除了 π、e 等这些常数，还有哪些伟大的常数？他们的意义都是什么？为什么都是无理数呢？
1. 黄金分割比例 (φ)
黄金分割比例，通常用希腊字母 φ (phi) 表示，它的值大约是 1.6180339887...。它是一个比值，你将一条线段分成两部分，使得较长部分与较短部分的比例等于整体与较长部分的比例，这个比例就是黄金分割比例。
意义： 黄金分割比例之所以伟大，在于它在自然界、艺术、建筑和设计中无处不在，并被认为具有一种天然的美感和和谐感。
自然界： 你可以在向日葵的种子排列、鹦鹉螺的螺旋生长、甚至人体比例中找到它的身影。例如，肚脐到脚底的长度与肚脐到头顶的长度的比例，以及前臂的长度与小臂（从肘到指尖）的长度的比例，都近似等于 φ。
艺术与建筑： 古希腊帕特农神庙的许多尺寸都遵循黄金分割比例，许多画家也乐于将黄金分割应用到他们的构图中，认为这样能带来视觉上的愉悦。
金融市场： 一些技术分析师认为斐波那契数列（与黄金分割密切相关）的比例在股票市场的波动中具有一定的预测能力。
为什么是无理数： φ 的精确值是 (1 + √5) / 2。因为 √5 是一个无理数，所以 φ 自然也是一个无理数。它的无理数性质意味着它的小数部分会无限不循环地延伸下去，这或许也为它在自然界中无尽的生长和变化提供了一种数学上的解释。
2. 欧拉马斯刻朗尼常数 (γ)
欧拉马斯刻朗尼常数，通常用希腊字母 γ (gamma) 表示，它的值大约是 0.5772156649...。这个常数出现得比较隐蔽，但它在数论和分析学中扮演着关键角色。
意义： γ 是调和级数（1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...）与自然对数函数 ln(n) 在 n 趋向无穷大时的“差值”。具体来说，它定义为：
γ = lim (n→∞) [ (∑_{k=1}^n 1/k) ln(n) ]
这个常数出现在许多数学公式中，尤其是在处理与素数分布相关的函数（如黎曼 Zeta 函数）时。它也出现在概率论、统计物理学等领域，虽然这些联系可能不如 φ 那样直观。
为什么是无理数： 至今为止，数学家们尚未证明 γ 是有理数还是无理数。它是一个悬而未决的数学难题！然而，普遍的猜测是 γ 是一个无理数，而且很可能是一个超越数（即不是任何整系数代数方程的根）。如果 γ 是无理数，那么它的小数表示将是无限不循环的。
3. 物理学中的常数：
虽然你可能更关注数学常数，但物理学中也有一些被认为是“伟大”的常数，它们是描述宇宙基本运作方式的关键。虽然它们的数值是测量得来的，但它们在数学上同样具有深刻的意义。
普朗克常数 (h)
意义： 普朗克常数是量子力学的基石。它联系了光子的能量与其频率 (E = hf)，以及物质波的波长与其动量 (p = h/λ)。它揭示了能量和动量在微观世界中的量子化特性，即它们不是连续的，而是以离散的“份”来传递。没有普朗克常数，我们就无法理解原子、分子以及光的本质。
为什么是无理数？ 普朗克常数是一个物理测量量，它的值是通过实验测定的。我们通常用一个特定的数值来表示它（例如，6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s）。然而，这个数值是具有不确定性的，并且我们不将其视为严格意义上的数学常数。它的“无理数”属性更多地与测量精度和量子世界的内在不确定性相关，而不是数学上固有的性质。
引力常数 (G)
意义： 牛顿万有引力定律 F = G(m₁m₂)/r² 中的 G，描述了引力的大小。它表明了物质之间的相互作用力，是理解行星运动、星系形成乃至宇宙结构的关键。
为什么是无理数？ 与普朗克常数一样，引力常数也是一个通过实验测定的物理常数。它是一个非常小的数值（大约 6.674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²），其测量精度至今仍是物理学研究的重点之一。我们对其数值的认知是基于经验的，并非数学推导出的固有属性。
光速 (c)
意义： 爱因斯坦的狭义相对论表明，光速在所有惯性参考系中都是恒定的，并且是信息和能量在宇宙中传播的极限速度。它深刻地改变了我们对时间、空间、质量和能量的理解 (E=mc²)。
