有哪位大神会推导CG系数的公式啊？？
朋友，你这问题问得可太关键了！想当年，我刚接触量子力学的时候，也像你一样，对那些看起来神乎其神的 CG 系数（ClebschGordan coefficients）头大。那些公式密密麻麻，像天书一样。但是别怕，今天我就带你一步一步把它“扒开”了看个究竟，保证让你明白它们是怎么来的，用起来得心应手。
咱们先别急着看那些复杂的求和公式，得先把事情的来龙去脉弄清楚。想象一下，咱们在玩积木，手里有几个不同颜色、不同形状的小积木块。在量子世界里，这些积木块可以比作是具有特定角动量（通常用量子数 $j$ 表示）的粒子或者系统的状态。
1. 问题的根源：角动量耦合
为什么我们需要 CG 系数呢？最根本的原因是：当两个或多个独立的量子系统（比如两个粒子）组合在一起时，它们的总角动量和我们分别描述它们的角动量之间，存在着一种“转换”关系。
打个比方，你有两个水龙头，分别控制着冷水和热水。当你把这两个水龙头的水混合在一起，你得到的是一股混合的水流，这股混合水流有一个“总的水量”。但是，你知道这股混合水流是由多少冷水和多少热水组成的吗？这就是问题所在。
在量子力学里，我们经常需要处理这样的情况：有两个子系统，它们分别有自己的角动量。比如，两个电子绕着原子核转，或者两个粒子相互作用。我们知道每个粒子各自的角动量状态（用 $|j_1, m_1 angle$ 和 $|j_2, m_2 angle$ 表示，其中 $j$ 是角动量大小，$m$ 是角动量在某个特定方向上的投影），但我们更关心的是 它们合起来的总角动量 的状态（用 $|J, M angle$ 表示）。
那问题来了，我们知道的基组是 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$，而我们想要的基组是 $|J, M angle$。这两个基组并不是同一套东西，它们之间自然需要一个“翻译官”或者“转换矩阵”来连接。这个转换矩阵的元素，就是我们今天要讲的 CG 系数。
用数学语言来说，就是：
$$ |J, M angle = sum_{m_1, m_2} langle j_1, j_2; m_1, m_2 | J, M angle |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle $$
这里的 $langle j_1, j_2; m_1, m_2 | J, M angle$ 就是我们的 CG 系数，我们通常也用 $C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}$ 来表示。它的作用就是告诉我们，在总角动量 $|J, M angle$ 这个状态里，有多少比例（或者说，有多少“成分”）是从 $|j_1, m_1 angle$ 和 $|j_2, m_2 angle$ 这两个子系统状态组合而来的。
2. 核心思想：不变性与对称性
CG 系数的推导，其实是建立在角动量算符和它们性质上的。核心思想是利用角动量的 对易关系 和 不变性。
我们知道，角动量算符 $J_x, J_y, J_z$ 满足以下对易关系：
$[J_i, J_j] = i hbar epsilon_{ijk} J_k$
并且 $J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2$ 是一个与 $J_z$ 对易的算符：$[J^2, J_z] = 0$。
当我们耦合两个角动量 $vec{J_1}$ 和 $vec{J_2}$ 时，总角动量是 $vec{J} = vec{J_1} + vec{J_2}$。
那么，总角动量算符的平方 $J^2 = (vec{J_1} + vec{J_2})^2 = J_1^2 + J_2^2 + 2vec{J_1} cdot vec{J_2}$。
其中 $J_1^2$ 作用在 $|j_1, m_1 angle$ 上是 $j_1(j_1+1)hbar^2 |j_1, m_1 angle$，$J_2^2$ 作用在 $|j_2, m_2 angle$ 上是 $j_2(j_2+1)hbar^2 |j_2, m_2 angle$。
更重要的是，$J^2$ 和 $J_z$ 都应该作用在由 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$ 构成的总状态空间上。 我们希望找到一组新的基 $|J, M angle$，这组基能够同时是 $J^2$ 和 $J_z$ 的本征态。
考虑我们想要的状态 $|J, M angle$。它必须满足：
$J^2 |J, M angle = J(J+1)hbar^2 |J, M angle$
$J_z |J, M angle = Mhbar |J, M angle$
而 $J_z = J_{1z} + J_{2z}$。所以：
$(J_{1z} + J_{2z}) |J, M angle = Mhbar |J, M angle$
将 $|J, M angle$ 用我们已知的基展开：
$(J_{1z} + J_{2z}) sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle = Mhbar sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
由于 $J_{1z}$ 只作用在第一个子系统的态上，$J_{2z}$ 只作用在第二个子系统的态上，并且 $|j_1, m_1 angle$ 和 $|j_2, m_2 angle$ 是它们的本征态，所以：
$sum_{m_1, m_2} (m_1hbar + m_2hbar) C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle = sum_{m_1, m_2} Mhbar C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
