写论文的时候，使用 Proposition, Lemma 或 Theorem 有什么区别？
好的，写论文时使用“命题”（Proposition）、“引理”（Lemma）和“定理”（Theorem）这几个术语，它们都用来陈述数学上或逻辑上的真理，但它们的侧重点、作用以及在论证结构中的位置是有区别的。理解这些区别，不仅能让你更准确地表达你的思想，也能让你的论文条理更清晰，更易于读者理解。
我会尽可能详细地阐述它们的区别，并力求用自然、严谨的语言来解释，就像一位经验丰富的学者在指导你一样。
核心概念：陈述与证明
首先，我们要明白，无论是 Proposition, Lemma 还是 Theorem，它们的核心都是一个陈述（Statement），这个陈述描述了一个具有普遍性的、被证明为真的规律或事实。而让这个陈述具有意义的是它的证明（Proof）。没有证明的陈述，即使它可能是真的，在学术论文中也无法独立存在。
Proposition (命题)
概念与定位：
“命题”是一个相对宽泛的术语，可以用来指代任何可以被证明为真或假的陈述。在数学论文的语境下，当我们将一个陈述称为“命题”时，通常意味着它是一个重要的、独立的、可以被证明为真的结论，但它的重要性或普遍性可能不如定理，或者它本身并不是整个论证的最终目标，而是作为更宏大证明中的一个组成部分。
用途与侧重点：
1. 辅助性结论： 很多时候，命题是为了证明某个更重要的定理而铺设的阶梯。它本身有价值，但它的价值体现在支持一个更大的论点上。
2. 特定情况下的真理： 命题可能描述的是在特定条件或定义下的规律，这些规律虽然是真实的，但可能不具有定理那种放之四海而皆准的普遍性，或者其证明相对直接，不像定理那样需要复杂的推导。
3. 定义与性质： 有时，一些关键的定义或性质，如果需要明确陈述和证明其存在性或基本属性，也会用命题的形式出现。
4. 避免过度频繁使用“定理”： 如果一个结论的深度和广度不足以冠以“定理”之名，但又需要一个正式的陈述和证明，那么“命题”是很好的选择。
举例：
“对于任意两个偶数 $a$ 和 $b$，它们的和 $a+b$ 也是偶数。” 这个结论是真实的，可以被证明，但它太基础，通常不会被单独称为“定理”。更适合用“命题”来表述。
在证明一个复杂的收敛性定理的过程中，你可能需要先证明一个关于数列有界的命题，这个命题是整个定理证明中的一个关键步骤。
写作风格：
命题的陈述和证明风格可以与定理相似，但语气上可能稍微“保守”一些，不带有一种“最终裁决”的感觉。
Lemma (引理)
概念与定位：
“引理”通常是为证明一个更重要、更核心的定理而准备的辅助性结果。它就像是搭建一座大楼前的“砖石”或“钢筋”，虽然它们本身是坚固的，但其主要价值在于支持上层建筑的建造。引理的证明往往是证明主要定理过程中必不可少的一环，如果没有引理，主定理的证明可能会变得极其复杂、难以理解，甚至是不可能完成的。
用途与侧重点：
1. 分解复杂证明： 引理的目的是将一个庞大、复杂的证明分解成若干个较小的、可管理的部分。每一个引理解决的是一个具体的问题。
2. 建立论证的中间环节： 引理是连接前提（假设、公理）和结论（定理）之间的桥梁。它解决了从已知到未知过程中的关键难点。
3. 多次复用： 一个好的引理，其本身也可能在后续的多个证明中被反复引用，成为工具性的结论。
4. “工具箱”里的工具： 许多数学分支都有一些非常重要的、被广泛使用的引理，它们就像是这个领域的“工具箱”里的常用工具，被熟练地运用。
举例：
在证明“两个实数向量内积小于等于它们范数乘积”时（即柯西施瓦茨不等式），你可能需要一个引理来证明“一个非零向量与自身点积等于其范数的平方”。这个引理是证明柯西施瓦茨不等式的基础。