为什么是无理数？ 光速在现代科学中被定义为一个精确的固定值（299,792,458 米/秒），而米的定义就是基于光在真空中传播一小段时间的距离。因此，光速不再是一个测量值，而是一个定义值。在这种意义上，它不是一个“无理数”，而是一个精确的、有理的（甚至可以直接定义单位的）常数。
关于“为什么都是无理数”的进一步思考：
你提出的“为什么都是无理数”这个问题，其实触及了数学与现实世界之间一个非常有趣且深刻的联系。
首先，需要澄清一点：并非所有伟大的数学常数都是无理数。例如，自然对数的底数 e（约 2.718...）和 圆周率 π（约 3.141...）确实是著名的无理数，而且 π 还是超越数。我们上面提到的黄金分割比例 φ 也是无理数。
但是，像上面提到的物理常数，它们的值是通过测量确定的，我们通常会用一个近似的有理数（有限小数或分数）来表示它们。即便这些测量值在理论上可能是无理数，我们对它们的认知也是受限于测量精度。
为什么数学中的一些重要常数（如 π, e, φ）会是无理数？
这是一个非常深刻的问题，背后涉及到数学的本质以及它们所代表的意义：
1. 几何的无限性： π 是圆的周长与直径之比。一个完美的圆，其圆周长和直径的比例是如此的“不完美”和“不规律”，以至于无法用有限的数字或重复的模式来精确描述。这似乎暗示着几何中的某些基本关系，在精确表达时，会超出有限的范围。
2. 连续与无穷的联系： e 与自然增长、复利计算以及许多自然过程的增长率有关。它出现在微分方程的解中，比如描述人口增长、放射性衰变等。e 的无理数性质，反映了这些连续增长过程的“不可穷尽”和“无尽精妙”。就像我们无法用有限的步数走完一条光滑的曲线一样，描述这些增长的数学语言也需要能够捕捉到这种连续的、无尽的细节。
3. 数学结构的内在属性： 许多常数并非被“设计”成无理数，而是它们在特定数学结构中自然而然地涌现出来的结果。例如，φ 作为某些二次方程（x² x 1 = 0）的根，它的无理数性质是该方程的内在属性。
4. 超越数的意义： π 和 e 不仅是无理数，还是超越数。超越数之所以更“不寻常”，是因为它们不能作为任何整系数多项式方程的根。这意味着它们不能通过有限的代数运算（加、减、乘、除、开方）从整数得到。这种“不可解析性”让它们显得更加基础和“神秘”，似乎是从纯粹的数学概念中独立诞生的，而不是通过有限的构造过程产生的。
总结：
除了 π 和 e，黄金分割比例 φ 是一个在自然、艺术和美学中都具有重要意义的伟大的数学常数，它的无理数性质与它的几何意义紧密相连。欧拉马斯刻朗尼常数 γ 则隐藏在数论和分析学的深处，它的性质仍然是数学家们探索的谜题，很可能也是一个无理数。
物理常数如普朗克常数和引力常数，是描述宇宙基本规律的基石，它们的数值是测量结果，尽管我们用有理数近似，但它们揭示的量子世界和宇宙引力规律本身就充满了“无限”和“不确定”的色彩。
而那些被称为无理数（特别是超越数）的数学常数，它们的无理数属性并非偶然，而是它们所代表的数学概念（如圆的完美性、连续增长的精妙）在精确表达时所呈现出的内在特性。它们是数学语言中不可或缺的一部分，带领我们探索更深层次的数学真理和宇宙奥秘。这些常数的存在，让我们感受到数学世界的广阔与深邃，以及它与我们所处世界之间那种难以言喻的联系。
网友意见
就数学常数而言，除了 和 最伟大的常数应该要数 Euler-Mascheroni 常数
其中 称为 调和数. 由定义可以看出 Euler-Mascheroni 常数 刻画了当 足够大时调和数 与对数 的差.
之所以说 Euler-Mascheroni 常数 是除了 和 之外最伟的常数，那是因为它与 和 一样会频繁地出现在数学的各个方面. 比如
设 为正整数 的正因子的个数. 在 1838 年，著名数学家 Dirichlet 得到了
设 为第 个素数，数学家 Mertens 得到了著名的 Mertens 定理：
我们记 为不超过 的 Mersenne 素数 的个数. 1983 年，数学家 Wagstaff 模仿著名的 素数定理 提出下述猜想：
猜想：
Euler 的 Gamma 函数 定义如下
则其有 Weierstrass 型 无穷乘积形式
我们定义 Digamma 函数 为
则我们有
运用这些公式，我们可以得到
下面这些级数与 有关.