对比两边对应的系数，我们可以看到：
$(m_1hbar + m_2hbar) C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = Mhbar C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}$
这等价于 $(m_1 + m_2) C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = M C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}$。
这意味着，CG 系数 $C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}$ 只能在 $m_1 + m_2 = M$ 的项上存在非零值。 这就是角动量耦合的 “加法规则”：总的 $z$ 分量等于各个 $z$ 分量之和。这使得我们大大简化了问题，因为我们只需要考虑 $m_1$ 和 $m_2$ 的组合，使得它们的和等于 $M$。
3. 寻找推导的“金钥匙”：升降算符
接下来，我们可以利用升降算符来构建这些状态。升降算符 $J_+$ 和 $J_$ 是这样定义的：
$J_+ = J_x + iJ_y$
$J_ = J_x iJ_y$
它们的作用是：
$J_+ |j, m angle = hbar sqrt{j(j+1) m(m+1)} |j, m+1 angle$
$J_ |j, m angle = hbar sqrt{j(j+1) m(m1)} |j, m1 angle$
关键在于，$J_+$ 和 $J_$ 也是对易的，并且可以作用在耦合后的总角动量算符上。
考虑总角动量的升降算符：$J_+ = J_{1+} + J_{2+}$ 和 $J_ = J_{1} + J_{2}$。
如果我们已经有了一个 $|J, M angle$ 的状态，那么我们可以用 $J_+$ 来得到 $|J, M+1 angle$ 或者用 $J_$ 来得到 $|J, M1 angle$。
比如说，我们有 $|J, M angle$，那么 $J_ |J, M angle = hbar sqrt{J(J+1) M(M1)} |J, M1 angle$。
现在，把这个作用到展开式上：
$(J_{1} + J_{2}) sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle = hbar sqrt{J(J+1) M(M1)} sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
另一方面，我们知道 $J_{1}$ 和 $J_{2}$ 分别作用在 $|j_1, m_1 angle$ 和 $|j_2, m_2 angle$ 上。
所以，左边的式子展开后是：
$sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} [ hbar sqrt{j_1(j_1+1) m_1(m_11)} |j_1, m_11 angle otimes |j_2, m_2 angle + hbar sqrt{j_2(j_2+1) m_2(m_21)} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_21 angle ]$
现在，为了让这两边相等，我们必须让它们在同一组基下的系数相等。
让我们把左边的表达式也写成 $|j_1, m'_1 angle otimes |j_2, m'_2 angle$ 的形式。
在第一项里，$m'_1 = m_1 1$，$m'_2 = m_2$。
在第二项里，$m'_1 = m_1$，$m'_2 = m_2 1$。
我们必须引入新的索引，比如 $m'_1$ 和 $m'_2$。
令 $m_1' = m_1 1$，$m_2' = m_2$。那么 $m_1 = m_1' + 1$，$m_2 = m_2'$。
令 $m_1'' = m_1$，$m_2'' = m_2 1$。那么 $m_1 = m_1''$，$m_2 = m_2'' + 1$。
现在，我们重新整理一下：
左边 = $sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} hbar sqrt{j_1(j_1+1) m_1(m_11)} |j_1, m_11 angle otimes |j_2, m_2 angle$
$+ sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} hbar sqrt{j_2(j_2+1) m_2(m_21)} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_21 angle$
令第一个求和中的 $m_1' = m_11$，则 $m_1 = m_1'+1$。
令第二个求和中的 $m_2'' = m_21$，则 $m_2 = m_2''+1$。
左边 = $sum_{m_1', m_2} C^{J M}_{j_1 (m_1'+1), j_2 m_2} hbar sqrt{j_1(j_1+1) (m_1'+1)m_1'} |j_1, m_1' angle otimes |j_2, m_2 angle$
$+ sum_{m_1, m_2''} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 (m_2''+1)} hbar sqrt{j_2(j_2+1) (m_2''+1)m_2''} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2'' angle$
