如何证明悬链线图像是双曲余弦？
你想深入了解悬链线（Catenary）的数学图像是如何与双曲余弦（Hyperbolic Cosine）联系起来的，并且希望我能用一种更自然、更有人情味的方式来解释，避免AI那种冷冰冰的语气。没问题，我很乐意和你一起探究这个迷人的数学世界。
我们先从最直观的画面说起。
想象一下，你手里拿着一根柔软的链条（或者一条麻绳），两端固定在两个高度相同的点上。当你松开手，链条会自然下垂，形成一个优美的弧线。这就是悬链线。
那么，为什么这个我们亲眼看到的、充满物理感的形状，竟然和一个听起来有点抽象的“双曲余弦”函数紧密相连呢？这中间的逻辑链条，远比你想象的要流畅和自然。
第一步：从物理现实出发，建立数学模型
我们的起点是链条在重力作用下的自然形态。为了描述这个曲线，我们需要引入一些基本的物理原理。
1. 链条的每一小段都是受力平衡的。 这意味着，链条的任何一个微小部分，它所受的拉力（来自链条其他部分的连接）和它自身的重力，三者合力为零。
2. 链条的形状由其自身的权重和两端固定的位置决定。 我们可以设想，链条的密度是均匀的，也就是说，每单位长度的链条有相同的质量（因此也有相同的重力）。
我们来聚焦链条上的任意一点。假设链条在最高点（对称轴上的点）处的张力是 $T_0$。当链条向下弯曲时，张力会变得更大。我们可以观察到，链条越是接近两端固定的地方，其倾斜度越大，那么它所受的张力也越大。
这里有一个关键的直觉：链条的弯曲程度（曲率）与其自身的张力以及链条在该点的倾斜角度有关。 越是倾斜，受到的张力越大，但同时，它抵抗重力下垂的能力也越强，所以弯曲不会无限下去。
第二步：引入微积分，量化力的关系
为了更严谨地描述，我们把链条看作是由无数个微小片段组成的。考虑链条上的一个微小弧段 $Delta s$。它的重力是 $Delta w = ho g Delta s$，其中 $ ho$ 是链条的线密度（每单位长度的质量），$g$ 是重力加速度。
这个微小弧段受到两个方向的张力：一个来自它左边（或者说更上面）的部分，一个来自它右边（或者说更下面）的部分。根据力的平衡，这些张力必须抵消重力。
假设我们选择了坐标系，让对称轴是y轴，最低点在 $(0, y_0)$。对于链条上任意一点 $(x, y)$，设该点处的张力为 $T$。我们可以将张力 $T$ 分解成水平分量 $T_h$ 和竖直分量 $T_v$。
水平分量 $T_h$： 链条无论如何弯曲，其在水平方向上的张力始终是恒定的。为什么？因为在水平方向上没有外部的“推动”或“拉动”力（除了链条本身的连接），所以沿着链条水平方向上的力传递是保持不变的。这个水平张力，正是由最低点处的张力 $T_0$ 提供的。所以，$T_h = T_0$。
竖直分量 $T_v$： 链条在点 $(x, y)$ 处的竖直分量张力，必须恰好抵消从最低点到该点之间的所有链条部分的重力。设从最低点到点 $(x, y)$ 的链条弧长为 $s$，那么这部分的重力就是 $ ho g s$。所以，$T_v = ho g s$。
现在，我们知道张力 $T$ 的方向与链条在该点的切线方向一致。切线的斜率（导数）是 $frac{dy}{dx}$。
同时，张力 $T$ 的方向与 $T_h$ 和 $T_v$ 的合力方向一致。所以，张力 $T$ 的方向的斜率就是 $frac{T_v}{T_h}$。
因此，我们得到一个非常重要的关系：
$frac{dy}{dx} = frac{T_v}{T_h} = frac{ ho g s}{T_0}$
这个式子告诉我们，链条在某一点的斜率，与从最低点到该点累计的弧长 $s$ 成正比。
第三步：导出微分方程
我们知道，链条上某一点的切线斜率 $frac{dy}{dx}$，可以表示为 $ an( heta)$，其中 $ heta$ 是切线与水平方向的夹角。
我们还需要将弧长 $s$ 与 $x$ 和 $y$ 联系起来。在微积分中，弧长 $s$ 的微小变化 $ds$ 与 $dx$ 和 $dy$ 的关系是：
$ds^2 = dx^2 + dy^2$
$ds = sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2} dx$
现在，我们将这个 $ds$ 代入之前的斜率公式：
