如何对高微 mas collel(MWG) game theory 进行一个逻辑上的总结？
设想一下，我们不是在做一份生硬的学术报告，而是想把这两者是如何“携手”在游戏理论中发挥作用这事儿，给说清楚、说明白。
第一步：打个基础——博弈论到底是什么？
首先，咱们得明白博弈论是研究什么。简单来说，博弈论就是研究“理性”个体（玩家）在存在相互依赖的情况下，如何做出决策的理论。这里的“理性”很重要，指的是玩家会根据自己的目标和对其他玩家行为的预测来选择最优策略。
经典的博弈论，比如囚徒困境、纳什均衡，大家可能都听过。它们通常处理的是一些离散的、有限的场景，比如选择“合作”还是“背叛”，或者在几个固定选项里挑一个。
第二步：高微的“触角”——为什么博弈论需要它？
这时候，高微就闪亮登场了。你可能会问，博弈论不就是研究决策和策略吗？跟导数、积分有什么关系？
答案是，当博弈变得“连续”或者“复杂”时，高微的工具就变得不可或缺了。
连续策略空间： 很多现实世界中的决策，都不是非此即彼的。比如，一个公司决定生产多少产品，一个投资者决定投资多少比例的资金，或者一个博弈中的玩家决定以什么样的概率来选择策略（混合策略），这些都可以是连续的数值。高微中的函数、导数、梯度，正是用来描述和分析这些连续变量变化的利器。
比如说，在一个连续的策略空间里，玩家的效用函数（utility function）通常是一个关于自己策略选择和对手策略选择的连续函数。我们要找到最优策略，往往需要找到这个函数取最大值（或最小值）的点。这就需要用到求导，通过找到导数为零的点来寻找极值。
如果有很多个玩家，每个玩家的策略选择都会影响到其他玩家，那么整个系统的效用或者均衡点，就会成为一个多变量函数。这时，我们就需要多元微积分的工具，比如偏导数，来分析某个玩家改变策略时，对自身和其他玩家效用产生的“局部”影响。
动态调整和学习： 在很多博弈中，玩家不是一次性做出决策，而是会根据局势的变化不断调整自己的策略。这种动态调整的过程，往往可以用微分方程来描述。比如，某个玩家的策略更新规则，可能就是一个基于当前状态和对手行为的函数，这个函数的变化率（梯度）决定了它如何快速有效地收敛到更好的策略。
想想一个市场上，企业会根据竞争对手的价格调整自己的价格。这种价格的“演化”，可以看作是一个动态过程，用微积分的语言来描述，就是价格随时间的变化率（导数）。
描述复杂性： 当博弈的规则、参与者数量、策略选项都变得非常庞大和复杂时，传统的离散分析方法可能就显得力不从心。高微提供了一种“平滑”的视角，将原本可能离散化的复杂系统，用连续的数学形式来表达，从而能够运用微积分强大的分析能力。
第三步：MAS 的“协作”——为什么博弈论需要它？
MAS（多智能体系统）的引入，则将博弈论的应用场景从少数几个玩家，拓展到了大量个体同时交互的复杂系统。
大规模交互： 想象一下，在一个由成千上万个自动驾驶汽车组成的交通网络中，每辆车都像一个独立的“玩家”，它们需要互相协调，避免碰撞，并以最高效的方式通行。这就是一个典型的 MAS 博弈场景。每个智能体都有自己的目标（比如最快到达目的地），但它的行为会影响到其他所有智能体。
涌现行为（Emergent Behavior）： MAS 的一个核心特点是，由大量简单个体遵循特定规则交互而产生的宏观整体行为，往往是难以从个体层面直接预测的。博弈论正是用来分析这些个体决策如何导致整体行为的。
比如，在智能交通系统中，如果每辆车都试图找到“最快”的路线，可能会导致某些道路过度拥堵，从而整体效率下降。博弈论可以帮助我们理解为什么会出现这种“次优”的整体结果，并设计一些规则（比如交通信号灯的控制，或者对拥堵道路收费）来引导系统向更优的状态发展。
分布式的决策： MAS 中的智能体通常是分布式的，它们可能没有一个中央的“大脑”来指挥一切。每个智能体都基于局部信息和自己的理性判断来行动。博弈论提供了一个框架，来分析在这种分布式决策环境中，如何实现协调（coordination）和合作（cooperation），或者如何避免冲突（conflict）。
第四步：高微 + MAS + 博弈论 = 强大分析力
当我们将这三者结合起来时，威力就显现出来了：