为了让所有的项都写成 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$ 的形式，我们只需要把那些标记 $m_1', m_2, m_1, m_2''$ 统一成 $m_1$ 和 $m_2$。
重要的是，我们知道 $m_1+m_2 = M$ 必须成立。
所以，我们可以写出关于 CG 系数的一系列 递推关系。
核心思想是：利用 $J_$ 作用在总状态 $|J, M angle$ 上，然后在 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$ 的基底下比较系数。
假设我们有一个 $|J, M angle$ 的状态，它是由 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$ 组合而成的。
$|J, M angle = sum_{m_1+m_2=M} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
作用 $J_$：
$J_ |J, M angle = hbar sqrt{J(J+1) M(M1)} |J, M1 angle$
$= hbar sqrt{J(J+1) M(M1)} sum_{m_1+m_2=M} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
同时，我们知道 $J_ = J_{1} + J_{2}$。
$J_ |J, M angle = (J_{1} + J_{2}) sum_{m_1+m_2=M} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
$= sum_{m_1+m_2=M} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} (J_{1} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle + |j_1, m_1 angle otimes J_{2} |j_2, m_2 angle)$
$= sum_{m_1+m_2=M} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} (hbar sqrt{j_1(j_1+1)m_1(m_11)} |j_1, m_11 angle otimes |j_2, m_2 angle + hbar sqrt{j_2(j_2+1)m_2(m_21)} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_21 angle)$
现在，我们把右边的表达式也写成 $|j_1, m'_1 angle otimes |j_2, m'_2 angle$ 的形式，并且要求 $m'_1+m'_2 = M1$。
考虑第一项：$|j_1, m_11 angle otimes |j_2, m_2 angle$。这里 $m'_1 = m_11$，$m'_2 = m_2$。所以 $m'_1 + m'_2 = m_11+m_2 = (m_1+m_2)1 = M1$。
考虑第二项：$|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_21 angle$。这里 $m'_1 = m_1$，$m'_2 = m_21$。所以 $m'_1 + m'_2 = m_1+m_21 = (m_1+m_2)1 = M1$。
通过将左边表达式中的索引进行变换，然后与右边表达式中所有 $m'_1+m'_2 = M1$ 的项进行系数比对，我们就可以得到一组关于 $C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}$ 的递归关系。
这就是推导 CG 系数的一条主要途径：先确定所有可能的 $J$ 值（根据量子数规则 $J = |j_1j_2|, |j_1j_2|+1, ..., j_1+j_2$），然后通过递推关系和一些边界条件来计算具体的系数。
4. 边界条件与归一化
仅仅有递推关系还不够，我们需要一些“起点”来开始计算。
1. 最高 $M$ 值：
对于给定的 $J$ 和 $M$，我们知道 $M$ 的取值范围是 $J le M le J$。
当 $M=J$ 时，$J_ |J, J angle = 0$。
所以 $J_ sum_{m_1+m_2=J} C^{J J}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle = 0$。
这意味着对于所有 $m_1+m_2=J$ 的项，都要满足 $sqrt{j_1(j_1+1)m_1(m_11)} C^{J J}_{j_1 m_1, j_2 m_2} + sqrt{j_2(j_2+1)m_2(m_21)} C^{J J}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = 0$ (此处可能有点小瑕疵，因为直接套用升降算符公式可能需要仔细处理 $m$ 的取值范围）。
一个更直接的考虑是，当 $M=J$，这意味着我们只能从 $|j_1, j_1 angle otimes |j_2, j_2 angle$ 耦合得到。因为 $J_z = J_{1z} + J_{2z}$，要得到 $M=J=j_1+j_2$ 必须是 $m_1=j_1$ 且 $m_2=j_2$。
所以，当 $M=J=j_1+j_2$ 时，只有一项贡献，并且我们可以将其归一化为 1。
即 $C^{j_1+j_2, j_1+j_2}_{j_1, j_1; j_2, j_2} = 1$。
