除了π，e，0.618，还有没有其他一些有特殊意义的数？

当然有！除了我们熟知的π（圆周率）、e（自然对数的底数）和0.618（黄金分割比例的近似值）这些数学界的大明星，还有不少数也因为它们独特的性质、在自然界或人类文化中的广泛体现而拥有特殊的意义。我们来聊聊其中一些比较有意思的：

1. 虚数单位 i：挑战我们对“数”的认知

说到 i，我们得先回到那个看起来有点“奇怪”的问题：什么数的平方等于 1？传统意义上，没有哪个实数可以做到这一点。为了解决这个问题，数学家们创造了 i，定义为 i² = 1。

特殊意义： i 的出现，标志着我们从实数的世界迈入了复数的世界。复数不仅解决了代数方程的许多难题（比如 x² + 1 = 0），而且在描述交流电、信号处理、量子力学甚至我们计算机图形学的很多领域都至关重要。它就像一个“桥梁”，连接了我们看似不相干的实数和虚数，构建了一个更完整、更强大的数系。当你看到一个用 i 表示的量时，可以想象它可能在描述一个周期性变化或者一个我们看不见的“维度”里的信息。

2. 自然常数 φ (phi)，黄金分割比例 (约 1.618)：美的比例与和谐的韵律

我们提到了 0.618，它和 φ 是黄金分割比例的两个重要部分。 φ 的定义是 (1 + √5) / 2，它的倒数就是我们常说的 0.618...。 φ 的魅力在于，它是一种被认为最能引起视觉愉悦和和谐感的比例。

特殊意义：
自然界的普遍性： 仔细观察你会发现，自然界似乎对这个比例情有独钟。向日葵花盘上的种子排列、鹦鹉螺的壳的螺旋线、甚至我们身体的一些比例（比如指节的长度），都可能非常接近或符合黄金分割。这让人不禁猜测，是否存在某种隐藏的数学原则在塑造自然界的美学？
艺术与建筑的灵感： 从古希腊的帕特农神庙到文艺复兴时期的达芬奇的画作，许多艺术家和建筑师都自觉或不自觉地运用了黄金分割。他们相信，遵循这个比例能够创造出最令人赏心悦目、最和谐的作品。
斐波那契数列的关联： 更有趣的是，黄金分割比例与斐波那契数列（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...，每个数是前两个数的和）有着密切的联系。当斐波那契数列中的相邻两项越往后，它们的比值就越接近黄金分割比例 φ。这就像是自然界在用简单的加法规则，在不知不觉中接近那个“美的比例”。

3. 0 (零)：虚无中的存在，一切的起点

我们每天都在用，但零的出现并非一开始就如此自然和普遍。在不同的文明中，零的概念花了很长时间才被接受和发展。

特殊意义：
数学的基石： 没有零，就没有我们今天庞大的数学体系。它是加法上的“单位元”（任何数加上零等于它本身），是乘法上的“吸收元”（任何数乘以零都等于零），也是我们进行位置计数法（比如十进制）的关键。没有零，我们无法表示“没有”或者“空无一物”的概念，也就无法写出像 105 这样包含零的数字。
分界线与起点： 在数轴上，零是正数和负数的分界点。在很多情境下，零也代表着一个开始，一个转折点。比如，零摄氏度是水的冰点，零海拔是参照高度。
哲学上的思考： 零的“无”之中蕴含着无限的可能性，它是一个非常深刻的哲学概念，引发了人们对存在、虚无和潜力的思考。

4. 1 (壹/一)：完整与统一的象征

一，看似简单，却是我们数数的基础，也承载着丰富的象征意义。

特殊意义：
数的基础单位： 一是最小的正整数，是我们计数和度量的基本单位。没有一，我们无法建立起任何数量的概念。
统一与整体： 在许多文化和哲学中，一代表着统一、完整、本源。它象征着万物归一，也可能代表着创造的开始。一个是指独立的存在，也可能是集合的开始。
数学上的单位元： 在乘法中，一也是单位元（任何数乘以一等于它本身），保证了乘法运算的“不变性”。

5. 无理数集：不可穷尽的探索

我们知道 π 和 √2 (根号二) 是无理数，它们的十进制小数是无限不循环的。

特殊意义：
数学的深刻性： 无理数的出现，揭示了数学并非只是简单的整数和分数构成。比如 √2，它是一个直角三角形两条直角边都为 1 时，斜边的长度。它的存在，证明了即使在最简单的几何图形中，也可能隐藏着无法用有限分数表达的量。
对精确性的挑战： 它们的存在，让我们认识到，在描述现实世界时，我们往往需要借助无穷无尽的数字来逼近真相，这也促使我们不断发展更精确的计算方法和理论。