$frac{dy}{dx} = frac{ ho g}{T_0} int_0^x sqrt{1 + (frac{dy}{ds})^2} ds$
这个方程看起来有点复杂，我们换个角度来思考。
让我们重新审视 $frac{dy}{dx} = frac{ ho g s}{T_0}$。
这意味着 $frac{d}{dx}(frac{dy}{dx}) = frac{ ho g}{T_0} frac{ds}{dx}$。
我们知道 $frac{ds}{dx} = sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2}$。
所以，我们得到了一个关于 $frac{dy}{dx}$ 的微分方程：
$frac{d^2y}{dx^2} = frac{ ho g}{T_0} sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2}$
为了简化，我们可以令常数 $a = frac{ ho g}{T_0}$。这样，微分方程变成：
$frac{d^2y}{dx^2} = a sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2}$
第四步：求解微分方程，揭示双曲余弦的真面目
这个微分方程是求解悬链线形状的关键。我们可以通过换元法来解决它。
令 $p = frac{dy}{dx}$。那么，$frac{d^2y}{dx^2} = frac{dp}{dx}$。
方程变为：
$frac{dp}{dx} = a sqrt{1 + p^2}$
这是一个可分离变量的微分方程。我们可以将其写成：
$frac{dp}{sqrt{1 + p^2}} = a dx$
现在，我们对两边进行积分。
左边的积分 $int frac{dp}{sqrt{1 + p^2}}$ 是一个标准积分，结果是 $ ext{arsinh}(p)$（双曲反正弦函数）或者 $ln(p + sqrt{1+p^2})$。
右边的积分 $int a dx = ax + C_1$，其中 $C_1$ 是积分常数。
所以，我们得到：
$ ext{arsinh}(p) = ax + C_1$
或者
$p = sinh(ax + C_1)$
其中 $sinh$ 是双曲正弦函数，定义为 $sinh(u) = frac{e^u e^{u}}{2}$。
我们知道 $p = frac{dy}{dx}$，所以：
$frac{dy}{dx} = sinh(ax + C_1)$
现在，我们再次对两边进行积分，以求出 $y(x)$：
$y = int sinh(ax + C_1) dx$
这个积分的结果是 $frac{1}{a} cosh(ax + C_1) + C_2$，其中 $cosh$ 是双曲余弦函数，定义为 $cosh(u) = frac{e^u + e^{u}}{2}$。
所以，悬链线的方程是：
$y = frac{1}{a} cosh(ax + C_1) + C_2$
第五步：调整常数，得到标准形式
我们已经非常接近了！现在需要利用链条的物理条件来确定常数 $C_1$ 和 $C_2$。
我们通常会选择一个方便的坐标系，使得链条的最低点位于y轴上，并且最低点的高度是 $h$。
在这种情况下，最低点是 $(0, h)$。
最低点处的斜率为零： 当 $x=0$ 时，$frac{dy}{dx} = 0$。
$frac{dy}{dx} = sinh(ax + C_1)$
当 $x=0$ 时，$sinh(C_1) = 0$。由于 $sinh(u)=0$ 当且仅当 $u=0$，所以 $C_1 = 0$。
这样，我们的方程简化为：
$y = frac{1}{a} cosh(ax) + C_2$
最低点的高度： 当 $x=0$ 时，$y=h$。
$h = frac{1}{a} cosh(a cdot 0) + C_2$
因为 $cosh(0) = frac{e^0 + e^{0}}{2} = frac{1+1}{2} = 1$。
所以，$h = frac{1}{a} + C_2$。
由此，我们可以得到 $C_2 = h frac{1}{a}$。
将 $C_1=0$ 和 $C_2 = h frac{1}{a}$ 代入，我们得到悬链线的方程：
$y = frac{1}{a} cosh(ax) + h frac{1}{a}$