连续策略下的 MAS 博弈： 想象一下，在一个由大量机器人组成的仓库里，每个机器人需要决定以多大的速度移动，以及沿着哪个方向移动。这些都是连续的变量。同时，机器人之间需要相互避让，以最高效的方式完成货物搬运任务。
在这种场景下，每个机器人的效用函数可能是一个关于速度、方向以及与其他机器人之间距离的连续函数。而整个系统的均衡状态，就是所有机器人以某种方式分配速度和路径，使得整体效率最大化，或者碰撞风险最小化。
我们要分析这种均衡，就需要用到多元微积分来处理机器人的连续策略（速度、方向），并利用博弈论的思想来预测它们的相互作用。比如，我们可以用梯度下降的思想来模拟机器人如何不断调整自己的速度和方向，以“逃离”潜在的碰撞或“靠近”目标点，最终达到一种稳定的状态。
动态 MAS 博弈： 考虑一个由许多经济体组成的全球市场，每个经济体都在不断调整自己的生产、消费和贸易策略。这些策略是连续的，并且经济体之间的相互影响是动态的，随时间而变化。
博弈论可以用来分析在这种动态环境下，经济体之间会形成什么样的“纳什均衡”或“近似均衡”。而高微中的微分方程可以用来描述经济体策略随时间的变化规律，以及这些变化如何驱动整个系统向某个状态演化。
信息不对称和不确定性： 在很多 MAS 博弈中，智能体可能无法完全了解其他智能体的意图或状态。这引入了信息不对称和不确定性。高微可以帮助我们用概率分布来描述不确定性，而博弈论中的贝叶斯博弈等概念，结合高微的分析工具，可以用来研究智能体在信息不完备下的最优决策。
总结一下，就像是为一场大型的、持续进行的、无数玩家参与的策略游戏，我们有了更精密的“测量仪器”和“分析软件”：
博弈论 提供了分析框架，帮助我们理解玩家的决策逻辑和可能的结果。
高微 提供了描述工具，让我们能够以精确的数学语言来表达“连续的”决策、“变化的”状态，以及“复杂的”交互关系。
MAS 拓展了场景，让我们能够将这些分析应用于成百上千甚至更多的“玩家”构成的系统。
当这三者结合，我们就能更深入地理解和设计那些由大量相互作用的个体构成的复杂系统，比如智能交通、自动化仓库、网络安全防御、机器人协作、甚至复杂的金融市场。它们不再是抽象的理论游戏，而是能够被我们用严谨的数学工具去“模拟”、“预测”和“优化”的现实问题。
所以，高微在 MAS 的博弈论里，不是仅仅加了几道复杂的计算题，而是提供了一种理解和操作复杂动态连续交互系统的全新维度。它让我们能够更精细地刻画“理性”在多变的、大规模环境中的具体表现，并以此为基础，去设计更智能、更高效、更稳定的系统。
网友意见
经济学新手强答一个，如有谬误，还请指摘。
第7章在内容上充当了一个引导作用，按顺序包括1.博弈（game）的基本概念；2.展开形表示法（extensive form representation）；3.引入博弈论中的一个核心概念：策略（strategy）。在此基础上提供了一种新的表示法，即标准形（或策略形）表示法（normal (or strategic) form representation）；4.混合策略（mixed strategy）。
首先出现的展开形表示法，也就是常见的博弈树，看起来较为直观，尤其在刻画完美信息博弈（可通俗地理解成存在先后顺序、对手之前的行动可被观察到的博弈）。但是在刻画不完美信息博弈（对手做了什么你并不知道，比如同时博弈）时，尽管我们引入了信息集（information set）这一概念，但这种展开形表示法的确没有那么直观了。
因此我们有了一种新的表示法，即标准形表示法（normal form）。在介绍这一方法前我们首先得区分行动（action）和策略的区别，初学者在理解策略时，经常无法抛弃这样一个念头:无法实现的行动怎么可以是策略呢？
上图这个使用拓展形表示的完美信息博弈，讲的是家长带孩子出门游玩，孩子吵闹，因此家长威胁孩子说要掉头回去。四种可能结果的收益已经给出，前一个是孩子的收益，后一个是家长的收益。较为明显的是，孩子因为先行动，因此只存在两种策略，即要么安静，要么继续吵闹。问题在于此时的家长，他的策略是什么？我们说有四种：{x2=回家，x3=回家}，{x2=回家，x3=游玩}，{x2=游玩，x3=回家}，{x2=游玩，x3=游玩}。策略和行动最大的不同是它是一套完整的行动方案，全名叫完整的相机行动方案（contingent plan）。这套行动方案无关乎孩子如何选择，无论如何家长都有相应的策略去应对（正如策略这个名字一样，比行动要更为宏观），尽管在行动落实上，例如孩子如果先选择了安静，那么x3时家长的行动方案自然就作废了。
