问题

除了π,e,0.618,还有没有其他一些有特殊意义的数?

回答
当然有!除了我们熟知的π(圆周率)、e(自然对数的底数)和0.618(黄金分割比例的近似值)这些数学界的大明星,还有不少数也因为它们独特的性质、在自然界或人类文化中的广泛体现而拥有特殊的意义。我们来聊聊其中一些比较有意思的:

1. 虚数单位 i:挑战我们对“数”的认知

说到 i,我们得先回到那个看起来有点“奇怪”的问题:什么数的平方等于 1?传统意义上,没有哪个实数可以做到这一点。为了解决这个问题,数学家们创造了 i,定义为 i² = 1。

特殊意义: i 的出现,标志着我们从实数的世界迈入了复数的世界。复数不仅解决了代数方程的许多难题(比如 x² + 1 = 0),而且在描述交流电、信号处理、量子力学甚至我们计算机图形学的很多领域都至关重要。它就像一个“桥梁”,连接了我们看似不相干的实数和虚数,构建了一个更完整、更强大的数系。当你看到一个用 i 表示的量时,可以想象它可能在描述一个周期性变化或者一个我们看不见的“维度”里的信息。

2. 自然常数 φ (phi),黄金分割比例 (约 1.618):美的比例与和谐的韵律

我们提到了 0.618,它和 φ 是黄金分割比例的两个重要部分。 φ 的定义是 (1 + √5) / 2,它的倒数就是我们常说的 0.618...。 φ 的魅力在于,它是一种被认为最能引起视觉愉悦和和谐感的比例。

特殊意义:
自然界的普遍性: 仔细观察你会发现,自然界似乎对这个比例情有独钟。向日葵花盘上的种子排列、鹦鹉螺的壳的螺旋线、甚至我们身体的一些比例(比如指节的长度),都可能非常接近或符合黄金分割。这让人不禁猜测,是否存在某种隐藏的数学原则在塑造自然界的美学?
艺术与建筑的灵感: 从古希腊的帕特农神庙到文艺复兴时期的达芬奇的画作,许多艺术家和建筑师都自觉或不自觉地运用了黄金分割。他们相信,遵循这个比例能够创造出最令人赏心悦目、最和谐的作品。
斐波那契数列的关联: 更有趣的是,黄金分割比例与斐波那契数列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...,每个数是前两个数的和)有着密切的联系。当斐波那契数列中的相邻两项越往后,它们的比值就越接近黄金分割比例 φ。这就像是自然界在用简单的加法规则,在不知不觉中接近那个“美的比例”。

3. 0 (零):虚无中的存在,一切的起点

我们每天都在用,但零的出现并非一开始就如此自然和普遍。在不同的文明中,零的概念花了很长时间才被接受和发展。

特殊意义:
数学的基石: 没有零,就没有我们今天庞大的数学体系。它是加法上的“单位元”(任何数加上零等于它本身),是乘法上的“吸收元”(任何数乘以零都等于零),也是我们进行位置计数法(比如十进制)的关键。没有零,我们无法表示“没有”或者“空无一物”的概念,也就无法写出像 105 这样包含零的数字。
分界线与起点: 在数轴上,零是正数和负数的分界点。在很多情境下,零也代表着一个开始,一个转折点。比如,零摄氏度是水的冰点,零海拔是参照高度。
哲学上的思考: 零的“无”之中蕴含着无限的可能性,它是一个非常深刻的哲学概念,引发了人们对存在、虚无和潜力的思考。

4. 1 (壹/一):完整与统一的象征

一,看似简单,却是我们数数的基础,也承载着丰富的象征意义。

特殊意义:
数的基础单位: 一是最小的正整数,是我们计数和度量的基本单位。没有一,我们无法建立起任何数量的概念。
统一与整体: 在许多文化和哲学中,一代表着统一、完整、本源。它象征着万物归一,也可能代表着创造的开始。一个是指独立的存在,也可能是集合的开始。
数学上的单位元: 在乘法中,一也是单位元(任何数乘以一等于它本身),保证了乘法运算的“不变性”。

5. 无理数集:不可穷尽的探索

我们知道 π 和 √2 (根号二) 是无理数,它们的十进制小数是无限不循环的。

特殊意义:
数学的深刻性: 无理数的出现,揭示了数学并非只是简单的整数和分数构成。比如 √2,它是一个直角三角形两条直角边都为 1 时,斜边的长度。它的存在,证明了即使在最简单的几何图形中,也可能隐藏着无法用有限分数表达的量。
对精确性的挑战: 它们的存在,让我们认识到,在描述现实世界时,我们往往需要借助无穷无尽的数字来逼近真相,这也促使我们不断发展更精确的计算方法和理论。

