。你可以把数据交给它，它就能告诉你哪些指标更有区分度，而不需要你去猜。
自动化程度高： 一旦数据准备好了，计算过程是自动化的。
适用于多指标评价： 在评价一些复杂的现象时，比如城市发展、产品性能、投资项目等，当有多个评价指标时，熵权法就能发挥作用。
熵权法也有它的局限性：
对数据敏感： 如果原始数据本身存在较大的误差或者非常不规范，可能会影响计算结果的准确性。所以前面数据标准化很重要。
不考虑指标间的相关性： 如果几个指标之间非常相关，可能它们都能反映同一类信息，但熵权法可能会给它们都赋予较高的权重，造成信息的“重复计算”。这时候可能需要配合其他方法来处理。
需要有一定的数据量： 才能计算出有意义的“离散度”和“熵值”。如果评价对象数量很少，或者每个指标的数据变化都很小，那么计算出来的权重可能就没有太大的实际意义。
总而言之，熵权法是一种很实用、很客观的赋权方法，尤其是在你不太确定哪些指标更重要，或者想让评价过程更“公正”的时候，它是一个非常好的选择。它就像是一个“数据侦探”，通过分析数据的“变化痕迹”，来找出那些最有价值的“线索”，并根据这些线索来给它们分配“功劳”。
希望我这么解释，能让你对熵权法有个更清晰、更生动的认识，感觉就像是在跟一个朋友聊天一样，而不是在看一本枯燥的技术手册。
你是不是有时候会遇到这种情况：手里有一堆数据，想做个评价，比如给不同的城市打分，看哪个城市生活更便利，哪个城市发展更有潜力。但问题来了，这些数据五花八门的，有的是人均收入，有的是绿化覆盖率，有的是犯罪率，还有的是教育资源占比。直接拿来比，有点像拿苹果和橘子比哪个甜，对不上号。而且，有些数据本身就有点“话痨”，说了好多信息，有些数据呢，可能就有点“沉默寡言”，提供不了太多有价值的东西。这时候，我们就需要一种方法来帮我们判断，哪些数据更重要，更有区分度，能真正帮助我们做出有意义的评价。
熵权法，顾名思义，就是利用“熵”这个概念，来给咱们的评价指标“称重”的一种方法。
咱们先来说说“熵”是啥。你别被这个词吓着，它其实是个挺直观的概念，最早是从热力学那儿过来的，描述的是一个系统的“混乱程度”或者“不确定性”。一个越混乱、越没规律的系统，它的熵就越高。
到了信息论里，香农大爷把这个概念借过来了，用来衡量一个信息源的“不确定性”或者“信息量”。一个信息源产生的信息越随机、越难以预测，它的信息熵就越高。简单来说，一个指标的“熵”值越小，说明这个指标的数据越集中，变化越小，它所包含的信息量就越少，对我们做判断的“贡献度”也就越低。反过来，一个指标的“熵”值越大，说明这个指标的数据越分散，变化越剧烈，它所包含的信息量就越多，在评价中就越重要。
这就好比你在听收音机，如果一直在播一段单调的音乐，你就很难从中获取新的信息，感觉很无聊，这时候“信息熵”就很低。但如果广播里一会儿是新闻，一会儿是笑话，一会儿是音乐，信息变化很多，你就觉得内容很丰富，获取的信息量很大，这时候“信息熵”就高。
那么，熵权法是怎么把这个“熵”用到评价指标上的呢？
整个过程大概可以分成这么几步：
第一步：数据标准化，让大家“站到同一起跑线”
前面说了，咱们的数据单位、量纲都不一样，直接比没意义。所以，第一步得先把数据标准化。常用的方法有两种：
正向指标标准化： 比如人均收入，收入越高越好。这时候，用某个指标的实际值除以该指标所有值的总和，或者除以所有值的最大值，让数据变成比例，值越大说明贡献越大。
负向指标标准化： 比如犯罪率，犯罪率越低越好。这时候，我们需要把负向指标“转化”成正向的，比如用最大值减去该指标的实际值，再进行类似正向指标的标准化处理。这样，处理后的值越大，表示“越好”。
这步操作的目的，就是把各种单位、量纲不同的数据，都变成一个没有单位、数值在0到1之间的比例数，方便后面计算。
第二步：计算每个指标的“离散度”
标准化之后，我们就要看每个指标的数据到底有多“分散”。这里面会用到一个叫做“信息熵”的公式，它长这样：
$H_j = sum_{i=1}^{n} p_{ij} log(p_{ij})$
其中：
$H_j$ 就是第 $j$ 个指标的信息熵。
$n$ 是评价对象的数量（比如你评价的城市数量）。
$p_{ij}$ 是第 $i$ 个评价对象在第 $j$ 个指标上的标准化数值。
这个公式看起来有点复杂，但咱们理解一下就行。这个求和的过程，就是把每个评价对象在某个指标上的标准化值（前面处理好的比例数）拿出来，然后用这个值除以所有评价对象在该指标上的总和，得到一个“占比” $p_{ij}$。然后再用这个占比去算个“对数”，再求和然后取负数。
核心在于 $p_{ij}$ 的计算。 简单来说，$p_{ij}$ 就像是第 $i$ 个城市在“教育资源”这个指标上的“相对贡献度”。如果一个城市在某个指标上的数值特别高，而其他城市都比较低，那这个城市的 $p_{ij}$ 就会比较大。反之，如果大家在这个指标上的数值都差不多，那么每个城市的 $p_{ij}$ 就会比较小。
第三步：计算每个指标的“信息效用值”
咱们知道，一个指标的信息量越大，它的“熵”就越高。但我们评价的时候，更关心的是哪个指标能更有效地“区分”这些评价对象，也就是变化幅度大、信息量大的指标更有价值。