标准形用如下方式表示：
以上例子属于完美信息博弈，家长在行动前是已经知道自己是在x2还是x3的，因此在行动上排除了某些可能性。但是如果现在有一个非完美信息博弈，例如同时博弈，那么一套完整的策略作用就体现出来了。从直观感受上说，展开形更适用于表示存在先后顺序的完美信息博弈，标准形更适用于表示同时行动的非完美信息博弈（这也是为什么第八章采用的都是标准形），尽管两者仍然可以互相表示、互相转化。
第七章的最后介绍了混合策略这一概念。这一问题在数学上解释起来较为容易，但理解的难点在于难以想象一个玩家会遵循一个概率开展自己的行动。在这里我们可以以Sun-Rain game为例：明天是晴天（或雨天）并不是一个确定的事件，因此我们可以把它理解成是上帝会遵循一个概率让明天是晴天（或雨天）。这也为我们在思考这类问题时提供了一种思路，上帝（Player 2）混合策略的出发点或许并不是在描述上帝的行为，而是我们（Player 1）对上帝可能开展行动的一个信念（belief）。
另外，对于这一问题可以参看一下第六章 Choice Under Uncertainty，对于理解不确定性选择确实会有帮助。
第8章名为同时行动博弈（Simultaneous-Move Games）首先，在只考虑纯策略这一条件背景下，我们定义了优势策略（dominant strategy）、严格优势策略（strictly dominant strategy）、弱优势策略（weakly dominant strategy）、劣势策略（dominated strategy）、严格劣势策略（strictly dominated strategy）和弱劣势策略（weakly dominated strategy）。在有了这些定义的背景下，我们接下来进行的所有研究都是围绕着博弈论的“解概念”。因为我们的目的并不是仅仅描述一个博弈，更重要的是预测这个博弈的最终结果。我们知道如果选手拥有严格优势策略，那毋庸置疑会选择它，但往往严格优势策略并不存在。那么，我们可以通过删除严格劣势策略，因为我们可以预期对手无论如何都不会选择这一策略。但是一次删除并不能得到唯一的结果，在共同知识的情况下，我们想进一步研究问题的方法是：重复删除严格策略。值得注意的是，我们并无法根据理性原理排除弱劣势策略。
现在考虑允许混合策略的情况，我们是可以把严格优势策略和严格劣势策略的基本定义直接推广到包含混合策略的情形。在可混合策略的条件下，如何判断一个纯策略是否是劣势的，我们在原来纯策略方法的基础之上有必要考虑是否任何混合策略都比那个劣势的纯策略要好。事实上有了这一条件，我们能够删除更多的严格劣势策略，因为某个其他纯策略的随机组合很可能就比你那个劣势的纯策略要好。
讲到这里，可能上述方法并不能让我们满意，那么是否有一种适用范围广，得到的结果好，至少能涵盖上面我们能想到的所有理性化行为的博弈问题求解方法？这就是博弈论中使用最为广泛的“解概念”——纳什均衡（Nash equilibrium）。需要明确的是，纳什均衡并无法保证得到的解是“完全正确”的，但它是一个必要条件。而后面章节的内容基本是围绕纳什均衡解做进一步的“精炼”，以求排除更多在某些情境下“不切实际”的纳什均衡。在还未涉及到动态博弈问题的情况下，本章中剩余部分所介绍的贝叶斯纳什均衡（Bayesian Nash equilibrium）便是基于不完全信息博弈（贝叶斯博弈）情况下，对纳什均衡的一个精炼。而本章的最后一个部分，颤抖的手完美纳什均衡（trembling-hand perfect Nash equilibrium）则是基于存在小概率犯错的可能性下，对纳什均衡概念的一种精炼。而第9章的内容便是围绕动态博弈情境下，对纳什均衡进行进一步的精炼。
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