如何能更好地理解（ε-δ）语言极限的定义？
咱们就抛开那些冰冷的符号，一步步来体会它。
什么是极限？先找找感觉
在 $epsilondelta$ 之前，我们对极限的理解可能更直观：
比如，函数 $f(x) = 2x$ 在 $x=3$ 处的极限是 $6$。我们想说的是，当 $x$ 非常非常靠近 $3$ 的时候，无论我们是稍微大于 $3$ 还是稍微小于 $3$，只要 足够近，那么 $f(x)$ 的值就会非常非常靠近 $6$。
再比如，一个数列 $a_n = frac{1}{n}$。当 $n$ 越来越大时，$a_n$ 会越来越靠近 $0$。
这种“非常非常靠近”是关键，但问题是，怎么才能把这个“非常非常靠近”说清楚，说得严谨，说得不模棱两可呢？不能光靠感觉，也不能靠“差不多就得了”。数学就需要一种精确到极致的语言来描述这种精妙的“趋近”。
引入 $epsilon$ 和 $delta$：一场精确的对话
$epsilondelta$ 定义就是为这个“精确的趋近”量身定做的。咱们把它拆开来看。
想象一下，我们要证明某个函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限是 $L$。 $epsilondelta$ 定义的核心就是：
> “无论你想让 $f(x)$ 离 $L$ 有多近（这是 $epsilon$ 负责的事情），我总能找到一个方法，让 $x$ 离 $x_0$ 也近到一定的程度（这是 $delta$ 负责的事情），这样就能保证 $f(x)$ 离 $L$ 的距离比你想要的要小。”
听起来是不是有点像在玩一个“逼近游戏”？
1. $epsilon$（埃普西隆）：你想要的误差范围
$epsilon$ 是一个希腊字母，在这里，它代表的是 “你允许 $f(x)$ 与极限值 $L$ 之间的误差有多大？”
记住，$epsilon$ 是 任意小的正数。你可以想象成你是一个吹毛求疵的质检员，你说：“我要求产品（$f(x)$ 的值）跟标准件（$L$）的差距不能超过 $0.000001$！” 或者更夸张地说：“我要求差距不能超过 $0.00000000001$！”
数学上，这就写成 $|f(x) L| < epsilon$。 这个绝对值符号 $| cdot |$ 就是表示“距离”或者“差的绝对值”。
2. $delta$（德尔塔）：我能做到的“靠近”程度
$delta$ 也是一个希腊字母，在这里，它代表的是 “为了满足你对 $epsilon$ 的要求，我需要让自变量 $x$ 离原点 $x_0$ 有多近？”
关键在这里：$delta$ 的大小是依赖于 $epsilon$ 的。 换句话说，你对 $epsilon$ 的要求越严格（$epsilon$ 越小），我需要的 $delta$ 也可能越小，意味着我需要让 $x$ 离 $x_0$ 更近才能达到你的要求。
数学上，这就写成 $|x x_0| < delta$。
把它们串起来：定义的核心
$epsilondelta$ 定义的完整表达是这样的：
> 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限是 $L$，记作 $lim_{x o x_0} f(x) = L$，当且仅当：
>
> 对于任意给定的正数 $epsilon > 0$，都存在一个正数 $delta > 0$，使得当 $0 < |x x_0| < delta$ 时，都有 $|f(x) L| < epsilon$。
我们再来拆解这个定义，体会它的逻辑：
“对于任意给定的正数 $epsilon > 0$...”：这是第一步，也是最关键的“玩家设定”。意思是，不管你（质检员）给出的 $epsilon$ 有多小，我们都有信心满足。你说 $0.01$？没问题。你说 $0.001$？也行。你说 $0.00000001$？也得行。这体现了极限的“普遍性”和“无止境的逼近”。
“都存在一个正数 $delta > 0$...”：这是我们的承诺，也是我们要证明的部分。对于你给的那个任意小的 $epsilon$，我们总能 找到 （或者 构造出）一个对应的 $delta$。这个 $delta$ 不是随便找的，它必须是针对这个 $epsilon$ 量身定制的。