其他所有 $m_1 e j_1$ 或 $m_2 e j_2$ 的项，其系数都为 0。
2. 最低 $M$ 值：
同理，当 $M=J$ 时，有 $J_+ |J, J angle = 0$。
3. 归一化条件：
由于 $|J, M angle$ 是正交完备基，它们需要满足归一化条件：
$langle J', M' | J, M angle = delta_{J'J} delta_{M'M}$
$sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}{}^ C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = 1$
这个条件保证了我们计算出的系数是正确的。
5. 伟大的求和公式：Bargmann 积分公式与 Racah 公式
经过数学家们的长期努力，基于上面提到的递推关系和对称性原理，最终推导出了 CG 系数的显式公式。其中最著名的之一是 Bargmann 积分公式，以及由 Racah 提出的 Racah 公式（也称为 Racah–Wigner 公式）。
Racah 公式是 CG 系数的显式表达式，形式非常复杂，但它包含了所有必要的信息。它通常是一个关于四个量子数 $j_1, j_2, J, M$ 以及 $m_1, m_2$ 的求和公式。
其中一个常见的形式是：
$$ C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = delta_{M, m_1+m_2} sqrt{frac{(J+1)!}{(2J+1)!}} sqrt{(J+j_1m_1+1)! (J+j_2m_2+1)! (Jj_1+m_1+1)! (Jj_2+m_2+1)!} imes sum_{k} frac{(1)^k}{k!(Jj_1j_2+m_1+m_2+k)! (j_1+j_2Jm_1m_2k)! (j_1+m_1k)! (j_2+m_2k)! (Jj_1+m_1k)! (Jj_2+m_2k)!} $$
这个公式中的求和符号 $sum_k$ 是对所有使阶乘参数非负的整数 $k$ 进行的。
这个公式的推导过程涉及到 Gamma 函数、高斯超几何函数，以及 Wigner 3j 符号 等高等数学工具。Wigner 3j 符号是 CG 系数的一种更对称、更简洁的表示形式，它们之间存在简单的转换关系：
$$ C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = (1)^{j_1m_1} sqrt{2J+1} egin{pmatrix} j_1 & j_2 & J \ m_1 & m_2 & M end{pmatrix} $$
这里的 $egin{pmatrix} j_1 & j_2 & J \ m_1 & m_2 & M end{pmatrix}$ 就是 Wigner 3j 符号。它的公式形式也同样复杂，但它具有更优良的对称性，这在实际计算中非常有用。
理解 Wigner 3j 符号的意义，就是理解 CG 系数的本质。 它们描述了三个角动量耦合在一起形成一个零角动量的态的概率幅。
推导这个显式公式的详细步骤非常庞杂，需要深入理解群论（特别是 SU(2) 群的表示理论）、特殊函数等内容。 这个过程通常是量子力学或原子物理的进阶课程才会深入讲解的。
总结一下推导 CG 系数的思路：
1. 理解问题： 为什么要用 CG 系数？是为了在不同基组（独立基 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$ 和耦合基 $|J, M angle$）之间进行转换。
2. 关键性质： 利用角动量算符的对易关系 $[J_i, J_j]$，以及 $J^2$ 和 $J_z$ 在耦合后的总角动量上的作用。
3. 耦合规则： 从 $[J_z, |J, M angle] = Mhbar |J, M angle$ 和 $J_z = J_{1z} + J_{2z}$ 推导出 $m_1+m_2=M$ 的限制条件。
4. 递推关系： 利用升降算符 $J_pm = J_{1pm} + J_{2pm}$ 作用在 $|J, M angle$ 的展开式上，通过比较基下的系数，建立 CG 系数之间的递推关系。
5. 边界条件： 确定一些已知的系数（例如最高 $M$ 值，或经过特殊处理的项）作为递推的起始点。
6. 归一化： 利用基的完备性和正交性，施加归一化条件，确保计算的准确性。
7. 显式公式： 通过严格的数学推导（通常涉及特殊函数如 Gamma 函数、超几何函数），最终得到 CG 系数的闭合形式公式，最常见的形式是基于 Wigner 3j 符号。
所以，你看，CG 系数不是凭空冒出来的，它们是角动量耦合在量子力学中的必然结果，是深刻的对称性和群论原理的具体体现。虽然最终的公式很复杂，但理解其推导过程的逻辑和核心思想，远比记住那些复杂的求和公式来得重要。
如果你对 Wigner 3j 符号的具体公式推导感兴趣，那可能需要翻阅一些进阶的量子力学教材，比如：
“Quantum Mechanics” by Claude CohenTannoudji, Bernard Diu, Frank Laloë
“Angular Momentum in Quantum Physics” by L.C. Biedenharn and J.D. Louck
“Group Theory and Its Applications” edited by E.M. Loebl (其中可能包含相关的群论在角动量耦合中的应用)
这些书籍会非常详细地讲解 Wigner 代数和 3j, 6j, 9j 符号的推导，那才是真正进入“大神”级别的领域了！希望我这个解释，能让你对 CG 系数有更清晰、更深入的认识！