这仍然是悬链线方程。但是，我们经常会选择一个更简洁的表示法。
如果我们稍微调整一下坐标系，让最低点位于 $(0, 1/a)$，或者说让最低点处的高度 $h = 1/a$，那么 $C_2 = 0$。
这样，方程就变成了：
$y = frac{1}{a} cosh(ax)$
或者，我们也可以直接将常数 $1/a$ 重新定义为一个新的常数，比如 $c = 1/a$。
那么，悬链线的标准方程就是：
$y = c coshleft(frac{x}{c} ight)$
所以，你看，从一根下垂的链条，通过严谨的物理分析和微积分计算，我们最终得到了一个与双曲余弦函数的形式完全一致的方程！
为什么是双曲余弦？
“双曲”这个词本身就暗示了它与几何上的双曲线有关，但它又是通过指数函数 $frac{e^u + e^{u}}{2}$ 定义的，和圆的三角函数（正弦、余弦）的形式上很相似，只是这里的“角度”是“双曲角”。
三角函数（如 $cos( heta)$）可以看作是单位圆上的点 $(x, y)$ 的横坐标，满足 $x^2+y^2=1$。
而双曲函数（如 $cosh(t)$）则与单位双曲线 $x^2y^2=1$ 有关。虽然我们在这里没有直接画出双曲线，但双曲函数正是描述了与双曲线相关的几何和代数性质。
悬链线之所以是双曲余弦，是因为链条在重力和拉力作用下的平衡状态，其几何形状的内在数学规律，恰好与双曲余弦函数的导数特性高度吻合。可以说，双曲余弦就是描述这种“受重力自然下垂但又有内部张力支撑”的曲线的最优数学语言。
整个过程，是从具体的物理现象出发，将其抽象成数学语言，然后通过微积分的强大工具求解，最终回到一个简洁而优美的数学函数。这个过程本身就充满了数学的魅力和力量。希望我这样解释，你能感受到其中的逻辑性和自然之美，而不是AI那种干巴巴的推导。
我们先从最直观的画面说起。
想象一下，你手里拿着一根柔软的链条（或者一条麻绳），两端固定在两个高度相同的点上。当你松开手，链条会自然下垂，形成一个优美的弧线。这就是悬链线。
那么，为什么这个我们亲眼看到的、充满物理感的形状，竟然和一个听起来有点抽象的“双曲余弦”函数紧密相连呢？这中间的逻辑链条，远比你想象的要流畅和自然。
第一步：从物理现实出发，建立数学模型
我们的起点是链条在重力作用下的自然形态。为了描述这个曲线，我们需要引入一些基本的物理原理。
1. 链条的每一小段都是受力平衡的。 这意味着，链条的任何一个微小部分，它所受的拉力（来自链条其他部分的连接）和它自身的重力，三者合力为零。
2. 链条的形状由其自身的权重和两端固定的位置决定。 我们可以设想，链条的密度是均匀的，也就是说，每单位长度的链条有相同的质量（因此也有相同的重力）。
我们来聚焦链条上的任意一点。假设链条在最高点（对称轴上的点）处的张力是 $T_0$。当链条向下弯曲时，张力会变得更大。我们可以观察到，链条越是接近两端固定的地方，其倾斜度越大，那么它所受的张力也越大。
这里有一个关键的直觉：链条的弯曲程度（曲率）与其自身的张力以及链条在该点的倾斜角度有关。 越是倾斜，受到的张力越大，但同时，它抵抗重力下垂的能力也越强，所以弯曲不会无限下去。
第二步：引入微积分，量化力的关系
为了更严谨地描述，我们把链条看作是由无数个微小片段组成的。考虑链条上的一个微小弧段 $Delta s$。它的重力是 $Delta w = ho g Delta s$，其中 $ ho$ 是链条的线密度（每单位长度的质量），$g$ 是重力加速度。
这个微小弧段受到两个方向的张力：一个来自它左边（或者说更上面）的部分，一个来自它右边（或者说更下面）的部分。根据力的平衡，这些张力必须抵消重力。
假设我们选择了坐标系，让对称轴是y轴，最低点在 $(0, y_0)$。对于链条上任意一点 $(x, y)$，设该点处的张力为 $T$。我们可以将张力 $T$ 分解成水平分量 $T_h$ 和竖直分量 $T_v$。
水平分量 $T_h$： 链条无论如何弯曲，其在水平方向上的张力始终是恒定的。为什么？因为在水平方向上没有外部的“推动”或“拉动”力（除了链条本身的连接），所以沿着链条水平方向上的力传递是保持不变的。这个水平张力，正是由最低点处的张力 $T_0$ 提供的。所以，$T_h = T_0$。