“使得当 $0 < |x x_0| < delta$ 时...”：这是我们采取的“行动”或者“条件”。我们说，只要你保证 $x$ 的值，在 $x_0$ 的“ $delta$ 个单位范围内”（不包括 $x_0$ 本身，所以有了那个 $0 <$），那么我们就能保证接下来的事情。
为什么是 $0 < |x x_0|$？ 因为极限讨论的是 $x$ 趋近于 $x_0$ 的情况，而不是 $x$ 等于 $x_0$ 的情况。当 $x = x_0$ 时，我们不关心 $f(x)$ 的值是多少（甚至可能没定义），只关心它无限接近时的表现。
“都有 $|f(x) L| < epsilon$。”：这是我们的“结果保证”。一旦我们满足了 $0 < |x x_0| < delta$ 这个条件，那么我们就能保证 $f(x)$ 与 $L$ 之间的差距，一定比你最初设定的 $epsilon$ 要小。也就是说，你对 $f(x)$ 的要求被满足了。
为什么需要这个定义？它解决了什么问题？
1. 精确性： 它把“无限接近”这个模糊的、靠直觉理解的概念，转化成了一套可以严格证明的数学语言。它消除了任何模糊的空间。
2. 普遍性： 它适用于各种各样的函数，包括那些不那么“乖巧”、图形不是那么平滑的函数。依靠图像或者直觉有时候会失效，但 $epsilondelta$ 定义提供了放之四海而皆准的判断标准。
3. 为微积分打下根基： 微积分的核心概念，比如导数和积分，都建立在极限的基础上。有了这个严谨的定义，整个微积分大厦才能稳固地建立起来。导数就是斜率的极限，积分就是面积的极限，如果没有 $epsilondelta$ 的严谨，这些概念就无从谈起。
举个例子来体会：证明 $lim_{x o 3} 2x = 6$
我们用 $epsilondelta$ 来试试。我们要证明：
> 对于任意给定的 $epsilon > 0$，都存在一个 $delta > 0$，使得当 $0 < |x 3| < delta$ 时，都有 $|2x 6| < epsilon$。
第一步：找到 $delta$ 与 $epsilon$ 的关系（“工作草稿”）
我们先从我们想要达到的结果 $|2x 6| < epsilon$ 入手，看看它和我们能控制的 $|x 3|$ 有什么关系。
$|2x 6| = |2(x 3)| = 2|x 3|$
所以，我们要达到 $|2x 6| < epsilon$，就相当于要达到 $2|x 3| < epsilon$。
继续变形，得到 $|x 3| < frac{epsilon}{2}$。
看！我们找到了 $delta$ 和 $epsilon$ 的关系。如果我们要保证 $|2x 6| < epsilon$，只需要保证 $|x 3| < frac{epsilon}{2}$ 就行。
第二步：正式的证明（按照定义来写）
1. 任意给定 $epsilon > 0$。 （我们接受了这个“质检员”的要求）
2. 取 $delta = frac{epsilon}{2}$。 （我们找到了一个 $delta$，并且因为 $epsilon > 0$，所以 $delta > 0$，满足了存在的条件）
3. 假设 $x$ 满足 $0 < |x 3| < delta$。 （我们进入了我们设定的“操作空间”）
4. 那么我们有 $|x 3| < frac{epsilon}{2}$。 （这是我们刚刚做的假设）
5. 将不等式两边同乘以 $2$，我们得到 $2|x 3| < 2 imes frac{epsilon}{2}$。 （数学操作）
6. 所以 $2|x 3| < epsilon$。
7. 因为 $2|x 3| = |2x 6|$，所以 $|2x 6| < epsilon$。 （我们得到了想要的结果）
结论： 我们成功地证明了，对于任意给定的 $epsilon > 0$，我们总能找到一个 $delta = frac{epsilon}{2}$，使得当 $0 < |x 3| < delta$ 时，就有 $|2x 6| < epsilon$。因此，$lim_{x o 3} 2x = 6$。