咱们先别急着看那些复杂的求和公式，得先把事情的来龙去脉弄清楚。想象一下，咱们在玩积木，手里有几个不同颜色、不同形状的小积木块。在量子世界里，这些积木块可以比作是具有特定角动量（通常用量子数 $j$ 表示）的粒子或者系统的状态。
1. 问题的根源：角动量耦合
为什么我们需要 CG 系数呢？最根本的原因是：当两个或多个独立的量子系统（比如两个粒子）组合在一起时，它们的总角动量和我们分别描述它们的角动量之间，存在着一种“转换”关系。
打个比方，你有两个水龙头，分别控制着冷水和热水。当你把这两个水龙头的水混合在一起，你得到的是一股混合的水流，这股混合水流有一个“总的水量”。但是，你知道这股混合水流是由多少冷水和多少热水组成的吗？这就是问题所在。
在量子力学里，我们经常需要处理这样的情况：有两个子系统，它们分别有自己的角动量。比如，两个电子绕着原子核转，或者两个粒子相互作用。我们知道每个粒子各自的角动量状态（用 $|j_1, m_1 angle$ 和 $|j_2, m_2 angle$ 表示，其中 $j$ 是角动量大小，$m$ 是角动量在某个特定方向上的投影），但我们更关心的是 它们合起来的总角动量 的状态（用 $|J, M angle$ 表示）。
那问题来了，我们知道的基组是 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$，而我们想要的基组是 $|J, M angle$。这两个基组并不是同一套东西，它们之间自然需要一个“翻译官”或者“转换矩阵”来连接。这个转换矩阵的元素，就是我们今天要讲的 CG 系数。
用数学语言来说，就是：
$$ |J, M angle = sum_{m_1, m_2} langle j_1, j_2; m_1, m_2 | J, M angle |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle $$
这里的 $langle j_1, j_2; m_1, m_2 | J, M angle$ 就是我们的 CG 系数，我们通常也用 $C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}$ 来表示。它的作用就是告诉我们，在总角动量 $|J, M angle$ 这个状态里，有多少比例（或者说，有多少“成分”）是从 $|j_1, m_1 angle$ 和 $|j_2, m_2 angle$ 这两个子系统状态组合而来的。
2. 核心思想：不变性与对称性
CG 系数的推导，其实是建立在角动量算符和它们性质上的。核心思想是利用角动量的 对易关系 和 不变性。
我们知道，角动量算符 $J_x, J_y, J_z$ 满足以下对易关系：
$[J_i, J_j] = i hbar epsilon_{ijk} J_k$
并且 $J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2$ 是一个与 $J_z$ 对易的算符：$[J^2, J_z] = 0$。
当我们耦合两个角动量 $vec{J_1}$ 和 $vec{J_2}$ 时，总角动量是 $vec{J} = vec{J_1} + vec{J_2}$。
那么，总角动量算符的平方 $J^2 = (vec{J_1} + vec{J_2})^2 = J_1^2 + J_2^2 + 2vec{J_1} cdot vec{J_2}$。
其中 $J_1^2$ 作用在 $|j_1, m_1 angle$ 上是 $j_1(j_1+1)hbar^2 |j_1, m_1 angle$，$J_2^2$ 作用在 $|j_2, m_2 angle$ 上是 $j_2(j_2+1)hbar^2 |j_2, m_2 angle$。
更重要的是，$J^2$ 和 $J_z$ 都应该作用在由 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$ 构成的总状态空间上。 我们希望找到一组新的基 $|J, M angle$，这组基能够同时是 $J^2$ 和 $J_z$ 的本征态。
考虑我们想要的状态 $|J, M angle$。它必须满足：
$J^2 |J, M angle = J(J+1)hbar^2 |J, M angle$
$J_z |J, M angle = Mhbar |J, M angle$
而 $J_z = J_{1z} + J_{2z}$。所以：
$(J_{1z} + J_{2z}) |J, M angle = Mhbar |J, M angle$
将 $|J, M angle$ 用我们已知的基展开：
$(J_{1z} + J_{2z}) sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle = Mhbar sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
由于 $J_{1z}$ 只作用在第一个子系统的态上，$J_{2z}$ 只作用在第二个子系统的态上，并且 $|j_1, m_1 angle$ 和 $|j_2, m_2 angle$ 是它们的本征态，所以：
$sum_{m_1, m_2} (m_1hbar + m_2hbar) C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle = sum_{m_1, m_2} Mhbar C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
对比两边对应的系数，我们可以看到：
$(m_1hbar + m_2hbar) C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = Mhbar C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}$
