为什么三点决定一个圆，而圆规只需两点就决定了一个圆？

这其实是一个很有意思的问题，涉及到几何学里圆的定义和确定圆的方法。咱们一层一层地剖析开来，把它说明白。

首先，我们得说说“三点决定一个圆”这个说法是从哪儿来的，它在几何学里扮演着什么角色。

在欧几里得几何学（也就是我们学到的最基础的几何学）里，我们首先要定义一个圆是什么。一个圆最根本的定义是：一个固定点（圆心）到平面上所有距离相等的点的集合。

这个定义里有几个关键点：

固定点（圆心）： 这是圆的“心脏”，它的位置是确定的。
距离相等： 所有在圆上的点，距离圆心的远近都一样。
平面上所有点的集合： 这就画出了一个完整的、连续的圆周。

好，有了这个定义，我们现在思考：如何才能找到这个“固定点”和这个“距离相等”的规律呢？

假设我们有三个不在同一条直线上的点。为什么强调“不在同一条直线上的点”？如果三个点在一条直线上，那么无论你如何尝试去画一个圆通过它们，都会发现这是不可能的。想象一下，如果三个点排成一排，你总能找到一个圆通过其中两个点，但第三个点就不可能刚好落在那个圆周上了，除非你把圆的半径弄成无穷大，那就不叫圆了，那成了直线。

所以，我们必须考虑三个不共线的点。我们称这三个点为 A、B、C。

现在，我们就是要找出那个同时满足到 A、B、C 三个点距离都相等的点，以及这个相等的距离。

1. 找圆心：
我们知道，任何点到 A 和 B 的距离相等的点，都分布在连接 A 和 B 的线段的垂直平分线上。这是因为垂直平分线上的任何一点，到线段两端点的距离都相等。
同样地，任何点到 B 和 C 的距离相等的点，都分布在连接 B 和 C 的线段的垂直平分线上。
既然我们要找一个点，它到 A 的距离等于到 B 的距离，并且到 B 的距离也等于到 C 的距离，那么这个点就必须同时满足这两个条件。换句话说，它既要在 AB 的垂直平分线上，也要在 BC 的垂直平分线上。
两条直线，除非平行，否则必然会相交于一点。而 A、B、C 不共线，所以 AB 的垂直平分线和 BC 的垂直平分线一定是相交的（它们不会平行）。这两条垂直平分线的交点，就是我们寻找的那个同时到 A、B、C 三个点距离都相等的点。这个交点，就是圆的圆心。

2. 确定半径：
一旦我们找到了圆心 O，那么圆心 O 到任何一个已知点（比如 A、B 或 C）的距离，就是这个圆的半径。因为我们就是根据“距离相等”的原则找到圆心的，所以 O 到 A 的距离自然就等于 O 到 B 的距离，也等于 O 到 C 的距离。

所以，“三点决定一个圆”，是因为这三个不共线的点，提供了足够的信息（至少三个约束条件）来唯一地确定圆的圆心和半径。我们通过构造垂直平分线交点的方法，找到了圆心，再取圆心到其中任意一点的距离作为半径，就能画出那个唯一的圆。



那为什么我们用圆规的时候，只需要“两点”呢？这里的“两点”和刚才的“三点”其实意思不太一样，也更像是我们实际画圆的操作过程。

我们用圆规画圆，通常是这么做的：

1. 固定圆规的一个针尖： 这就是我们常说的，把圆规的一个脚（或者说一个点）固定在纸上。这个固定点，就是我们刚才说的圆心。
2. 调整圆规两脚之间的距离： 这个调整好的距离，就是我们刚才说的半径。
3. 转动圆规： 当我们把圆规的另一个笔尖在纸上画圈时，这个笔尖始终与固定在圆心上的针尖保持着我们预设的那个固定距离（半径）。

所以，从这个操作过程来看，我们用圆规需要确定的关键信息是：

圆心在哪里？ (圆规针尖固定的位置)
半径有多大？ (圆规两脚张开的距离)

如果我们直接有这两个信息，那画圆当然就简单了。

那么，问题来了，如果我们只有两点，比如点 P 和点 Q，我们怎么利用圆规画出唯一的圆呢？

通常情况下，两点是不足以唯一确定一个圆的。

你可以想象一下，有两个点 P 和 Q。你可以画一条线连接 P 和 Q。这条线段的垂直平分线上的任何一点，到 P 和 Q 的距离都是相等的。也就是说，你可以选择垂直平分线上的任何一个点作为圆心，以这个圆心到 P（或 Q）的距离为半径，画出一个通过 P 和 Q 的圆。