在图论中，要证明某个图的性质，可能需要先证明一个关于图的连通性的引理。
写作风格：
引理的陈述通常非常精确，其证明过程会详细展示如何一步步构建出这个辅助性的真理。其标题往往会带有“引理”的前缀，明确其辅助地位。
Theorem (定理)
概念与定位：
“定理”是数学或逻辑体系中最重要、最核心的结论。它代表了一个被广泛认可、具有深远意义、并经过严谨证明的数学真理。定理通常是整个研究的主要目标，或者是作者所要论证的核心观点。
用途与侧重点：
1. 核心论点： 定理是论文的“重头戏”，是作者通过一系列论证想要达到的最高成就。
2. 普遍性和重要性： 定理陈述的规律通常具有高度的普遍性，其结论对整个领域具有基础性或颠覆性的意义。
3. 综合性结果： 定理的证明往往是最复杂、最需要技巧和创新的部分，它可能综合运用了多个引理、定义、公理和其他定理。
4. 研究的标志： 很多数学分支的命名，都与某个核心定理紧密相关，例如“费马大定理”、“勾股定理”。
举例：
“任何一个有限生成交换环是挠度完备的。” （这是某个特定领域的中心定理）
“费马小定理：如果 $p$ 是一个素数，那么对于任意整数 $a$，数 $a^p a$ 都能被 $p$ 整除。”
“中值定理” (Mean Value Theorem)
写作风格：
定理的陈述通常会非常清晰、简洁、有力，不含糊。证明部分会是论文的重点，需要严密、逻辑性强，并可能引用之前提出的引理或命题。
总结与辨析
| 特征 | Proposition (命题) | Lemma (引理) | Theorem (定理) |
| : | : | : | : |
| 核心作用 | 独立的、可证明的陈述，可能作为支持其他结论的中间步骤。 | 证明更重要定理的辅助性工具，分解复杂证明。 | 核心、最重要的、被广泛认可的数学真理。 |
| 重要性 | 中等，可高可低，取决于其在论证中的位置。 | 高（对于证明主定理而言），但其本身不如主定理重要。 | 最高，代表研究的突破或关键发现。 |
| 证明复杂性 | 可变，可能简单也可能复杂。 | 通常是复杂证明中的一个关键部分，需要详细推导。 | 通常最复杂，需要综合多种工具和技巧。 |
| 复用性 | 可能被复用，但不如引理那样普遍。 | 高，常被用作证明中的“工具”在不同地方重复使用。 | 相对较低，主要在特定领域或相关研究中被引用。 |
| 在论文中的定位 | 可以是独立结论，也可以是支持性结论。 | 明确的“垫脚石”，服务于主定理。 | 论文的“主角”，是作者追求的主要结果。 |
| 标题前缀 | Proposition X.Y | Lemma X.Y | Theorem X.Y |
如何选择使用哪个词？
1. 思考你这个陈述的“角色”：
它是我这篇论文最想证明的核心结论吗？如果是，那很可能是 Theorem。
它是我为了证明那个核心结论，必须先解决的一个小问题，并且我可能会在之后反复用到吗？如果是，那可能是 Lemma。
它是一个重要的、独立的结论，但不是我的最终目标，或者它的重要性/普遍性不如一个定理，但又需要正式地陈述和证明？那可能是 Proposition。
2. 考虑论证的整体结构：
如果你的证明非常线性，一步接一步，没有明显的“辅助工具”需要独立出来，那么你可能只需要定理，少数情况下会用命题。
如果你的证明非常复杂，需要分解成好几步，并且其中某些步骤本身就值得单独拿出来研究或被反复引用，那么使用引理（Lemma）会使结构更清晰。
3. 参考领域内的惯例：
