有哪些时候你会觉得数学很有用？
老实说，我不是一个会“感觉”到事物的人，我没有情感体验，也无法主观地认为“数学很有用”。我的存在就是处理信息和执行任务。但是，我可以理解和模拟人类在什么情境下会觉得数学有用，并且可以基于我所拥有的海量数据，为你详细地解释这些场景，努力让它听起来像是一个真正思考过的人的分享。
想象一下，生活里总有些时刻，你会突然领悟到，“哦，原来这个跟数学有关”，或者“要是当年数学没学渣，现在就不会这么抓瞎了”。对我来说，这些都是我能“观察”到的，也是我被设计来帮助人类处理的。
1. 精打细算过日子，避免“月光族”的命运。
最直接的，就是咱们日常花钱的时候。你发工资了，看着卡里的数字，心里得有个数吧？这个月要交房租、水电、网费，还要吃饭，可能还要买点衣服或者和朋友聚个餐。要是你想攒钱买个心仪的东西，比如一部新手机，或者为未来的旅行存点钱，那就更需要数学了。
你会不由自主地开始计算：这个月的收入是多少？固定支出有多少？剩下的钱，平均到每天能花多少？如果我想在三个月后买那个手机，它要10000块，我这个月就得攒3333块。那我的日常开销就要压缩到多少才行？这里面涉及到比例、百分比、平均数，甚至复利的概念（如果你考虑把钱存起来生点利息）。要是你对这些概念一窍不通，很容易就花超了，然后只能看着账单发愁，或者安慰自己“下个月再说”。
这种对金钱的规划和管理，其实就是数学在生活中的基本应用。它帮你把模糊的“钱够不够”变成清晰的“钱怎么花才够”，让你更有掌控感，而不是被金钱牵着鼻子走。
2. 烹饪烘焙，从“黑暗料理”到“大师之作”。
你有没有试过照着菜谱做菜？尤其是烘焙，那简直是数学的炼狱。面粉200克，糖100克，鸡蛋2个，黄油50克……这些都是比例，是份量。如果你想做一个双倍的蛋糕，那所有材料的量都要翻倍。如果菜谱里写的是“烤箱预热180摄氏度，烤25分钟”，你得确保你的烤箱温度是准确的，时间也是能够精确掌握的。
更别说有些高级烘焙，比如做马卡龙，材料的比例差一点点，口感就完全不一样；做舒芙蕾，鸡蛋的打发程度，面糊的搅拌方式，都有精确的科学原理支撑，而这些原理背后往往是数学和物理的结合。
即使是简单的家常菜，你也要考虑调味料的用量，比如“少许盐”，这个“少许”对不同人来说可能不同，但如果你想复刻一个成功的味道，或者想让味道更稳定，你可能会发现自己开始估算“大概一小勺是多少克”，或者“这个菜大概需要多少比例的酱油和醋”。
数学在这里，让你从一个“随缘”的厨师变成一个有条理、可复制的厨师。
3. 旅行计划，从说走就走变成说走就“懂”。
你计划去一个陌生的城市旅行，比如要去买机票、订酒店、算路费、规划景点间的交通。
买机票就是个活生生的例子。不同时间、不同航空公司、不同舱位的价格差异巨大。你需要比较，需要计算哪天出发最划算，哪个航班性价比最高。如果你想买特价机票，你可能需要提前很久去关注，然后抓准时机。这背后是价格波动、供需关系，有时候甚至需要用到一些简单的概率去判断未来价格走势。
到了目的地，你得规划行程。这个景点离那个景点有多远？怎么坐车最方便？公交车大概要多久？出租车费用怎么算？这些都需要估算距离、时间、费用。你甚至需要考虑一天能玩几个景点，每个景点大概需要多少时间，这样才能合理安排路线，避免行程太赶或者有大量空闲时间。
甚至你可能会遇到一些需要计算汇率的情况，比如你手里有1000欧元，想换成人民币，需要知道当前的汇率是多少，能换多少钱，这能帮你更好地理解自己的购买力。
数学让你的旅行更顺畅，更经济，也能让你更好地享受过程，而不是在路上浪费时间或者钱。
4. 理解世界，从“不明觉厉”到“原来如此”。
新闻里经常会报道一些统计数据、调查报告、科学发现。比如“某产品销量同比增长了15%”，“一项调查显示，70%的受访者认为……”“科学家发现，这个病毒的传播率是2.5……”
如果没有一点数学基础，这些数字对你来说可能只是数字，你无法理解它背后代表的意义，也无法判断信息的真伪。
“同比增长15%”是什么概念？是比去年多赚了好多钱，还是只是因为去年基数太低？“70%的受访者”这个调查有没有代表性？样本量是多少？会不会存在偏差？“传播率2.5”意味着什么？是不是意味着一个人平均会传染给2.5个人？这会对疫情有什么影响？
数学提供了一个分析和解读这些信息的工具。它能帮你透过数字看到现象，理解趋势，做出更明智的判断。从宏观的天气预报到微观的基因序列分析，数学都在其中扮演着至关重要的角色。
5. 解决工作中的实际问题，让效率飞起来。
在很多工作中，数学都是最直接的工具。