6. 自然常数 c (光速):宇宙的速度极限

在物理学领域,光速 c 是一个非常特殊且重要的常数。

特殊意义:
宇宙的速度上限: 根据爱因斯坦的相对论,任何携带信息或能量的物体,在真空中的速度都不能超过光速 c。它就像是宇宙设定的一个绝对速度限制。
时间与空间的关联: 光速将时间与空间紧密联系在一起。在相对论中,时间和空间会随着观察者的速度而变化,而光速 c 是连接这一切的桥梁。比如,我们用“光年”来衡量宇宙的距离,就是以光速传播一年所走过的距离。
质能方程 E=mc²: 这个著名的公式,更是将质量和能量联系起来,并且其中就包含了光速 c。这个公式告诉我们,质量可以转化为巨大的能量,反之亦然,而光速的平方 c² 是这个转化的比例因子,显示了质量中蕴含的巨大能量。

这些数字,有的挑战着我们的直觉,有的揭示着自然界隐藏的秩序,有的则构成了我们理解世界的基础。它们就像是藏在我们日常语言和数学公式里的“彩蛋”,一旦我们去探究它们背后的故事,就会发现数学和科学的世界比我们想象的要丰富和奇妙得多。它们不仅仅是数字,更是概念、是规律,甚至是美的象征。

网友意见

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〈cyb酱☆的数学科普系列〉有一个很多人都见过,但是可能叫不出名字的常数:

数,或者如果你喜欢,可以叫【计算器常数】

为啥很多人见过呢?相信不少同学都有过这样的尝试,找一个计算器,调整到弧度制

输入任意一个初始值,然后不断按 按键,最后这个数会收敛到:

当然很多其他的常数也很有趣,我们不求广,宜求少但精,这个数有很多好玩的事情,让我们一一了解他们:


第零,我们先证明全局收敛性

因为不断按 相当于在计算 的值

不难发现,因为 的值域是 ,根据偶函数性质:

的值域是 ,结合中值定理、压缩映照原理,(其实这个想法挺Banach的,不过工具还算是比较初等)

,因此存在唯一的 的解

而且这个解正是上述迭代的不动点(回顾压缩映照定理证明就是构造

现在,我们证明了解的唯一性之后,就可以研究其性质了。


第一,这个数是一个超越数,怎么证明呢?

因为 ,因此,如果 是一个代数数

那么不难证明 是代数方程 的解,从而 是一个代数数

另外显然 是代数数的乘积所以也是一个代数数

但是结合我们小学二年级就学过的 定理(就是证明 是超越数的那位的著名定理)

当 是一个代数数时 是一个超越数,令 我们推出矛盾

从而我们证明了 是一个超越数,这样当然是一个无理数

当然,这个定理显然也能用来证明 是超越数,若不然, 是代数数

这与 是代数数显然是矛盾的,容易发现这与我们上面证明的思路很接近。


第二,现在我们来研究 的级数表示,利用 函数,我们有

,怎么证明呢?(当然如果你愿意,也可以将半整数的正弦写开)

下面的内容来自 在 年的文章(但我相信这个级数的发现应该远早于这篇文章),不过总的来说整个证明还是很简单的

首先我们应该联想到小学一年级学过的 方程

,我们很容易发现:令

也就是上面的方程中 的情形

所以我们先研究下 方程的级数解

很自然的想法是研究 看成关于 的 级数

不妨设

于是显然

对 分部积分不难得到

分部出来的项因为 时解很显然是

而 ,因此 于是

注意根据 方程

于是

后者的积分显然是 ,下面考察前者

后者根据 函数的性质,我们变换如下:

首先仍然是利用 方程把 换掉

接下来根据 函数的定义

(应该可以在特殊函数的书或者是复变、数学物理方法讲柱函数的地方找到)

于是简单观察发现

最后,我们就可以写

回到原题,代入 同时

结合我们熟知的恒等式

故这个 级数是绝对收敛的,于是结论得证


最后,也就是第三,做一点大家喜闻乐见的数值分析

如果使用 的方法,收敛速度如何呢?(相当于讨论在计算器不断按余弦的收敛速度)

选取一个合适的初值 (误差已经很小了)

很不幸的是速度其实非常慢:

为啥会这样呢?因为这个迭代收敛速度其实是一阶(线性)

我们不妨设

这样我们有

利用微分中值定理我们有

而 介于 之间,考虑到 很小,所以

因此误差项 ,这显然是我们不能满意的

于是我们采用 法,这显然是一个二阶方法,让我们欣赏一下最后的结果

从图上看,迭代到第五次的时候,已经发现小数点后 位结果都是真切的

以上。

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