其中 为 Riemann Zeta 函数.
设 为 的 非平凡零点，则
设 为 Bernoulli 数，为 Bernoulli 多项式. 则我们有
我们定义 对数积分 为
则我们有
下面这些积分与 有关.
下面这些极限与 有关.
是数学中最重要的三个常数，因此经常被数学家喻为数学常数中的 holy trinity. 它们有着形式非常相似的无穷乘积：
1997 年，数学家 Wilf 得到了一个十分优美的同时包含 三个常数的公式：
由于 的极端重要性，数学家对其进行了很多的研究，得到了各种各样的表达式：
虽然我们得到了 的很多表达式，然而却没有一个能够帮助我们确定 是否为无理数，至于是否为超越数那就更不得而知了，所以有人说 是数学中最大的迷！据说英国著名的数学家 Hardy 曾对外宣称要是谁能证明 是无理数，他将把他在牛津大学的 Savilian 教授职位让出来给那个人！
这样伟大的常数好像还比较多，我想到的几个其他回答都说了，比如玻尔兹曼常数K，零。其实我觉得绝对零度也算一个，但是不知道绝对零度是不是有理数，个人倾向无理数，原因后述。还有光速C，我觉得是否也可能是无理数。还有普朗克常数h。同时个人也觉得这样的常数应该还有很多，但是可能我等民科还没挖掘到，或者科班还没有合适的方法推断出来，这个的话后面也后述。
他们的意义自然很大，有多大呢？
有那·······么······大。
这些常数是描述典型关系的数。我们这个世界是一个由无数的关系组织起来的世界，光，温度，速度，力，原子，质子，中子，电子等等，都是讲的物质与物质之间的某种关系，所以物理学家、化学家用数学这个低成本工具来帮助自己的研究。
举几个简单的典型关系与其常数：
π，描述的是力的方向与力的使能方向正交的相互连续运动关系，图像化描述就是某点的向心力与其瞬时速度呈直角。
e，描述的是高维与低维互为镜像关系，数学上定义的是e的导数就是其自身，这种关系的图像化描述个人觉得挺难，毕竟偶也是个低维生物，从感觉上来说或许类似克莱因瓶或者太极图的三维化，内外镜像，难以区分。除此之外，e还有描述一个关系：为了获取目标物质的信息，最小探知取样周期与物质对应的周期的关系，可以不用3个探知取样周期，2.71个周期即可实现信息的准确获取，这个2.71与256很接近哦，很多人喜欢256这个数字；同时这个e还跟高斯分布有点关系。
h，描述的是我们这个宇宙视界的边界关系，是视界不是世界，这个视界还跟上面的e有点关系。如果物质尺寸太小，我们是看不见这个物质的，因为我们找不到比这个视界边界尺寸还小的尺寸去探知物质。
k，描述的是如果物质之间没有任何相互关系所对应的能量状态。在其他回答中个人举的例子是全世界人口同一时刻都不说话了，那么这个世界的噪音是多大。
C，描述的是物质与物质间信息传递最快的速度，目前基于洛伦茨空间，这个光速特指两个物质之间的最快速度，但是个人觉得应该还是个宏观统计均衡值，并且是个无理超越数，跟π，e是同一类的，原因后面讲述。
看了上面描述的意义，是不是感觉它们之间好像有某种联系？个人也这么觉得。借用某个非民科的说法：这个世界是由信息组成的。光速是信息传递的最快速度，温度（能量）是信息能产生的基础，尺寸（时空）是信息有效识别的限制，闭合光滑空间是信息传播的高效通道，通过内外转换实现对物质内部信息进行解读。
ps：上述的表征关系的常数，主要还是微观世界的，宏观世界肯定也有类似的常数，比如那个黑洞史瓦西半径，本民科还没涉及这个，待后面编一编来忽悠大家。
至于为何这些数大部分是无理数，想想其实很简单：
用相对论的参考系选择来解释，如果我们的数学认知建立在无理数基础之上，或许，这个问题将互相调换位置。
从关系网络看，这个世界的关系一直都是N对N满秩，反应到方程上就是无限元，所以需要无理数表征这一状态。比如光速。
从研究方法上，正交法被用于方程，这种不稳定状态容易受到干扰，无理数就是干扰的体现。
可能，数字本身也有自带干扰呢。
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