非厄米哈密顿量有什么特点？
非厄米哈密顿量，顾名思义，就是不满足厄米共轭条件的哈密顿量。在量子力学中，厄米哈密顿量是极其重要的，因为它保证了可观测量（如能量、动量）是实数，并且系统的演化是幺正的（即概率守恒）。所以，一旦我们打破了厄米性，就意味着物理系统的行为会发生一些根本性的变化，这些变化可能带来一些非常有意思的现象。
要理解非厄米哈密顿量的特点，我们最好先回顾一下厄米哈密顿量的一些核心性质，然后看看在失去这些性质后会发生什么。
厄米哈密顿量的基石：
实数谱： 厄米算符对应的可观测量，其本征值（也就是可测量的值）一定是实数。比如，我们测一个粒子的能量，得到的总是某个实数。
完备的本征矢量组： 厄米算符的本征矢量构成一个完备的正交基。这意味着我们可以用这些本征矢量来表示系统的任意状态，并且它们之间是“正交”的，不会互相干扰。
幺正演化： 系统的状态矢量随时间的演化由薛定谔方程描述：$ihbar frac{d}{dt}|psi(t) angle = H|psi(t) angle$。如果哈密顿量$H$是厄米的话，那么系统的状态矢量模长（也就是总概率）是守恒的，$langle psi(t)|psi(t) angle = 1$ 处处成立。
打破厄米性的后果：
一旦哈密顿量$H$不再满足$H^dagger = H$（其中$H^dagger$是$H$的厄米共轭），事情就会变得非常不一样：
1. 复数谱： 最直接的后果就是，非厄米哈密顿量的本征值（能量）通常是复数。一个复数可以写成实部和虚部，$lambda = E iGamma/2$。
实部 ($E$)： 这部分通常可以解释为系统的平均能量，类似于厄米情况下的能量。
虚部 ($Gamma$)： 这是关键！虚部通常与系统的衰减或增长有关。如果虚部是负的（$Gamma/2 < 0$），那么对应的本征态的概率幅（由$e^{iEt/hbar}e^{Gamma t/2hbar}$描述）会随着时间指数衰减，这意味着系统正在衰败，粒子可能从系统中“漏出”，或者系统本身在消耗能量。如果虚部是正的（$Gamma/2 > 0$），那么系统会指数增长，这意味着系统在“增殖”，这在某些非平衡系统中有可能出现。
2. 非完备或非正交的本征矢量： 非厄米算符的本征矢量可能不构成一个完备的正交基。这意味着我们不能简单地像在厄米系统中那样，用一套固定的“正交基”来描述系统的状态。这使得量子态的展开和演化分析变得更加复杂。在某些情况下，我们可能需要引入“双对偶基”（biorthogonal basis）来描述系统的演化。
3. 非幺正演化： 由于本征值的虚部不再是零，系统的总概率$langle psi(t)|psi(t) angle$不再守恒。
如果系统处于一个能量本征态，其概率会随时间衰减（对应负的虚部）。
如果系统处于多个本征态的叠加态，那么不同本征态的衰减速率不同，会导致整体概率的动态变化。
非厄米哈密顿量的“有趣”之处：
尽管听起来有些“破坏规则”，非厄米哈密顿量却在描述某些真实的物理现象时异常有用，并且展现出一些在标准量子力学中见不到的奇特性质：
例外平行四边形（Exceptional Points, EP）： 这是非厄米系统中最引人注目的现象之一。在厄米系统中，不同本征态的本征值（能量）通常不会在参数空间中“相遇”或“合并”。但在非厄米系统中，当系统参数变化到某个临界点时，两个或多个本征值以及它们的对应本征矢量会同时重合，这个点就叫做例外平行四边形。在这些点附近，系统的行为会发生剧烈的变化，例如：
平方根奇点： 能量与系统参数的关系会从线性的关系变成平方根的关系，这导致了非常特殊的动力学行为。
灵敏度急剧增强： 系统对微小参数变化的响应会变得异常敏感，这使得它们在传感等领域具有潜在的应用价值。
几何相位： 在循环遍历一个包含例外平行四边形的路径时，系统会获得一个与厄米系统不同的几何相位。
反厄米对称性（AntiHermitian Symmetry）： 有时候，哈密顿量可以被分解成一个厄米部分和一个反厄米部分：$H = H_{Hermitian} + iH_{AntiHermitian}$。其中$H_{AntiHermitian}^dagger = H_{AntiHermitian}$。这个反厄米部分就直接负责了系统的衰减或增长。
