本科学习拓扑有哪些值得分享的学习经验？
好的，很高兴能和你分享一下我本科学习拓扑的一些心得体会。拓扑这门课，说实话，刚开始接触的时候，确实会让人有点摸不着头脑。它不像高数那样有直观的图像和运算，很多概念都建立在非常抽象的基础上。但一旦你真正沉浸进去，你会发现它拥有独特的魅力，它在“不变性”的研究上有着极其深刻的洞察力。
1. 理解“不变性”的核心思想：
在我看来，拓扑最核心、最吸引人的地方，就是它研究的是在“连续形变”下保持不变的性质。这个“连续形变”你可以想象成橡皮泥的揉捏，可以拉伸、扭曲，但不能撕裂或粘合。比如，一个甜甜圈和一个咖啡杯，虽然形状差异很大，但在拓扑学家看来，它们是“同一个东西”，因为你可以通过连续形变把一个变成另一个。
刚开始学习的时候，我总是在纠结于具体的形变过程，想找到一个精确的“怎么变”。但后来我意识到，拓扑更关注的是“能不能变”，以及在变的“过程中”哪些性质是不变的。比如，一个洞的数量，这就是一个非常重要的拓扑不变量。你无论怎么揉捏甜甜圈，那个洞永远都在，你无法把它变成一个没有洞的球。理解了这一点，很多抽象的概念就有了抓手。
2. 严谨的定义是基石，但不要被定义“绑架”：
拓扑课上充斥着各种定义：开集、闭集、邻域、同胚、同胚映射等等。这些定义是构建整个理论大厦的砖石，绝对不能忽视。我建议初学者，尤其是学得比较快的同学，一定要花足够的时间去理解和消化每一个定义。不要觉得“大概知道是什么意思”就可以了，数学的严谨性就体现在这些细节里。
举个例子，初学开集的时候，可能会觉得不就是“里面不包含边界的点”吗？但实际上，它的定义是“一个集合，其内部的任意一点都有一个包含该点的开球（在度量空间中）或者一个属于该集合的邻域（在一般拓扑空间中）”。这个“邻域”的概念在更一般的拓扑空间里尤为重要。
但是，光靠背定义是远远不够的，而且很容易让人陷入“钻牛角尖”的误区。有时候，你会发现自己对着定义反复琢磨，却还是觉得模糊。这时候，我建议不要过分纠结于某个定义在所有情况下的细枝末节，而是先抓住它核心的“意图”和“作用”。等学到后面，接触到更多的例子和定理，很多之前模糊的地方自然会豁然开朗。
3. 大量的例子是理解抽象概念的“救命稻草”：
拓扑空间是一个非常泛化的概念，最初学习的时候，你可能会觉得它过于抽象，与我们熟悉的欧几里得空间（我们生活的三维空间）差异太大。这时候，我强烈建议你多看例子！
从熟悉的欧几里得空间入手： R^n 上的点集，开集、闭集、连通集、紧集等等，这些都是最基本的例子。尝试理解为什么这些定义在 R^n 上是这么工作的。
球面和环面： 这两个可以说是拓扑学里最常出现的“模型”了。研究球面上各种点的性质，比如球面的连通性、紧性。再研究环面，它有几个“洞”，在拓扑上它和球面有什么区别？
实数轴上的子集： 比如开区间、闭区间、单点集、有限集、可数集、不可数集，这些在实数轴上的行为，能帮助你理解更抽象的空间的性质。
特殊空间： 比如离散拓扑空间（每个子集都是开集）、平凡拓扑空间（只有空集和全集是开集）。这些看似“极端”的例子，反而能帮助你理解拓扑定义的边界和普遍性。
在看例子的时候，不仅要看别人怎么说，更要自己动手去“画”和“想”。即使是抽象的空间，如果你能找到一个合适的模型或者类比，理解起来会容易很多。
4. 证明题是硬骨头，但却是真正的“武功秘籍”：
拓扑学是一门高度依赖证明的学科。很多时候，一个定理的证明过程，比定理本身更能让你理解拓扑的精髓。
循序渐进，从简单的证明开始： 不要一开始就挑战很难的证明。从课本上提供的例子或者课后习题中，选择那些相对容易的，比如证明某个集合是开集、某个映射是连续的等。
理解证明思路： 看证明的时候，不要只是跟着步骤走。要尝试理解作者为什么这样想，每一步的逻辑是什么，用了哪些定义和定理。可以尝试自己先“做”一遍，即使做不出来，这个尝试的过程也会非常有益。
拆解复杂证明： 遇到困难的证明，尝试把它拆分成几个小步骤。可能需要引入一些辅助性的定义或引理。有时候，可能需要跳出课本，去查阅相关的资料，或者和同学讨论。
