〈cyb酱☆的数学科普系列〉有一个很多人都见过,但是可能叫不出名字的常数:
数,或者如果你喜欢,可以叫【计算器常数】
为啥很多人见过呢?相信不少同学都有过这样的尝试,找一个计算器,调整到弧度制
输入任意一个初始值,然后不断按 按键,最后这个数会收敛到:
当然很多其他的常数也很有趣,我们不求广,宜求少但精,这个数有很多好玩的事情,让我们一一了解他们:
第零,我们先证明全局收敛性
因为不断按 相当于在计算 的值
不难发现,因为 的值域是 ,根据偶函数性质:
的值域是 ,结合中值定理、压缩映照原理,(其实这个想法挺Banach的,不过工具还算是比较初等)
,因此存在唯一的 的解
而且这个解正是上述迭代的不动点(回顾压缩映照定理证明就是构造
现在,我们证明了解的唯一性之后,就可以研究其性质了。
第一,这个数是一个超越数,怎么证明呢?
因为 ,因此,如果 是一个代数数
那么不难证明 是代数方程 的解,从而 是一个代数数
另外显然 是代数数的乘积所以也是一个代数数
但是结合我们小学二年级就学过的 定理(就是证明 是超越数的那位的著名定理)
当 是一个代数数时 是一个超越数,令 我们推出矛盾
从而我们证明了 是一个超越数,这样当然是一个无理数
当然,这个定理显然也能用来证明 是超越数,若不然, 是代数数
这与 是代数数显然是矛盾的,容易发现这与我们上面证明的思路很接近。
第二,现在我们来研究 的级数表示,利用 函数,我们有
,怎么证明呢?(当然如果你愿意,也可以将半整数的正弦写开)
下面的内容来自 在 年的文章(但我相信这个级数的发现应该远早于这篇文章),不过总的来说整个证明还是很简单的
首先我们应该联想到小学一年级学过的 方程
,我们很容易发现:令
也就是上面的方程中 的情形
所以我们先研究下 方程的级数解
很自然的想法是研究 看成关于 的 级数
不妨设
于是显然
对 分部积分不难得到
分部出来的项因为 时解很显然是
而 ,因此 于是
注意根据 方程
于是
后者的积分显然是 ,下面考察前者
后者根据 函数的性质,我们变换如下:
首先仍然是利用 方程把 换掉
接下来根据 函数的定义
(应该可以在特殊函数的书或者是复变、数学物理方法讲柱函数的地方找到)
于是简单观察发现
最后,我们就可以写
回到原题,代入 同时
结合我们熟知的恒等式
故这个 级数是绝对收敛的,于是结论得证
最后,也就是第三,做一点大家喜闻乐见的数值分析
如果使用 的方法,收敛速度如何呢?(相当于讨论在计算器不断按余弦的收敛速度)
选取一个合适的初值 (误差已经很小了)
很不幸的是速度其实非常慢:
为啥会这样呢?因为这个迭代收敛速度其实是一阶(线性)的
我们不妨设
这样我们有
利用微分中值定理我们有
而 介于 之间,考虑到 很小,所以
因此误差项 ,这显然是我们不能满意的
于是我们采用 法,这显然是一个二阶方法,让我们欣赏一下最后的结果
从图上看,迭代到第五次的时候,已经发现小数点后 位结果都是真切的
以上。
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息,本站不存储任何数据与内容,任何内容与数据均与本站无关,如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度,google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有