你可以选择垂直平分线上离 P、Q 较近的点作为圆心，得到一个半径小的圆。
你也可以选择垂直平分线上离 P、Q 较远的点作为圆心，得到一个半径大的圆。

有多少个点在 PQ 的垂直平分线上，就有多少个圆可以同时通过 P 和 Q。所以，单纯的两点，并不能“决定”一个唯一的圆。

那么，为什么会出现“圆规只需两点就决定了一个圆”的说法呢？

这可能是对圆规使用场景的一种简化或者说是在特定前提下的表述：

1. 第一个可能的意思是：如果你想画一个经过这两个点的圆，那么你至少需要知道这两个点在哪里，并且通过这两个点可以确定一条垂直平分线。但要确定唯一的圆，你还需要额外的约束。
比如，如果告诉你这两个点是圆的直径的两个端点，那这两点就和圆心以及半径联系起来了。直径的中点就是圆心，直径的一半就是半径，这时两点就“决定”了一个圆。
或者，如果你被要求画一个经过这三点（其中两点是你已知的，还有第三点）的圆，那么这实际上又回到了“三点定圆”的情况。

2. 另一种更实际的可能性是，我们拿到圆规，实际上是拿到了“工具”和“目标”，而不是直接的数学信息。
我们想要画一个圆，首先我们会想圆心在哪儿？ 我们会选定一个点作为圆心（这是第一步的“点”）。
然后我们想半径多大？ 我们会用圆规去度量某个长度，或者去对准某个目标点（这是第二步的“点”，用来确定半径）。

比如，你在画一个几何图形，其中有一个圆需要通过点 A，并且它的圆心在点 B 上。这时，你已经有了圆心（点 B）和圆上的一点（点 A），这两点信息就足够你用圆规画出那个唯一的圆了：把针尖放在 B，把笔尖对准 A，然后画一圈。

或者，你想要画一个通过 A 点和 B 点的圆，但是你又需要这个圆同时通过第三点 C。这时，你其实就已经是在应用“三点定圆”的思想了。你可能会先找到 A、B 的垂直平分线，再找到 B、C 的垂直平分线，找到它们的交点作为圆心，然后以这个圆心到 A (或 B, C) 的距离为半径。在这个过程中，你只是用圆规去“量取”和“定位”，而不是圆规本身直接“决定”了圆。

总结一下：

“三点决定一个圆”是基于圆的数学定义，是说三个不共线的点提供了足够的几何约束，可以唯一地确定一个圆的圆心和半径。这是从数学原理上去“确定”圆。
“圆规只需两点”更像是描述我们使用圆规画圆的操作过程，或者是在特定条件下（比如两点是直径端点，或者已知圆心和圆上一线点）的简化说法。单独的两点，在一般情况下是无法唯一确定一个圆的。

简单来说，三点确定圆是数学上的充要条件，它告诉我们哪些信息是必需的。而圆规的使用，是我们在有了这些信息（或部分信息）后，如何通过工具来实现画出这个圆。我们的眼睛看到的“两点”可能承载了比数学上两点更多的含义，比如一个点是圆心，另一个点是用来确定半径的。

网友意见

这是个好机会引入模空间呀。模空间就是我们把一类几何结构全体的对象放在一起构成一个空间。这里的话问题考察的对象是欧式平面上的圆。

假设所有圆构成的空间是C。那么圆心两个坐标决定，半径一个坐标决定，所以C这个空间大概是三维的。如果从三个点确定一个圆来考虑，每一个点两个坐标，C这个空间看起来是六维的。

差异的主要原因是三个点确定一个圆的话，事实上不同的三个点组（也就是六维欧式空间中的一个点）可能确定同一个圆。如果要把这个等价关系商掉的话，我们看看大概要商掉多少。三点组中，每个点绕着圆心旋转都不会导致确定的圆变化，所以大概每个点要商掉一个S^1的作用，是1维的作用，那么三点组就要商掉三维的作用。于是从这个六维空间中商掉三维的作用，得到的还是一个三维的对象。所以我们发现，其实两种表述对应的圆的模空间维数是一样的。

当然以上论证很不严格了，比如一些边界情况什么的。单纯对于题主的问题来说，回答就是：如果一种表述和另一种表述相比，需要的信息多（一种参数化比另一种参数化需要的参数数量更多）那大概说明有一些等价关系没有考虑