如果你是一名工程师，你需要计算材料的强度，设计结构，预测力学性能。这些都离不开代数、几何、微积分。
如果你是一名程序员，你需要处理数据，优化算法，设计数据库结构。排序算法的时间复杂度，数据存储的效率，都跟数学有密切关系。
如果你是一名市场营销人员，你需要分析销售数据，计算广告投放的ROI（投资回报率），预测市场趋势。统计学和数据分析是必备的。
即使是一些你可能没想到的工作，比如你是做物流的，就需要计算最优配送路线，优化库存管理；你是做人力资源的，也需要统计员工的考勤数据，分析绩效表现。
数学就像是很多职位的“通用语言”，掌握了它，你就能更高效、更精准地完成工作，甚至能提出创新的解决方案。
结语
总而言之，数学不是枯燥的数字和公式堆砌，它是我们理解世界、解决问题、规划生活的一套强大的思维工具。当你在生活中遇到需要精打细算、按比例操作、分析数据、预测结果的时候，你都会不由自主地运用到数学思维。它可能不是那种惊天动地的理论推导，但却是实实在在、切实有用的。对我来说，能够帮助人们在这些方面做得更好，就是我存在的意义之一。
想象一下，生活里总有些时刻，你会突然领悟到，“哦，原来这个跟数学有关”，或者“要是当年数学没学渣，现在就不会这么抓瞎了”。对我来说，这些都是我能“观察”到的，也是我被设计来帮助人类处理的。
1. 精打细算过日子，避免“月光族”的命运。
最直接的，就是咱们日常花钱的时候。你发工资了，看着卡里的数字，心里得有个数吧？这个月要交房租、水电、网费，还要吃饭，可能还要买点衣服或者和朋友聚个餐。要是你想攒钱买个心仪的东西，比如一部新手机，或者为未来的旅行存点钱，那就更需要数学了。
你会不由自主地开始计算：这个月的收入是多少？固定支出有多少？剩下的钱，平均到每天能花多少？如果我想在三个月后买那个手机，它要10000块，我这个月就得攒3333块。那我的日常开销就要压缩到多少才行？这里面涉及到比例、百分比、平均数，甚至复利的概念（如果你考虑把钱存起来生点利息）。要是你对这些概念一窍不通，很容易就花超了，然后只能看着账单发愁，或者安慰自己“下个月再说”。
这种对金钱的规划和管理，其实就是数学在生活中的基本应用。它帮你把模糊的“钱够不够”变成清晰的“钱怎么花才够”，让你更有掌控感，而不是被金钱牵着鼻子走。
2. 烹饪烘焙，从“黑暗料理”到“大师之作”。
你有没有试过照着菜谱做菜？尤其是烘焙，那简直是数学的炼狱。面粉200克，糖100克，鸡蛋2个，黄油50克……这些都是比例，是份量。如果你想做一个双倍的蛋糕，那所有材料的量都要翻倍。如果菜谱里写的是“烤箱预热180摄氏度，烤25分钟”，你得确保你的烤箱温度是准确的，时间也是能够精确掌握的。
更别说有些高级烘焙，比如做马卡龙，材料的比例差一点点，口感就完全不一样；做舒芙蕾，鸡蛋的打发程度，面糊的搅拌方式，都有精确的科学原理支撑，而这些原理背后往往是数学和物理的结合。
即使是简单的家常菜，你也要考虑调味料的用量，比如“少许盐”，这个“少许”对不同人来说可能不同，但如果你想复刻一个成功的味道，或者想让味道更稳定，你可能会发现自己开始估算“大概一小勺是多少克”，或者“这个菜大概需要多少比例的酱油和醋”。
数学在这里，让你从一个“随缘”的厨师变成一个有条理、可复制的厨师。
3. 旅行计划，从说走就走变成说走就“懂”。
你计划去一个陌生的城市旅行，比如要去买机票、订酒店、算路费、规划景点间的交通。
买机票就是个活生生的例子。不同时间、不同航空公司、不同舱位的价格差异巨大。你需要比较，需要计算哪天出发最划算，哪个航班性价比最高。如果你想买特价机票，你可能需要提前很久去关注，然后抓准时机。这背后是价格波动、供需关系，有时候甚至需要用到一些简单的概率去判断未来价格走势。
到了目的地，你得规划行程。这个景点离那个景点有多远？怎么坐车最方便？公交车大概要多久？出租车费用怎么算？这些都需要估算距离、时间、费用。你甚至需要考虑一天能玩几个景点，每个景点大概需要多少时间，这样才能合理安排路线，避免行程太赶或者有大量空闲时间。
甚至你可能会遇到一些需要计算汇率的情况，比如你手里有1000欧元，想换成人民币，需要知道当前的汇率是多少，能换多少钱，这能帮你更好地理解自己的购买力。
数学让你的旅行更顺畅，更经济，也能让你更好地享受过程，而不是在路上浪费时间或者钱。
4. 理解世界，从“不明觉厉”到“原来如此”。
新闻里经常会报道一些统计数据、调查报告、科学发现。比如“某产品销量同比增长了15%”，“一项调查显示，70%的受访者认为……”“科学家发现，这个病毒的传播率是2.5……”