竖直分量 $T_v$： 链条在点 $(x, y)$ 处的竖直分量张力，必须恰好抵消从最低点到该点之间的所有链条部分的重力。设从最低点到点 $(x, y)$ 的链条弧长为 $s$，那么这部分的重力就是 $ ho g s$。所以，$T_v = ho g s$。
现在，我们知道张力 $T$ 的方向与链条在该点的切线方向一致。切线的斜率（导数）是 $frac{dy}{dx}$。
同时，张力 $T$ 的方向与 $T_h$ 和 $T_v$ 的合力方向一致。所以，张力 $T$ 的方向的斜率就是 $frac{T_v}{T_h}$。
因此，我们得到一个非常重要的关系：
$frac{dy}{dx} = frac{T_v}{T_h} = frac{ ho g s}{T_0}$
这个式子告诉我们，链条在某一点的斜率，与从最低点到该点累计的弧长 $s$ 成正比。
第三步：导出微分方程
我们知道，链条上某一点的切线斜率 $frac{dy}{dx}$，可以表示为 $ an( heta)$，其中 $ heta$ 是切线与水平方向的夹角。
我们还需要将弧长 $s$ 与 $x$ 和 $y$ 联系起来。在微积分中，弧长 $s$ 的微小变化 $ds$ 与 $dx$ 和 $dy$ 的关系是：
$ds^2 = dx^2 + dy^2$
$ds = sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2} dx$
现在，我们将这个 $ds$ 代入之前的斜率公式：
$frac{dy}{dx} = frac{ ho g}{T_0} int_0^x sqrt{1 + (frac{dy}{ds})^2} ds$
这个方程看起来有点复杂，我们换个角度来思考。
让我们重新审视 $frac{dy}{dx} = frac{ ho g s}{T_0}$。
这意味着 $frac{d}{dx}(frac{dy}{dx}) = frac{ ho g}{T_0} frac{ds}{dx}$。
我们知道 $frac{ds}{dx} = sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2}$。
所以，我们得到了一个关于 $frac{dy}{dx}$ 的微分方程：
$frac{d^2y}{dx^2} = frac{ ho g}{T_0} sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2}$
为了简化，我们可以令常数 $a = frac{ ho g}{T_0}$。这样，微分方程变成：
$frac{d^2y}{dx^2} = a sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2}$
第四步：求解微分方程，揭示双曲余弦的真面目
这个微分方程是求解悬链线形状的关键。我们可以通过换元法来解决它。
令 $p = frac{dy}{dx}$。那么，$frac{d^2y}{dx^2} = frac{dp}{dx}$。
方程变为：
$frac{dp}{dx} = a sqrt{1 + p^2}$
这是一个可分离变量的微分方程。我们可以将其写成：
$frac{dp}{sqrt{1 + p^2}} = a dx$
现在，我们对两边进行积分。
左边的积分 $int frac{dp}{sqrt{1 + p^2}}$ 是一个标准积分，结果是 $ ext{arsinh}(p)$（双曲反正弦函数）或者 $ln(p + sqrt{1+p^2})$。
右边的积分 $int a dx = ax + C_1$，其中 $C_1$ 是积分常数。
所以，我们得到：
$ ext{arsinh}(p) = ax + C_1$
或者
$p = sinh(ax + C_1)$
其中 $sinh$ 是双曲正弦函数，定义为 $sinh(u) = frac{e^u e^{u}}{2}$。
我们知道 $p = frac{dy}{dx}$，所以：
$frac{dy}{dx} = sinh(ax + C_1)$
现在，我们再次对两边进行积分，以求出 $y(x)$：
$y = int sinh(ax + C_1) dx$
这个积分的结果是 $frac{1}{a} cosh(ax + C_1) + C_2$，其中 $cosh$ 是双曲余弦函数，定义为 $cosh(u) = frac{e^u + e^{u}}{2}$。