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评论区@

流风

有个观察：

“圆规，不是两个点，而是一个点和一个半径,所以一个点和一个半径确定一个圆”

很好的观察，但圆规确实可以看作用两个点来决定一个圆。加上有人在评论中对等价关系有疑问，顺便解释一下，并且再使用一次模空间的想法。

我们把圆规放好，即使不画圆，这个圆规能画出来的圆也已经确定了。把圆规放好相当于确定两个点，或者确定了一个点和圆规伸长的距离。我们来分别思考下两种情况。如果用后者来刻画所有圆的模空间，那就是之前上文所提的方法之一；如果用前者来刻画所有圆的模空间，那就是所有平面的两点组的空间(R^2 X R^2)是4维的。但是，圆规绕着第一个给定点（圆心）转的所有位置都确定的是同一个圆，所以我们要商掉一个旋转（S^1）的作用，这是一维的。于是我们又得到了一个三维对象。跟我们之前所做的得到的差不多。

大家很容易通过各种计算还原这些等价关系（例如，在上面这个例子中：通过圆规的两点算出距离来构造从前者到后者的映射）。如果几何结构比较复杂，那么用模空间来思考就更加有启发性了。

无论是“三点决定一个圆”，还是题主所说的“圆规两点决定一个圆”，我都希望题主能记住一件事（尤其是如果你现在还是个学生的话）：学术上的公理定理公式等等，是要严格“死记硬背”的，里面每一句话、每个字可能都是限制条件。我们经常简称为“三点定圆”，这是为了方便记忆它的核心内容，但是要理解它的原理，你就要把原话拿出来解读。

“不在同一直线上的三个点确定一个圆，这三个点位于所确定圆的圆周上”（P.S.我不知道课本里原话是不是这样写的，但我觉得我把意思都表达到了，如有不对，请大神指正）。

圆规能两个点画圆的原理，用稍微正式的话说是：一个点是圆心，另一个点位于圆周上，以此确定一个圆。

和题主的问题比，看出区别了吗？就是黑体字！题主把所有定语和其他描述都省了，只对比了“三点”和“两点”这一个信息点。这样的对比是没有意义的。

三点确定一个圆是指这三点都在圆周上。圆规是通过确定圆心和半径来确定一个圆。这根本就是俩情况啊

嗯，这个问题其实还是挺有意思的

平面上一个圆，其实有三个自由度：圆心的x坐标，圆心的y坐标，半径，有这三个数就可以确定一个圆。

圆心和圆周上一个点确定一个圆的时候，每个点两个坐标，其实有四个自由度，其中一个自由度最后转化为这个点位于圆周上的什么位置，它对圆本身是没有影响的，所以起作用的仍然是三个自由度

三个点确定一个圆的时候，一共有六个自由度，但是每个点都和前面圆周上的点一样，消耗了一个自由度用来表示自己在圆周上的什么位置，所以有效的自由度仍然是三个。

总结来说：圆心点可以提供两个有效的自由度，而圆周上的点由于自己在圆周上的位置不确定，所以只能提供一个自由度，而三个自由度可以确定一个圆。

实际上如果我们取两个点并且规定它们是圆的直径的两个端点，我们也是可以确定一个圆的，可见关键问题不在于点的位置，而在于点提供了多少个自由度，当我们用直径的端点确定圆的时候，两个点只有一个自由度消耗在了确定自己在圆周上的位置这件事上。

首先，三个点确定一个圆，说的是圆周上三点。三个点的绝对位置信息提供了确定圆的条件，对于三个点的顺序没有要求，本质上就是三个过原点的矢量构成的无序组合。确定一个圆需要三个参数，圆心坐标和半径，相当于三个方程解三个未知数。对于圆周上的点，一个点贡献一个方程。假如只有两个方程，就会有无数种解。

但是圆规规定了点的顺序，一个圆心，一个圆周，这提供了比单纯点的位置更多的信息：一个圆心矢量（不动），一个半径矢量（可旋转）。这意味着那个半径矢量其实提供了圆周上所有点的相对位置信息，而不再只是一个点的绝对位置信息。

假如只给出两个点的位置（矢量）而不加以区分圆心和圆周（但我们知道其中一个是圆心一个是圆周），即使不能确定一个圆，但也可以确定两个圆，而不是无数个。这暗示着作为一个特殊点，圆心包含信息的“权重”是高于其他圆周上的点的。事实上圆心坐标对于确定参数的方程组的贡献是两个方程。

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