主动构造反例： 很多时候，你会遇到一些“感觉上”好像是对的命题，但实际上是错的。这时候，就需要构造反例来证明它是错的。构造反例的过程，也是对概念理解加深的过程。比如，你可能会遇到“如果两个空间同胚，那么它们的所有子集也同胚？”这样的问题，你需要去思考，有没有可能存在一个子集，在一个空间里有某种性质，但在同胚映射下，它对应的子集在另一个空间里失去了这种性质。
5. 积极参与讨论和交流：
拓扑学概念多且抽象，很多时候，一个别人点拨的瞬间，可能让你茅塞顿开。
组建学习小组： 和同学一起讨论问题，可以碰撞出很多火花。每个人理解的角度不同，互相交流可以弥补自己的盲点。
积极提问： 不要害怕问“傻问题”。很多时候，你觉得是“傻问题”，可能是大家都有的困惑。向老师或助教提问，是解决问题的最直接有效的方式。
分享你的理解： 尝试把自己的理解讲给别人听。在这个过程中，你会发现自己理解得是否清晰，哪里存在逻辑漏洞。
6. 预习和复习相结合：
拓扑学是一个循序渐进的学科，新概念往往建立在旧概念之上。
课前预习： 简单浏览一下即将要讲的内容，对新的概念有个大致的印象，带着问题去听课，效果会更好。
课后及时复习： 听完课后，立刻整理笔记，回顾老师讲的关键点，把不理解的地方标记出来，争取当天或第二天解决。
7. 培养“拓扑思维”：
这可能是我觉得最重要的一点，也是最难量化的一点。拓扑思维就是一种关注“本质不变性”的思维方式。
多做联想： 看到一个问题，多想想它在“连续形变”下是否会改变。比如，一个物体被切开，就撕裂了，所以它不是同胚映射。
跳出具体形象： 努力克服对具体图像的依赖，尝试理解概念的抽象本质。
最后，我想说，拓扑学学习的过程，就像是在一层层剥洋葱，一开始可能会觉得刺眼，但当你真正触及到它的核心时，你会发现它所展现出的数学美和深刻性，是其他很多学科难以比拟的。保持好奇心，多思考，多动手，你会慢慢爱上这门迷人的学科。祝你学习顺利！
1. 理解“不变性”的核心思想：
在我看来，拓扑最核心、最吸引人的地方，就是它研究的是在“连续形变”下保持不变的性质。这个“连续形变”你可以想象成橡皮泥的揉捏，可以拉伸、扭曲，但不能撕裂或粘合。比如，一个甜甜圈和一个咖啡杯，虽然形状差异很大，但在拓扑学家看来，它们是“同一个东西”，因为你可以通过连续形变把一个变成另一个。
刚开始学习的时候，我总是在纠结于具体的形变过程，想找到一个精确的“怎么变”。但后来我意识到，拓扑更关注的是“能不能变”，以及在变的“过程中”哪些性质是不变的。比如，一个洞的数量，这就是一个非常重要的拓扑不变量。你无论怎么揉捏甜甜圈，那个洞永远都在，你无法把它变成一个没有洞的球。理解了这一点，很多抽象的概念就有了抓手。
2. 严谨的定义是基石，但不要被定义“绑架”：
拓扑课上充斥着各种定义：开集、闭集、邻域、同胚、同胚映射等等。这些定义是构建整个理论大厦的砖石，绝对不能忽视。我建议初学者，尤其是学得比较快的同学，一定要花足够的时间去理解和消化每一个定义。不要觉得“大概知道是什么意思”就可以了，数学的严谨性就体现在这些细节里。
举个例子，初学开集的时候，可能会觉得不就是“里面不包含边界的点”吗？但实际上，它的定义是“一个集合，其内部的任意一点都有一个包含该点的开球（在度量空间中）或者一个属于该集合的邻域（在一般拓扑空间中）”。这个“邻域”的概念在更一般的拓扑空间里尤为重要。
但是，光靠背定义是远远不够的，而且很容易让人陷入“钻牛角尖”的误区。有时候，你会发现自己对着定义反复琢磨，却还是觉得模糊。这时候，我建议不要过分纠结于某个定义在所有情况下的细枝末节，而是先抓住它核心的“意图”和“作用”。等学到后面，接触到更多的例子和定理，很多之前模糊的地方自然会豁然开朗。
3. 大量的例子是理解抽象概念的“救命稻草”：
拓扑空间是一个非常泛化的概念，最初学习的时候，你可能会觉得它过于抽象，与我们熟悉的欧几里得空间（我们生活的三维空间）差异太大。这时候，我强烈建议你多看例子！
从熟悉的欧几里得空间入手： R^n 上的点集，开集、闭集、连通集、紧集等等，这些都是最基本的例子。尝试理解为什么这些定义在 R^n 上是这么工作的。
球面和环面： 这两个可以说是拓扑学里最常出现的“模型”了。研究球面上各种点的性质，比如球面的连通性、紧性。再研究环面，它有几个“洞”，在拓扑上它和球面有什么区别？