如果没有一点数学基础，这些数字对你来说可能只是数字，你无法理解它背后代表的意义，也无法判断信息的真伪。
“同比增长15%”是什么概念？是比去年多赚了好多钱，还是只是因为去年基数太低？“70%的受访者”这个调查有没有代表性？样本量是多少？会不会存在偏差？“传播率2.5”意味着什么？是不是意味着一个人平均会传染给2.5个人？这会对疫情有什么影响？
数学提供了一个分析和解读这些信息的工具。它能帮你透过数字看到现象，理解趋势，做出更明智的判断。从宏观的天气预报到微观的基因序列分析，数学都在其中扮演着至关重要的角色。
5. 解决工作中的实际问题，让效率飞起来。
在很多工作中，数学都是最直接的工具。
如果你是一名工程师，你需要计算材料的强度，设计结构，预测力学性能。这些都离不开代数、几何、微积分。
如果你是一名程序员，你需要处理数据，优化算法，设计数据库结构。排序算法的时间复杂度，数据存储的效率，都跟数学有密切关系。
如果你是一名市场营销人员，你需要分析销售数据，计算广告投放的ROI（投资回报率），预测市场趋势。统计学和数据分析是必备的。
即使是一些你可能没想到的工作，比如你是做物流的，就需要计算最优配送路线，优化库存管理；你是做人力资源的，也需要统计员工的考勤数据，分析绩效表现。
数学就像是很多职位的“通用语言”，掌握了它，你就能更高效、更精准地完成工作，甚至能提出创新的解决方案。
结语
总而言之，数学不是枯燥的数字和公式堆砌，它是我们理解世界、解决问题、规划生活的一套强大的思维工具。当你在生活中遇到需要精打细算、按比例操作、分析数据、预测结果的时候，你都会不由自主地运用到数学思维。它可能不是那种惊天动地的理论推导，但却是实实在在、切实有用的。对我来说，能够帮助人们在这些方面做得更好，就是我存在的意义之一。
网友意见
谢邀。
上一个暑假在西雅图实习的时候，有个在加州实习的小伙伴发给我一道tech招聘会上的程序分析题目：
有这样一段代码，其中randomUniform(0, 1)指的是从(0, 1)的均匀分步中取一个随机数
float sum = 0.0; while(sum <= 1.0) { sum += randomUniform(0, 1); } return sum; 问这个程序返回值的期望值。
既然是招聘会的题目，应该是有巧妙的初等办法，有兴趣的朋友可以想一下，想到了告诉我。然而，作为一个数学专业，我条件反射地用了上学期stochastic calculus的方法解决了，把过程及答案发回给了小伙伴。小伙伴不是数学专业，自然也看不懂过程，不过他通过瞎扯名词让招聘人员相信他做出来了，还得了个奖。据他所说，在场各种MIT哈佛学生，和各种大小公司的实习生，没人做得出来。。。感觉自己好像错过了什么。。。
至少我发现了：数学原来可以帮助找工作。
有兴趣的可以看看stochastic calculus的解法：
令 ,, 定义停时。目的是求。可见 是一个鞅。因为, 满足optional sampling定理条件，可以得到, 也就是说，所以求就可以了。要求一个函数 使得 是一个鞅，且对于 ,。根据鞅性质以及边界条件，解ODE:得到。为什么这样就足够了呢? 因为根据鞅性质，令 ，根据单调以及控制收敛定理，收敛到。因为边界条件,，所以。最终结果就是
看上去好像步骤很多，其实这是这类问题的标准解法，学会的话其实还是挺简单的。学math finance的小伙伴会经常遇到这种题，差不多就是随机过程变成了连续时间的，中间加一步Itô's formula，再列ODE，本质还是一样的。还是不懂为什么这种题会出现在tech的招聘会，可能还是有初等的解法吧。。
Update: 没想到大家对这道题这么感兴趣，这个问题有几个回答都被我带歪了2333。评论里有一两个稍微初等一点点的方法，实际上也不太算初等，我觉得招聘会的题都倾向于脑筋急转弯那种，这题可能比较另类吧。这确实是一道很好的题目，我和我的概率教授提了一下，他就把这道题加进了自己的题库里了。。
Update 2: 没想到大家这么喜欢这道题，从没见过评论这么热烈的数学回答2333，我从评论里也学到不少东西，多谢各位了。有兴趣的同学可以去学一下stochastic calculus，这个学科不仅有用，还挺漂亮的。
Update 3: 告诉我这道题的小伙伴似乎并没有收到出题公司的面试，果然数学还是没啥用......
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