这等价于 $(m_1 + m_2) C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = M C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}$。
这意味着，CG 系数 $C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}$ 只能在 $m_1 + m_2 = M$ 的项上存在非零值。 这就是角动量耦合的 “加法规则”：总的 $z$ 分量等于各个 $z$ 分量之和。这使得我们大大简化了问题，因为我们只需要考虑 $m_1$ 和 $m_2$ 的组合，使得它们的和等于 $M$。
3. 寻找推导的“金钥匙”：升降算符
接下来，我们可以利用升降算符来构建这些状态。升降算符 $J_+$ 和 $J_$ 是这样定义的：
$J_+ = J_x + iJ_y$
$J_ = J_x iJ_y$
它们的作用是：
$J_+ |j, m angle = hbar sqrt{j(j+1) m(m+1)} |j, m+1 angle$
$J_ |j, m angle = hbar sqrt{j(j+1) m(m1)} |j, m1 angle$
关键在于，$J_+$ 和 $J_$ 也是对易的，并且可以作用在耦合后的总角动量算符上。
考虑总角动量的升降算符：$J_+ = J_{1+} + J_{2+}$ 和 $J_ = J_{1} + J_{2}$。
如果我们已经有了一个 $|J, M angle$ 的状态，那么我们可以用 $J_+$ 来得到 $|J, M+1 angle$ 或者用 $J_$ 来得到 $|J, M1 angle$。
比如说，我们有 $|J, M angle$，那么 $J_ |J, M angle = hbar sqrt{J(J+1) M(M1)} |J, M1 angle$。
现在，把这个作用到展开式上：
$(J_{1} + J_{2}) sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle = hbar sqrt{J(J+1) M(M1)} sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
另一方面，我们知道 $J_{1}$ 和 $J_{2}$ 分别作用在 $|j_1, m_1 angle$ 和 $|j_2, m_2 angle$ 上。
所以，左边的式子展开后是：
$sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} [ hbar sqrt{j_1(j_1+1) m_1(m_11)} |j_1, m_11 angle otimes |j_2, m_2 angle + hbar sqrt{j_2(j_2+1) m_2(m_21)} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_21 angle ]$
现在，为了让这两边相等，我们必须让它们在同一组基下的系数相等。
让我们把左边的表达式也写成 $|j_1, m'_1 angle otimes |j_2, m'_2 angle$ 的形式。
在第一项里，$m'_1 = m_1 1$，$m'_2 = m_2$。
在第二项里，$m'_1 = m_1$，$m'_2 = m_2 1$。
我们必须引入新的索引，比如 $m'_1$ 和 $m'_2$。
令 $m_1' = m_1 1$，$m_2' = m_2$。那么 $m_1 = m_1' + 1$，$m_2 = m_2'$。
令 $m_1'' = m_1$，$m_2'' = m_2 1$。那么 $m_1 = m_1''$，$m_2 = m_2'' + 1$。
现在，我们重新整理一下：
左边 = $sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} hbar sqrt{j_1(j_1+1) m_1(m_11)} |j_1, m_11 angle otimes |j_2, m_2 angle$
$+ sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} hbar sqrt{j_2(j_2+1) m_2(m_21)} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_21 angle$
令第一个求和中的 $m_1' = m_11$，则 $m_1 = m_1'+1$。
令第二个求和中的 $m_2'' = m_21$，则 $m_2 = m_2''+1$。
左边 = $sum_{m_1', m_2} C^{J M}_{j_1 (m_1'+1), j_2 m_2} hbar sqrt{j_1(j_1+1) (m_1'+1)m_1'} |j_1, m_1' angle otimes |j_2, m_2 angle$
$+ sum_{m_1, m_2''} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 (m_2''+1)} hbar sqrt{j_2(j_2+1) (m_2''+1)m_2''} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2'' angle$
为了让所有的项都写成 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$ 的形式，我们只需要把那些标记 $m_1', m_2, m_1, m_2''$ 统一成 $m_1$ 和 $m_2$。
重要的是，我们知道 $m_1+m_2 = M$ 必须成立。