再举个需要细心的例子：证明 $lim_{x o 2} x^2 = 4$
这次要证明的是：对于任意给定的 $epsilon > 0$，都存在一个 $delta > 0$，使得当 $0 < |x 2| < delta$ 时，都有 $|x^2 4| < epsilon$。
第一步：找到 $delta$ 与 $epsilon$ 的关系（“工作草稿”）
我们想让 $|x^2 4| < epsilon$。
$|x^2 4| = |(x2)(x+2)| = |x2| |x+2|$。
所以，我们要达到 $|x2| |x+2| < epsilon$。
这里出现了一个问题：我们知道 $|x2|$ 要小于 $delta$，但是 $|x+2|$ 的值是怎么样的呢？它也跟 $x$ 有关，并且会跟着 $x$ 变化。我们不能直接说 $|x+2| < ext{某个常数}$，因为 $x$ 的范围是不确定的，只知道它在 $x_0=2$ 附近。
所以，我们需要对 $|x+2|$ 做一个“限制”，让它有个“上限”。
我们先粗略地限制一下 $x$ 的范围。既然是 $x o 2$，我们可以假设 $x$ 离 $2$ 不太远，比如，我们先限定 $delta le 1$。
如果 $|x 2| < 1$，那么 $1 < x 2 < 1$，也就是说 $1 < x < 3$。
在这种情况下，$x+2$ 的范围是：
$1+2 < x+2 < 3+2$，即 $3 < x+2 < 5$。
所以，在这个范围内，$|x+2|$ 的值总是小于 $5$。
现在我们回到 $|x2| |x+2| < epsilon$。
如果我们有 $|x2| < delta$ 并且 $|x+2| < 5$ （当我们选 $delta le 1$ 的时候），那么我们可以说：
$|x^2 4| = |x2||x+2| < delta imes 5 = 5delta$。
我们希望 $5delta < epsilon$，所以 $delta < frac{epsilon}{5}$。
但是我们之前为了限制 $|x+2|$ 做了一个假设：$delta le 1$。所以我们必须同时满足这两个条件：$delta < frac{epsilon}{5}$ 并且 $delta le 1$。
因此，我们选择 $delta$ 的值为 $delta = min(1, frac{epsilon}{5})$。
（这里的意思是，取 $1$ 和 $frac{epsilon}{5}$ 里面较小的那一个作为 $delta$）。
这样做的好处是：
如果 $frac{epsilon}{5}$ 很大，比如 $epsilon=10$，那么 $frac{epsilon}{5}=2$。我们选 $delta = min(1, 2) = 1$。这时，我们保证了 $|x2|<1$，所以 $|x+2|<5$ 是成立的，并且 $5delta = 5 imes 1 = 5$。我们有 $|x^24| < 5delta = 5$。而 $5 < epsilon = 10$ 是成立的。
如果 $frac{epsilon}{5}$ 很小，比如 $epsilon=0.1$，那么 $frac{epsilon}{5}=0.02$。我们选 $delta = min(1, 0.02) = 0.02$。这时，我们保证了 $|x2|<0.02$，这肯定小于 $1$，所以 $|x+2|<5$ 是成立的，并且 $5delta = 5 imes 0.02 = 0.1$。我们有 $|x^24| < 5delta = 0.1$。而 $0.1 < epsilon = 0.1$ 是成立的（严格说应该是小于，所以这里要小心一点，但是选择 $delta = min(1, epsilon/5)$ 的做法是正确的，可以保证 $|x^24| < epsilon$）。
第二步：正式的证明
1. 任意给定 $epsilon > 0$。
2. 取 $delta = min(1, frac{epsilon}{5})$。 （我们选择了一个 $delta$，它保证了 $delta le 1$ 和 $delta le frac{epsilon}{5}$）