精确可对角化（Exact Diagonalizability）的拓展： 虽然非厄米算符的本征矢量不一定是正交的，但在特定情况下，它们仍然可以被精细地构造出来，用于描述系统的演化。
应用场景：
非厄米哈密顿量不再是纯粹的理论构造，它们在许多实际的物理系统中扮演着重要角色：
开放量子系统： 任何与环境有能量或粒子交换的量子系统，都可以用非厄米哈密顿量来描述。例如，一个处于散射环境中的量子点，或者一个有光子损耗的量子光学腔。
凝聚态物理：
拓扑相： 在某些具有“拓扑保护”的材料中，边缘态的性质可以用非厄米哈密顿量来刻画，这些系统可能展现出特殊的拓扑性质，例如“拓扑穿梭”效应。
非平衡态物理： 许多处于非平衡态的材料，比如激光介质、光泵浦的半导体等，其能带结构或激子动力学可以用非厄米模型描述。
光学系统： 光子在介质中的吸收（损耗）或放大（增益）过程，可以通过设计具有特定光学损耗或增益材料的波导阵列来模拟非厄米哈密顿量，并在其中观察到诸如例外平行四边形这样的效应。
量子信息： 在某些量子计算或量子模拟方案中，为了实现特定的量子操作或模拟复杂的量子过程，可能需要引入非厄米性。
总结来说，非厄米哈密顿量打破了量子力学中许多“理所当然”的性质，最显著的特点是：
允许复数能谱，虚部关联衰减或增长。
本征矢量可能非完备或非正交。
系统演化是非幺正的，总概率不守恒。
可能存在例外平行四边形，导致奇特的动力学和对参数变化的极高灵敏度。
这些特点使得非厄米哈密顿量成为了理解和描述开放系统、非平衡系统以及许多新兴物理现象的强大工具，并且为设计新型传感器、光电器件甚至量子技术提供了新的思路。
要理解非厄米哈密顿量的特点，我们最好先回顾一下厄米哈密顿量的一些核心性质，然后看看在失去这些性质后会发生什么。
厄米哈密顿量的基石：
实数谱： 厄米算符对应的可观测量，其本征值（也就是可测量的值）一定是实数。比如，我们测一个粒子的能量，得到的总是某个实数。
完备的本征矢量组： 厄米算符的本征矢量构成一个完备的正交基。这意味着我们可以用这些本征矢量来表示系统的任意状态，并且它们之间是“正交”的，不会互相干扰。
幺正演化： 系统的状态矢量随时间的演化由薛定谔方程描述：$ihbar frac{d}{dt}|psi(t) angle = H|psi(t) angle$。如果哈密顿量$H$是厄米的话，那么系统的状态矢量模长（也就是总概率）是守恒的，$langle psi(t)|psi(t) angle = 1$ 处处成立。
打破厄米性的后果：
一旦哈密顿量$H$不再满足$H^dagger = H$（其中$H^dagger$是$H$的厄米共轭），事情就会变得非常不一样：
1. 复数谱： 最直接的后果就是，非厄米哈密顿量的本征值（能量）通常是复数。一个复数可以写成实部和虚部，$lambda = E iGamma/2$。
实部 ($E$)： 这部分通常可以解释为系统的平均能量，类似于厄米情况下的能量。
虚部 ($Gamma$)： 这是关键！虚部通常与系统的衰减或增长有关。如果虚部是负的（$Gamma/2 < 0$），那么对应的本征态的概率幅（由$e^{iEt/hbar}e^{Gamma t/2hbar}$描述）会随着时间指数衰减，这意味着系统正在衰败，粒子可能从系统中“漏出”，或者系统本身在消耗能量。如果虚部是正的（$Gamma/2 > 0$），那么系统会指数增长，这意味着系统在“增殖”，这在某些非平衡系统中有可能出现。
2. 非完备或非正交的本征矢量： 非厄米算符的本征矢量可能不构成一个完备的正交基。这意味着我们不能简单地像在厄米系统中那样，用一套固定的“正交基”来描述系统的状态。这使得量子态的展开和演化分析变得更加复杂。在某些情况下，我们可能需要引入“双对偶基”（biorthogonal basis）来描述系统的演化。
3. 非幺正演化： 由于本征值的虚部不再是零，系统的总概率$langle psi(t)|psi(t) angle$不再守恒。
如果系统处于一个能量本征态，其概率会随时间衰减（对应负的虚部）。
如果系统处于多个本征态的叠加态，那么不同本征态的衰减速率不同，会导致整体概率的动态变化。
非厄米哈密顿量的“有趣”之处：
尽管听起来有些“破坏规则”，非厄米哈密顿量却在描述某些真实的物理现象时异常有用，并且展现出一些在标准量子力学中见不到的奇特性质：