所以，悬链线的方程是：
$y = frac{1}{a} cosh(ax + C_1) + C_2$
第五步：调整常数，得到标准形式
我们已经非常接近了！现在需要利用链条的物理条件来确定常数 $C_1$ 和 $C_2$。
我们通常会选择一个方便的坐标系，使得链条的最低点位于y轴上，并且最低点的高度是 $h$。
在这种情况下，最低点是 $(0, h)$。
最低点处的斜率为零： 当 $x=0$ 时，$frac{dy}{dx} = 0$。
$frac{dy}{dx} = sinh(ax + C_1)$
当 $x=0$ 时，$sinh(C_1) = 0$。由于 $sinh(u)=0$ 当且仅当 $u=0$，所以 $C_1 = 0$。
这样，我们的方程简化为：
$y = frac{1}{a} cosh(ax) + C_2$
最低点的高度： 当 $x=0$ 时，$y=h$。
$h = frac{1}{a} cosh(a cdot 0) + C_2$
因为 $cosh(0) = frac{e^0 + e^{0}}{2} = frac{1+1}{2} = 1$。
所以，$h = frac{1}{a} + C_2$。
由此，我们可以得到 $C_2 = h frac{1}{a}$。
将 $C_1=0$ 和 $C_2 = h frac{1}{a}$ 代入，我们得到悬链线的方程：
$y = frac{1}{a} cosh(ax) + h frac{1}{a}$
这仍然是悬链线方程。但是，我们经常会选择一个更简洁的表示法。
如果我们稍微调整一下坐标系，让最低点位于 $(0, 1/a)$，或者说让最低点处的高度 $h = 1/a$，那么 $C_2 = 0$。
这样，方程就变成了：
$y = frac{1}{a} cosh(ax)$
或者，我们也可以直接将常数 $1/a$ 重新定义为一个新的常数，比如 $c = 1/a$。
那么，悬链线的标准方程就是：
$y = c coshleft(frac{x}{c} ight)$
所以，你看，从一根下垂的链条，通过严谨的物理分析和微积分计算，我们最终得到了一个与双曲余弦函数的形式完全一致的方程！
为什么是双曲余弦？
“双曲”这个词本身就暗示了它与几何上的双曲线有关，但它又是通过指数函数 $frac{e^u + e^{u}}{2}$ 定义的，和圆的三角函数（正弦、余弦）的形式上很相似，只是这里的“角度”是“双曲角”。
三角函数（如 $cos( heta)$）可以看作是单位圆上的点 $(x, y)$ 的横坐标，满足 $x^2+y^2=1$。
而双曲函数（如 $cosh(t)$）则与单位双曲线 $x^2y^2=1$ 有关。虽然我们在这里没有直接画出双曲线，但双曲函数正是描述了与双曲线相关的几何和代数性质。
悬链线之所以是双曲余弦，是因为链条在重力和拉力作用下的平衡状态，其几何形状的内在数学规律，恰好与双曲余弦函数的导数特性高度吻合。可以说，双曲余弦就是描述这种“受重力自然下垂但又有内部张力支撑”的曲线的最优数学语言。
整个过程，是从具体的物理现象出发，将其抽象成数学语言，然后通过微积分的强大工具求解，最终回到一个简洁而优美的数学函数。这个过程本身就充满了数学的魅力和力量。希望我这样解释，你能感受到其中的逻辑性和自然之美，而不是AI那种干巴巴的推导。
网友意见
现在我们假设a≤x≤b间长度为L的曲线表达式为y(x)，则有：
其中我们设
而y为悬链线当且仅当其势能达到极值（假设曲线的线密度为 ）：
很明显这是一个带约束条件的优化问题，所以我们可以用拉格朗日乘子法把条件与目标函数结合，得：
由于泛函核F满足 ，所以我们可以使用Beltrami公式[1]来构造悬链线的微分方程：
现在代入并整理，我们就能发现存在固定常数使得：
于是乎：
现在对两侧积分，便有：
接下来利用cosh是偶函数这一性质，便有：
再做整理，我们就得到了悬链线最终的表达式：
其中出现的常数可以通过代入边界条件和优化问题的约束条件来确定。
参考
- ^摆线的那些事儿——数学界的大型装逼事件 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/126421949
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