3. 假设 $x$ 满足 $0 < |x 2| < delta$。
4. 因为 $delta le 1$，所以 $|x 2| < 1$。 这意味着 $1 < x 2 < 1$，所以 $1 < x < 3$。
5. 因此，$x+2$ 的范围是 $3 < x+2 < 5$。所以 $|x+2| < 5$。
6. 同时，因为 $delta le frac{epsilon}{5}$，所以 $|x 2| < frac{epsilon}{5}$。
7. 现在我们看 $|x^2 4|$：
$|x^2 4| = |x2||x+2|$
由于 $|x2| < delta$ 并且 $|x+2| < 5$，我们可以写成：
$|x^2 4| < delta imes 5$
又因为我们选择的 $delta le frac{epsilon}{5}$，所以：
$|x^2 4| < frac{epsilon}{5} imes 5 = epsilon$。
结论： 我们成功地证明了，对于任意给定的 $epsilon > 0$，我们总能找到一个 $delta = min(1, frac{epsilon}{5})$，使得当 $0 < |x 2| < delta$ 时，就有 $|x^2 4| < epsilon$。因此，$lim_{x o 2} x^2 = 4$。
这个例子说明了，寻找 $delta$ 的过程可能需要一些额外的分析和技巧，特别是当函数不是线性的时候。这正是 $epsilondelta$ 定义的魅力所在——它提供了一个通用的框架，但具体的实现需要对函数性质的深入理解。
总结一下，要更好地理解 $epsilondelta$ 定义，记住以下几点：
它是一场“对话”： $epsilon$ 是你提出的要求，$delta$ 是我能做到的保证。
目标是普适性： 无论你提出的 $epsilon$ 多小，我都能找到一个相应的 $delta$ 来满足你。
过程是分析： 要找到 $delta$ 往往需要从我们想要达到的结果 $|f(x)L|<epsilon$ 出发，一步步推导出对 $|xx_0|$ 的限制，并巧妙地处理那些不确定的项（比如 $|x+2|$）。
它是一个“链条”： $epsilon xrightarrow{ ext{要求}} delta xrightarrow{ ext{行动}} |xx_0|<delta xrightarrow{ ext{保证}} |f(x)L|<epsilon$。
一旦你不再把它们看作是冰冷的符号，而是理解它们背后那个“精确逼近”的意图，并且试着去“做”几个例子，你会发现 $epsilondelta$ 定义并不是那么难以理解，反而是数学逻辑严谨性的一个绝佳体现。它像一把尺子，让你能精确地丈量“无限接近”的距离。
网友意见
这个回答主要是说一下一阶逻辑的博弈语义。
看到类似的问题还有很多，比如：
所以感觉还是有必要好好解释一下量词“任意 ”和“存在 ”到底是什么意思。
， ，很多初学微积分的同学都很难理解这种对极限的定义，所以只能靠直觉，把它理解为 在不断地向0移动，而 也随着 在动。可以看到，这种直觉式的、非数学化的理解在知乎上遭到了批评。人们会说， 并不是在向0移动，更不是它带动着 一起动，你应该理解成 可以取任何大于0的数，blabla...
这种批评当然是有道理的，但我不认为这样的批评对新人把握这一定义有丝毫帮助，尤其是对于刚从重技巧轻定义的高中数学中脱离出来的大一新生们。这个问题下 @Yuhang Liu 的回答我觉得对新人理解量词有很好的帮助，不过由于最近在看博弈相关的东西，我发现博弈语义更为直观，能帮新人更好地理解量词。下面给出量词的博弈语义的通俗描述。
现在要判断这样一个命题的真假：“对每个实数，都有比它更大的数。”，用形式语言来说就成了这样： 。我们都知道这个命题是对的，但怎么判断它是对的呢？现在假设F和T两人，F希望证明它错，T希望证明它对，于是就会发生类似下面这样的对话：
F: 有比100更大的数吗？ T: 101
F: 有比10000更大的？ T: 10001
F:99999呢？？？ T: 100000
......