例外平行四边形（Exceptional Points, EP）： 这是非厄米系统中最引人注目的现象之一。在厄米系统中，不同本征态的本征值（能量）通常不会在参数空间中“相遇”或“合并”。但在非厄米系统中，当系统参数变化到某个临界点时，两个或多个本征值以及它们的对应本征矢量会同时重合，这个点就叫做例外平行四边形。在这些点附近，系统的行为会发生剧烈的变化，例如：
平方根奇点： 能量与系统参数的关系会从线性的关系变成平方根的关系，这导致了非常特殊的动力学行为。
灵敏度急剧增强： 系统对微小参数变化的响应会变得异常敏感，这使得它们在传感等领域具有潜在的应用价值。
几何相位： 在循环遍历一个包含例外平行四边形的路径时，系统会获得一个与厄米系统不同的几何相位。
反厄米对称性（AntiHermitian Symmetry）： 有时候，哈密顿量可以被分解成一个厄米部分和一个反厄米部分：$H = H_{Hermitian} + iH_{AntiHermitian}$。其中$H_{AntiHermitian}^dagger = H_{AntiHermitian}$。这个反厄米部分就直接负责了系统的衰减或增长。
精确可对角化（Exact Diagonalizability）的拓展： 虽然非厄米算符的本征矢量不一定是正交的，但在特定情况下，它们仍然可以被精细地构造出来，用于描述系统的演化。
应用场景：
非厄米哈密顿量不再是纯粹的理论构造，它们在许多实际的物理系统中扮演着重要角色：
开放量子系统： 任何与环境有能量或粒子交换的量子系统，都可以用非厄米哈密顿量来描述。例如，一个处于散射环境中的量子点，或者一个有光子损耗的量子光学腔。
凝聚态物理：
拓扑相： 在某些具有“拓扑保护”的材料中，边缘态的性质可以用非厄米哈密顿量来刻画，这些系统可能展现出特殊的拓扑性质，例如“拓扑穿梭”效应。
非平衡态物理： 许多处于非平衡态的材料，比如激光介质、光泵浦的半导体等，其能带结构或激子动力学可以用非厄米模型描述。
光学系统： 光子在介质中的吸收（损耗）或放大（增益）过程，可以通过设计具有特定光学损耗或增益材料的波导阵列来模拟非厄米哈密顿量，并在其中观察到诸如例外平行四边形这样的效应。
量子信息： 在某些量子计算或量子模拟方案中，为了实现特定的量子操作或模拟复杂的量子过程，可能需要引入非厄米性。
总结来说，非厄米哈密顿量打破了量子力学中许多“理所当然”的性质，最显著的特点是：
允许复数能谱，虚部关联衰减或增长。
本征矢量可能非完备或非正交。
系统演化是非幺正的，总概率不守恒。
可能存在例外平行四边形，导致奇特的动力学和对参数变化的极高灵敏度。
这些特点使得非厄米哈密顿量成为了理解和描述开放系统、非平衡系统以及许多新兴物理现象的强大工具，并且为设计新型传感器、光电器件甚至量子技术提供了新的思路。
网友意见
我邀请到一位做NHQM的专家做在线报告。等周一听完报告再来总结一下吧。
https:// mp.weixin.qq.com/s/GtHw lYhGRVMsRP49ZkLrWA
报告已结束。我虽然看不懂，但大受震撼。赶紧去读文献去了。
有兴趣的可以阅读：
- Nimrod Moiseyev, "Non-Hermitian Quantum Mechanics", Cambridge University Press 2011.
- E. Narevicius and N. Moiseyev, "Non Hermitian Quantum Mechanics: Formalism and Applications" , Edited by E. Brandas, E. Kryachko, Fundamental Perspectives in Quantum Chemistry: A Tribute Volume to the Memory of Per-Olov Lowdin in Fundamental World of Quantum Chemisrty, Vol. II, 1-32. Netherland, Kluwer Publishing Co., 2003.
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