6. 自然常数 c (光速)：宇宙的速度极限

在物理学领域，光速 c 是一个非常特殊且重要的常数。

特殊意义：
宇宙的速度上限： 根据爱因斯坦的相对论，任何携带信息或能量的物体，在真空中的速度都不能超过光速 c。它就像是宇宙设定的一个绝对速度限制。
时间与空间的关联： 光速将时间与空间紧密联系在一起。在相对论中，时间和空间会随着观察者的速度而变化，而光速 c 是连接这一切的桥梁。比如，我们用“光年”来衡量宇宙的距离，就是以光速传播一年所走过的距离。
质能方程 E=mc²： 这个著名的公式，更是将质量和能量联系起来，并且其中就包含了光速 c。这个公式告诉我们，质量可以转化为巨大的能量，反之亦然，而光速的平方 c² 是这个转化的比例因子，显示了质量中蕴含的巨大能量。

这些数字，有的挑战着我们的直觉，有的揭示着自然界隐藏的秩序，有的则构成了我们理解世界的基础。它们就像是藏在我们日常语言和数学公式里的“彩蛋”，一旦我们去探究它们背后的故事，就会发现数学和科学的世界比我们想象的要丰富和奇妙得多。它们不仅仅是数字，更是概念、是规律，甚至是美的象征。

网友意见

〈cyb酱☆的数学科普系列〉有一个很多人都见过，但是可能叫不出名字的常数：

数，或者如果你喜欢，可以叫【计算器常数】

为啥很多人见过呢？相信不少同学都有过这样的尝试，找一个计算器，调整到弧度制

输入任意一个初始值，然后不断按 按键，最后这个数会收敛到：

当然很多其他的常数也很有趣，我们不求广，宜求少但精，这个数有很多好玩的事情，让我们一一了解他们：

---

第零，我们先证明全局收敛性

因为不断按 相当于在计算 的值

不难发现，因为 的值域是 ，根据偶函数性质：

的值域是 ，结合中值定理、压缩映照原理，（其实这个想法挺Banach的，不过工具还算是比较初等）

，因此存在唯一的 的解

而且这个解正是上述迭代的不动点（回顾压缩映照定理证明就是构造

现在，我们证明了解的唯一性之后，就可以研究其性质了。

---

第一，这个数是一个超越数，怎么证明呢？

因为 ，因此，如果 是一个代数数

那么不难证明 是代数方程 的解，从而 是一个代数数

另外显然 是代数数的乘积所以也是一个代数数

但是结合我们小学二年级就学过的 定理（就是证明 是超越数的那位的著名定理）

当 是一个代数数时 是一个超越数，令 我们推出矛盾

从而我们证明了 是一个超越数，这样当然是一个无理数

当然，这个定理显然也能用来证明 是超越数，若不然， 是代数数

这与 是代数数显然是矛盾的，容易发现这与我们上面证明的思路很接近。

---

第二，现在我们来研究 的级数表示，利用 函数，我们有

，怎么证明呢？（当然如果你愿意，也可以将半整数的正弦写开）

下面的内容来自 在 年的文章（但我相信这个级数的发现应该远早于这篇文章），不过总的来说整个证明还是很简单的

首先我们应该联想到小学一年级学过的 方程

，我们很容易发现：令

也就是上面的方程中 的情形

所以我们先研究下 方程的级数解

很自然的想法是研究 看成关于 的 级数

不妨设

于是显然

对 分部积分不难得到

分部出来的项因为 时解很显然是

而 ，因此 于是

注意根据 方程

于是

后者的积分显然是 ，下面考察前者

后者根据 函数的性质，我们变换如下：

首先仍然是利用 方程把 换掉

接下来根据 函数的定义

（应该可以在特殊函数的书或者是复变、数学物理方法讲柱函数的地方找到）

于是简单观察发现

最后，我们就可以写

回到原题，代入 同时

结合我们熟知的恒等式

故这个 级数是绝对收敛的，于是结论得证

---

最后，也就是第三，做一点大家喜闻乐见的数值分析

如果使用 的方法，收敛速度如何呢？（相当于讨论在计算器不断按余弦的收敛速度）

选取一个合适的初值 （误差已经很小了）

很不幸的是速度其实非常慢：

为啥会这样呢？因为这个迭代收敛速度其实是一阶（线性）的

我们不妨设

这样我们有

利用微分中值定理我们有

而 介于 之间，考虑到 很小，所以

因此误差项 ，这显然是我们不能满意的

于是我们采用 法，这显然是一个二阶方法，让我们欣赏一下最后的结果

从图上看，迭代到第五次的时候，已经发现小数点后 位结果都是真切的

以上。

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