F: 我服了
可以看到，不管A取了哪一个数试图证伪这一命题，B都能找到更大的数使得A的证伪不成功。由上可以总结一个规律：
- 对一个形如 的命题（ 是一个带有 的数学命题），可以假设有两个人（T/F）分别希望证明/证伪它。
- 现在从左到右读这个命题：
- 读到 量词时，让F去为 后面那个字母选一个值，把这个值代入到后面那个 当中；（比如上面F在几轮对话中分别选了100,10000,99999）
- 读到 量词时，让T去为 后面那个字母选一个值，同样也代入后面的 里。（比如上面T在几轮对话中分别选了101,10001,100000）
- 按这种方式读取这一命题，直至读完了全部量词，读到了最后这个 为止。
注意，这个 本身是没有真假的，比如在上例中， 就是这个 ，它在还没有选择 的值时根本无从讨论真假。但经过上述过程后， 里出现的所有字母都已经被T和F选择的具体的值所替代了，因此现在这个 就可以判断真假了，如果它为真，那么T就赢了；它为假，那F就赢了。
如果按照上述流程，不论F怎么选择，T都有获胜的办法（即T有必胜策略），那么 就是真的。反之，如果F有必胜策略，那么原命题就是假的。（在上述 的例子中，显然T有获胜策略，因此该命题为真。）
这种博弈式的解释其实跟传统的对量词的解释并无二致。传统解释是说， 不管 是多少，都有一个 跟它满足什么什么关系。这种解释只不过是在传统解释的基础上引入了两个博弈者，一个希望证明，另一个希望证伪。仅此而已。但它确实比传统解释要更容易理解得多。
这里再以数列极限的 定义为例，看看上述的博弈式解释具体怎么便于理解。假设数列 ，显然它的极限为0，极限为零的定义是这样： 。我上本科的时候，老师解释为“对任意小的 ，都存在足够大的 ，使得当 时， 与0的距离小于 ”。可是定义里并没有说 是任意“小”的啊，它只说了 是任意的，为什么不能是任意“大”？为什么这个存在的 是足够“大”的？这些都没有体现在定义里，但如果用博弈的方式来理解，T想证明 极限为0，F想证否，那么按照上述博弈流程，因为 在前 在后，所以F先为 选一个值。又因为F希望证否这个命题，而 又是处于小于号的右边，因此一个小的 比大的 更可能使F获胜。同理也可以解释为什么 要取足够大的值，因为更大的 更可能使得T获胜。
总结一下：按照在量词 在命题中出现的顺序， TF先后行动，为自己控制的变元字母选择一个值。这样一来，原命题为真（为假）就等价于T（F）有必胜策略。现在一个问题是，命题一定有真假，但博弈可不一定有某一方有必胜策略。不过好在这一点已经被证明了：上述博弈必有一方有获胜策略。
那么否定命题怎么办？比如证明某数列 极限不为0，也就是要证明 ，老师会告诉我们，这一命题等价于 ，初学者通常很难理解，为什么否定符号 可以移到里面去？为什么它移到里面去的时候，前面的量词 要互换？其实用博弈式解释就很好理解了。 意为 为假，即希望证伪的F有必胜策略，在后一个命题中， F是在 T 之前行动，它的选择不依赖于T，因此它的必胜策略一定是这样：
F发现有这么一个值，只要给 选这个值，那之后T不管给 选什么值，后面的 都为假。
这就等价于： 。因此， 等价于 。当然，也可以理解为，在 中，F是证伪的一方，而把这个命题否定后，它就变成了证明的一方，而T却变成了证伪的一方，因此要把它们互换一下。
总结一下：当看到带量词的命题时，从左到右读它，读到“任意”时，想想该怎么证伪这个命题，读到“存在”时，想想该怎么证明这个命题。这算是在“理解要执行，不理解也要执行，在执行中就能理解了”。
======下面是更深的东西======
量词是一阶逻辑中的符号，我在其他几个回答中对一阶逻辑的经典语义有过介绍。上面并不是我个人对一阶逻辑的通俗的、不严谨的理解，而是正经的一阶逻辑的博弈语义。上面已经介绍了量词与否定符号的博弈语义，只要再有逻辑连接词 的博弈语义，再加上经典的对谓词符号、函数符号的语义，就可以得到完整的博弈语义。 的语义也很简单， 的语义是这样：先由证明方选择 当中的一个，然后继续按上述流程博弈。比如 ，根据排中律左右两支显然有一个为真，那么T的必胜策略就是选择这个为真的一支就好了。
有了这些之后，我们可以用更严格的形式语言定义一整套关于一阶逻辑的博弈语义。如果对模态逻辑有了解的话，可以知道，模态逻辑中的模态词 （分别表示必然和可能）和一阶逻辑中的 很相似，因此对模态逻辑也可以给出相似的博弈语义：证伪的F和证明的T分别控制了 ，然后按模态词在模态公式中出现的先后顺序，在克里普克模型上选择相应的后继点就行了。又由于克里普克模型其实就是一种有向图，因此图论的许多问题也可用博弈重新定义一遍，比如图的连通性、两点间的可达性等等。又还有很多其他问题可以转化为图论问题......