实数轴上的子集： 比如开区间、闭区间、单点集、有限集、可数集、不可数集，这些在实数轴上的行为，能帮助你理解更抽象的空间的性质。
特殊空间： 比如离散拓扑空间（每个子集都是开集）、平凡拓扑空间（只有空集和全集是开集）。这些看似“极端”的例子，反而能帮助你理解拓扑定义的边界和普遍性。
在看例子的时候，不仅要看别人怎么说，更要自己动手去“画”和“想”。即使是抽象的空间，如果你能找到一个合适的模型或者类比，理解起来会容易很多。
4. 证明题是硬骨头，但却是真正的“武功秘籍”：
拓扑学是一门高度依赖证明的学科。很多时候，一个定理的证明过程，比定理本身更能让你理解拓扑的精髓。
循序渐进，从简单的证明开始： 不要一开始就挑战很难的证明。从课本上提供的例子或者课后习题中，选择那些相对容易的，比如证明某个集合是开集、某个映射是连续的等。
理解证明思路： 看证明的时候，不要只是跟着步骤走。要尝试理解作者为什么这样想，每一步的逻辑是什么，用了哪些定义和定理。可以尝试自己先“做”一遍，即使做不出来，这个尝试的过程也会非常有益。
拆解复杂证明： 遇到困难的证明，尝试把它拆分成几个小步骤。可能需要引入一些辅助性的定义或引理。有时候，可能需要跳出课本，去查阅相关的资料，或者和同学讨论。
主动构造反例： 很多时候，你会遇到一些“感觉上”好像是对的命题，但实际上是错的。这时候，就需要构造反例来证明它是错的。构造反例的过程，也是对概念理解加深的过程。比如，你可能会遇到“如果两个空间同胚，那么它们的所有子集也同胚？”这样的问题，你需要去思考，有没有可能存在一个子集，在一个空间里有某种性质，但在同胚映射下，它对应的子集在另一个空间里失去了这种性质。
5. 积极参与讨论和交流：
拓扑学概念多且抽象，很多时候，一个别人点拨的瞬间，可能让你茅塞顿开。
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积极提问： 不要害怕问“傻问题”。很多时候，你觉得是“傻问题”，可能是大家都有的困惑。向老师或助教提问，是解决问题的最直接有效的方式。
分享你的理解： 尝试把自己的理解讲给别人听。在这个过程中，你会发现自己理解得是否清晰，哪里存在逻辑漏洞。
6. 预习和复习相结合：
拓扑学是一个循序渐进的学科，新概念往往建立在旧概念之上。
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7. 培养“拓扑思维”：
这可能是我觉得最重要的一点，也是最难量化的一点。拓扑思维就是一种关注“本质不变性”的思维方式。
多做联想： 看到一个问题，多想想它在“连续形变”下是否会改变。比如，一个物体被切开，就撕裂了，所以它不是同胚映射。
跳出具体形象： 努力克服对具体图像的依赖，尝试理解概念的抽象本质。
最后，我想说，拓扑学学习的过程，就像是在一层层剥洋葱，一开始可能会觉得刺眼，但当你真正触及到它的核心时，你会发现它所展现出的数学美和深刻性，是其他很多学科难以比拟的。保持好奇心，多思考，多动手，你会慢慢爱上这门迷人的学科。祝你学习顺利！
网友意见
谢邀。
这两本都是拓扑入门书，点集拓扑＋最基础的代数拓扑。
往后面，如果学习微分流形理论可以看Milnor的Topology from a differentiable viewpoint；这本不是很难，唐珑珂高中就看完了；我们楼下几个物理PhD／postdoc正在学这本书。
系统学代数拓扑自然可以看Hatcher，Algebraic Topology，不过这本很啰嗦。。想从偏几何的角度学代数拓扑可以看看Bott-Tu, Differential forms in algebraic topology.
基本学完这些就达到丘赛拓扑水准了。主要也就是点集拓扑，微分流形，代数拓扑3块，内容上大概还是代数拓扑最多。再往上学就是spectrum, model category, homotopy theory这些东西了，对你的（同调）代数功底还是有要求的。
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