所以，我们可以写出关于 CG 系数的一系列 递推关系。
核心思想是：利用 $J_$ 作用在总状态 $|J, M angle$ 上，然后在 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$ 的基底下比较系数。
假设我们有一个 $|J, M angle$ 的状态，它是由 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$ 组合而成的。
$|J, M angle = sum_{m_1+m_2=M} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
作用 $J_$：
$J_ |J, M angle = hbar sqrt{J(J+1) M(M1)} |J, M1 angle$
$= hbar sqrt{J(J+1) M(M1)} sum_{m_1+m_2=M} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
同时，我们知道 $J_ = J_{1} + J_{2}$。
$J_ |J, M angle = (J_{1} + J_{2}) sum_{m_1+m_2=M} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$
$= sum_{m_1+m_2=M} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} (J_{1} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle + |j_1, m_1 angle otimes J_{2} |j_2, m_2 angle)$
$= sum_{m_1+m_2=M} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} (hbar sqrt{j_1(j_1+1)m_1(m_11)} |j_1, m_11 angle otimes |j_2, m_2 angle + hbar sqrt{j_2(j_2+1)m_2(m_21)} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_21 angle)$
现在，我们把右边的表达式也写成 $|j_1, m'_1 angle otimes |j_2, m'_2 angle$ 的形式，并且要求 $m'_1+m'_2 = M1$。
考虑第一项：$|j_1, m_11 angle otimes |j_2, m_2 angle$。这里 $m'_1 = m_11$，$m'_2 = m_2$。所以 $m'_1 + m'_2 = m_11+m_2 = (m_1+m_2)1 = M1$。
考虑第二项：$|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_21 angle$。这里 $m'_1 = m_1$，$m'_2 = m_21$。所以 $m'_1 + m'_2 = m_1+m_21 = (m_1+m_2)1 = M1$。
通过将左边表达式中的索引进行变换，然后与右边表达式中所有 $m'_1+m'_2 = M1$ 的项进行系数比对，我们就可以得到一组关于 $C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}$ 的递归关系。
这就是推导 CG 系数的一条主要途径：先确定所有可能的 $J$ 值（根据量子数规则 $J = |j_1j_2|, |j_1j_2|+1, ..., j_1+j_2$），然后通过递推关系和一些边界条件来计算具体的系数。
4. 边界条件与归一化
仅仅有递推关系还不够，我们需要一些“起点”来开始计算。
1. 最高 $M$ 值：
对于给定的 $J$ 和 $M$，我们知道 $M$ 的取值范围是 $J le M le J$。
当 $M=J$ 时，$J_ |J, J angle = 0$。
所以 $J_ sum_{m_1+m_2=J} C^{J J}_{j_1 m_1, j_2 m_2} |j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle = 0$。
这意味着对于所有 $m_1+m_2=J$ 的项，都要满足 $sqrt{j_1(j_1+1)m_1(m_11)} C^{J J}_{j_1 m_1, j_2 m_2} + sqrt{j_2(j_2+1)m_2(m_21)} C^{J J}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = 0$ (此处可能有点小瑕疵，因为直接套用升降算符公式可能需要仔细处理 $m$ 的取值范围）。
一个更直接的考虑是，当 $M=J$，这意味着我们只能从 $|j_1, j_1 angle otimes |j_2, j_2 angle$ 耦合得到。因为 $J_z = J_{1z} + J_{2z}$，要得到 $M=J=j_1+j_2$ 必须是 $m_1=j_1$ 且 $m_2=j_2$。
所以，当 $M=J=j_1+j_2$ 时，只有一项贡献，并且我们可以将其归一化为 1。
即 $C^{j_1+j_2, j_1+j_2}_{j_1, j_1; j_2, j_2} = 1$。
其他所有 $m_1 e j_1$ 或 $m_2 e j_2$ 的项，其系数都为 0。
2. 最低 $M$ 值：
同理，当 $M=J$ 时，有 $J_+ |J, J angle = 0$。
3. 归一化条件：
由于 $|J, M angle$ 是正交完备基，它们需要满足归一化条件：
$langle J', M' | J, M angle = delta_{J'J} delta_{M'M}$