博弈式解释能对这些领域的研究起到多大帮助还不知道，但这种交叉研究还是有意义的。它至少让我们对逻辑的本质提出了一些新的问题，逻辑哲学上对如何理解一阶逻辑的量词（尤其是“存在”）有太多的讨论，博弈语义又为这一讨论加了一种新的“动态式的”理解。
参考文献：Johan van Benthem: Logic in Games （读者需要有博弈论、一阶逻辑、模态逻辑以及一些信息、计算等方面知识背景）
谢邀。
总是被别人问到这样的问题。这个回答尝试终结这种系列的问题。我觉得造成初学者困惑的主要原因还是对逻辑量词不熟悉。所以我打算把日常语言用逻辑符号的形式重写，让大家直观理解什么叫“对任意”“存在”。
国家， 数值h，使得： 司机：（司机酒精含量>h） (司机在该国被判定为醉驾)。
什么意思呢？不同国家有不同的醉驾标准，我上面的语言不过是把“醉驾标准”这个事情仔细说清楚而已。
然后顺便解释一下“逻辑量词换序”的常见问题。我能够先写 司机，再写 数值h 么？不能。为什么？因为h只依赖于国家，不依赖于司机个人，法律面前人人平等，这叫h相对于全体司机的一致性——对比下一致连续、一致收敛的定义。
再举个例子：
国家， 两个整数a1,a2，使得： 男人 女人：（男人年龄>a1） (女人年龄>a2) 男人和女人在该国可以合法结婚。
无非是说不同国家对男性女性分别有不同的结婚年龄规定而已。
好，再回过头来看极限定义：
如果上述命题成立，则我们称 .
和我前面举的两个例子有本质区别么？非要说有，无非两个：1.世界上的国家只有有限多种选择，而 是实数，有（不可数）无穷多种选择；2.使用的变量从日常生活对象变成了抽象的字母，不太好找日常对应物。
用大白话也可以叙述极限定义，稍微啰嗦一点：
我们来玩一个游戏：你随便报一个正数，越小越好；我回应一个正数，然后我们检查一下：是不是只要x离a的距离小于我回应的正数且x≠a，那么f(x)离A的距离就小于你报的正数？如果是的，我赢了；如果不是，存在一个x作为反例，那么你赢了。
而极限存在是什么意思呢？对于一开始给定的函数f, 实数a，A，我有必胜策略。
其实我感觉这种基本逻辑，大部分人都能理解，只不过他们一看到抽象的字母、逻辑符号，就失去了理解的耐心而已。而我把他们包装成游戏的形式，然后再考虑给点奖励什么的，说不定有些人就能提起兴趣，集中注意力一次性看完整个语句，于是就开窍了，秒懂了。
语言在逻辑上并不比三国杀的各种技能设定更复杂。你能玩桌游，能打麻将，能看明白淘宝各种优惠券的复杂条件，就应该有能力理解极限定义。不要自己把自己吓怕了，真的没那么难。
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生活就像一条河，时而平静如镜，时而波涛汹涌。而我们的情绪，就像这河水，有时候会因为外界的触动而泛起涟漪，甚至汹涌澎湃。我们都希望自己能像一位经验丰富的船夫，在情绪的河流中稳稳地掌舵，而不是被突如其来的浪头打翻。“抬杠”——这个词，相信很多人都不陌生。它常常出现在我们与人交流的场景中，带着一股莫名的冲.............
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和农村父母沟通，这可不是一件容易的事，尤其是当你觉得自己和他们的世界渐行渐远的时候。但别担心，这不是绝症，而是需要点技巧和耐心的活儿。让咱们好好聊聊，怎么才能把这沟通的桥梁搭得更稳当。首先，放下你的“都市优越感”，回到他们的频道里。我知道，你可能在城市里见识了各种新鲜事物，学了好多理论，觉得父母那些.............
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要深入体会马尔克斯的《百年孤独》，确实需要一些耐心和方法。这本书如同一个庞大、迷离的家族史诗，充满了魔幻的色彩，也隐藏着深刻的寓意。与其说“读懂”，不如说去“感受”，去沉浸其中。以下是一些我认为能帮助你更好地阅读《百年孤独》的建议，尽量讲得细致些，希望能让你在阅读过程中获得更丰富的体验：1. 放下“.............
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