所以，我们就要引入一个“信息效用值” $d_j$。这个值就是用 1 减去这个指标的熵值 来表示：
$d_j = 1 H_j$
你看，如果一个指标的熵值 $H_j$ 很低（说明数据很集中，信息量少），那么它的信息效用值 $d_j$ 就会很高（说明它能提供的区分信息多，更有用）。反之，如果熵值很高（数据分散，信息量大），那它的信息效用值 $d_j$ 就会比较低。
这就像是在说：数据越有“规律性”，越能预测的，反而越没啥用了；数据越是难以预测、越是“随机”的，反而越能提供新的信息。
第四步：计算每个指标的“权重”
有了每个指标的信息效用值 $d_j$，我们就可以根据这个值来确定每个指标在最终评价中所占的“权重”了。权重怎么算呢？很简单，就是用每个指标的信息效用值占所有指标信息效用值总和的比例：
$w_j = frac{d_j}{sum_{j=1}^{m} d_j}$
其中：
$w_j$ 就是第 $j$ 个指标的权重。
$m$ 是指标的总数量。
这样算出来的 $w_j$，自然就满足 所有指标的权重加起来等于 1，而且 信息效用值越高的指标，得到的权重就越大，在最终评价中的话语权就越重。
第五步：计算综合评价得分
最后一步，就是用我们算出来的每个指标的权重 $w_j$，去乘以它对应的标准化值 $p_{ij}$，然后把所有指标的结果加起来，得到每个评价对象的综合评价得分：
$S_i = sum_{j=1}^{m} w_j p_{ij}$
这个 $S_i$ 就是第 $i$ 个评价对象的最终得分。得分越高，就说明这个评价对象在综合考虑了所有指标的区分度后，表现越好。
用人话说，熵权法的逻辑就是：
1. 先别管好坏，统一一下“单位”，让大家看起来都一样大。
2. 看看每个指标里的数据，有没有什么明显的“规律”。 如果一个指标里的数据都差不多，那它可能就没啥意思，大家都是“同一类人”。如果数据变化很大，那它就很有意思，能把人“区分”开来。
3. 把那些能把人“区分”开来的指标，赋予更高的“话语权”（权重）。 那些变化不大的、大家都很相似的指标，就给点小小的面子就行。
4. 最后，用这些带有不同“话语权”的指标，来计算每个评价对象到底有多优秀。
熵权法的优点是什么？
客观性强： 它的权重计算完全依赖于原始数据本身的变化程度，不掺杂主观的人为判断。这是它最大的优点。你可以把数据交给它，它就能告诉你哪些指标更有区分度，而不需要你去猜。
自动化程度高： 一旦数据准备好了，计算过程是自动化的。
适用于多指标评价： 在评价一些复杂的现象时，比如城市发展、产品性能、投资项目等，当有多个评价指标时，熵权法就能发挥作用。
熵权法也有它的局限性：
对数据敏感： 如果原始数据本身存在较大的误差或者非常不规范，可能会影响计算结果的准确性。所以前面数据标准化很重要。
不考虑指标间的相关性： 如果几个指标之间非常相关，可能它们都能反映同一类信息，但熵权法可能会给它们都赋予较高的权重，造成信息的“重复计算”。这时候可能需要配合其他方法来处理。
需要有一定的数据量： 才能计算出有意义的“离散度”和“熵值”。如果评价对象数量很少，或者每个指标的数据变化都很小，那么计算出来的权重可能就没有太大的实际意义。
总而言之，熵权法是一种很实用、很客观的赋权方法，尤其是在你不太确定哪些指标更重要，或者想让评价过程更“公正”的时候，它是一个非常好的选择。它就像是一个“数据侦探”，通过分析数据的“变化痕迹”，来找出那些最有价值的“线索”，并根据这些线索来给它们分配“功劳”。
希望我这么解释，能让你对熵权法有个更清晰、更生动的认识，感觉就像是在跟一个朋友聊天一样，而不是在看一本枯燥的技术手册。
网友意见
按照信息论基本原理的解释，信息是系统有序程度的一个度量，熵是系统无序程度的一个度量；根据信息熵的定义，对于某项指标，可以用熵值来判断某个指标的离散程度，其信息熵值越小，指标的离散程度越大， 该指标对综合评价的影响（即权重）就越大，如果某项指标的值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。因此，可利用信息熵这个工具，计算出各个指标的权重，为多指标综合评价提供依据。
熵权法注意事项。
上面链接中有流程图如下：
上图标注的地方请留意。
也就是求权重之前，需要先规范化。
规范化一定要先注意指标的属性。即正向指标还是负向指标。
※熵权法（the entropy weight method 简称EWM）是脱胎于信息论基本原理的解释，信息是系统有序程度的一个度量，熵是系统无序程度的一个度量；如果指标的信息熵越小，该指标提供的信息量越大，在综合评价中所起作用理当越大，权重就应该越高。熵权法是常用的一种求权重的方法。它是指一个随机变量与某一组随机变量间线性相依性的度量。
熵权法的计算公式
上面有一个简单的例子。
上面是原始数据
上面是归一化的矩阵。上面这步很重要
上面是熵权法对规范化矩阵计算后得到的权重。
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