$sum_{m_1, m_2} C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2}{}^ C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = 1$
这个条件保证了我们计算出的系数是正确的。
5. 伟大的求和公式：Bargmann 积分公式与 Racah 公式
经过数学家们的长期努力，基于上面提到的递推关系和对称性原理，最终推导出了 CG 系数的显式公式。其中最著名的之一是 Bargmann 积分公式，以及由 Racah 提出的 Racah 公式（也称为 Racah–Wigner 公式）。
Racah 公式是 CG 系数的显式表达式，形式非常复杂，但它包含了所有必要的信息。它通常是一个关于四个量子数 $j_1, j_2, J, M$ 以及 $m_1, m_2$ 的求和公式。
其中一个常见的形式是：
$$ C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = delta_{M, m_1+m_2} sqrt{frac{(J+1)!}{(2J+1)!}} sqrt{(J+j_1m_1+1)! (J+j_2m_2+1)! (Jj_1+m_1+1)! (Jj_2+m_2+1)!} imes sum_{k} frac{(1)^k}{k!(Jj_1j_2+m_1+m_2+k)! (j_1+j_2Jm_1m_2k)! (j_1+m_1k)! (j_2+m_2k)! (Jj_1+m_1k)! (Jj_2+m_2k)!} $$
这个公式中的求和符号 $sum_k$ 是对所有使阶乘参数非负的整数 $k$ 进行的。
这个公式的推导过程涉及到 Gamma 函数、高斯超几何函数，以及 Wigner 3j 符号 等高等数学工具。Wigner 3j 符号是 CG 系数的一种更对称、更简洁的表示形式，它们之间存在简单的转换关系：
$$ C^{J M}_{j_1 m_1, j_2 m_2} = (1)^{j_1m_1} sqrt{2J+1} egin{pmatrix} j_1 & j_2 & J \ m_1 & m_2 & M end{pmatrix} $$
这里的 $egin{pmatrix} j_1 & j_2 & J \ m_1 & m_2 & M end{pmatrix}$ 就是 Wigner 3j 符号。它的公式形式也同样复杂，但它具有更优良的对称性，这在实际计算中非常有用。
理解 Wigner 3j 符号的意义，就是理解 CG 系数的本质。 它们描述了三个角动量耦合在一起形成一个零角动量的态的概率幅。
推导这个显式公式的详细步骤非常庞杂，需要深入理解群论（特别是 SU(2) 群的表示理论）、特殊函数等内容。 这个过程通常是量子力学或原子物理的进阶课程才会深入讲解的。
总结一下推导 CG 系数的思路：
1. 理解问题： 为什么要用 CG 系数？是为了在不同基组（独立基 $|j_1, m_1 angle otimes |j_2, m_2 angle$ 和耦合基 $|J, M angle$）之间进行转换。
2. 关键性质： 利用角动量算符的对易关系 $[J_i, J_j]$，以及 $J^2$ 和 $J_z$ 在耦合后的总角动量上的作用。
3. 耦合规则： 从 $[J_z, |J, M angle] = Mhbar |J, M angle$ 和 $J_z = J_{1z} + J_{2z}$ 推导出 $m_1+m_2=M$ 的限制条件。
4. 递推关系： 利用升降算符 $J_pm = J_{1pm} + J_{2pm}$ 作用在 $|J, M angle$ 的展开式上，通过比较基下的系数，建立 CG 系数之间的递推关系。
5. 边界条件： 确定一些已知的系数（例如最高 $M$ 值，或经过特殊处理的项）作为递推的起始点。
6. 归一化： 利用基的完备性和正交性，施加归一化条件，确保计算的准确性。
7. 显式公式： 通过严格的数学推导（通常涉及特殊函数如 Gamma 函数、超几何函数），最终得到 CG 系数的闭合形式公式，最常见的形式是基于 Wigner 3j 符号。
所以，你看，CG 系数不是凭空冒出来的，它们是角动量耦合在量子力学中的必然结果，是深刻的对称性和群论原理的具体体现。虽然最终的公式很复杂，但理解其推导过程的逻辑和核心思想，远比记住那些复杂的求和公式来得重要。
如果你对 Wigner 3j 符号的具体公式推导感兴趣，那可能需要翻阅一些进阶的量子力学教材，比如：
“Quantum Mechanics” by Claude CohenTannoudji, Bernard Diu, Frank Laloë
“Angular Momentum in Quantum Physics” by L.C. Biedenharn and J.D. Louck
“Group Theory and Its Applications” edited by E.M. Loebl (其中可能包含相关的群论在角动量耦合中的应用)
这些书籍会非常详细地讲解 Wigner 代数和 3j, 6j, 9j 符号的推导，那才是真正进入“大神”级别的领域了！希望我这个解释，能让你对 CG 系数有更清晰、更深入的认识！
网友意见
你要是真想算，可以去翻喀兴林的那本《高等量子力学》去，那书上有详细的计算公式（虽然真的很繁琐）。
这个公式我基本上就没用过，因为一般情况下对不太复杂的体系我会用角动量升降算符的方法算出来,而如果计算太麻烦的话我会直接选择查表而不是用上面这个公式。
Perkins,<Introduction to High Energy Physics>
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