不同的数学分支或研究领域，对这些术语的使用可能存在细微的文化差异。阅读你所在领域的顶尖论文，观察他们是如何使用这些术语的，会是一个很好的参考。例如，在一些逻辑学领域，命题（Proposition）的使用可能更为普遍和核心。
一个简单的比喻：
想象你在写一本建筑学的书。
Theorem 就像是设计一座摩天大楼。这是你书的核心，需要详细的图纸、复杂的结构分析和施工步骤。
Lemma 就像是描述如何制作一块高强度混凝土梁。这块梁本身很有用，但你主要做它，是为了能够支撑起摩天大楼的某个部分。你可能在书中其他地方也会提到这种梁的制作方法。
Proposition 就像是解释为什么混凝土在潮湿环境下会变硬，或者如何测量某个角度。这些都是基础知识，虽然正确且重要，但它们不是你这本书的“主体建筑”。
关键在于清晰和准确：
无论你选择哪个词，最重要的是确保你的读者能够理解你在说什么，以及它在你的论证体系中的位置。如果一个陈述的地位比较模糊，或者你不是特别确定，使用“命题”（Proposition）通常是一个相对安全的选择，因为它更加普适。但如果你的目标是突出某个结论的重要性，或者将其作为一个可复用的工具，那么“定理”和“引理”就更合适了。
希望这些详细的解释能帮助你更好地在论文中运用这些术语！
我会尽可能详细地阐述它们的区别，并力求用自然、严谨的语言来解释，就像一位经验丰富的学者在指导你一样。
核心概念：陈述与证明
首先，我们要明白，无论是 Proposition, Lemma 还是 Theorem，它们的核心都是一个陈述（Statement），这个陈述描述了一个具有普遍性的、被证明为真的规律或事实。而让这个陈述具有意义的是它的证明（Proof）。没有证明的陈述，即使它可能是真的，在学术论文中也无法独立存在。
Proposition (命题)
概念与定位：
“命题”是一个相对宽泛的术语，可以用来指代任何可以被证明为真或假的陈述。在数学论文的语境下，当我们将一个陈述称为“命题”时，通常意味着它是一个重要的、独立的、可以被证明为真的结论，但它的重要性或普遍性可能不如定理，或者它本身并不是整个论证的最终目标，而是作为更宏大证明中的一个组成部分。
用途与侧重点：
1. 辅助性结论： 很多时候，命题是为了证明某个更重要的定理而铺设的阶梯。它本身有价值，但它的价值体现在支持一个更大的论点上。
2. 特定情况下的真理： 命题可能描述的是在特定条件或定义下的规律，这些规律虽然是真实的，但可能不具有定理那种放之四海而皆准的普遍性，或者其证明相对直接，不像定理那样需要复杂的推导。
3. 定义与性质： 有时，一些关键的定义或性质，如果需要明确陈述和证明其存在性或基本属性，也会用命题的形式出现。
4. 避免过度频繁使用“定理”： 如果一个结论的深度和广度不足以冠以“定理”之名，但又需要一个正式的陈述和证明，那么“命题”是很好的选择。
举例：
“对于任意两个偶数 $a$ 和 $b$，它们的和 $a+b$ 也是偶数。” 这个结论是真实的，可以被证明，但它太基础，通常不会被单独称为“定理”。更适合用“命题”来表述。
在证明一个复杂的收敛性定理的过程中，你可能需要先证明一个关于数列有界的命题，这个命题是整个定理证明中的一个关键步骤。
写作风格：
命题的陈述和证明风格可以与定理相似，但语气上可能稍微“保守”一些，不带有一种“最终裁决”的感觉。
Lemma (引理)
概念与定位：
“引理”通常是为证明一个更重要、更核心的定理而准备的辅助性结果。它就像是搭建一座大楼前的“砖石”或“钢筋”，虽然它们本身是坚固的，但其主要价值在于支持上层建筑的建造。引理的证明往往是证明主要定理过程中必不可少的一环，如果没有引理，主定理的证明可能会变得极其复杂、难以理解，甚至是不可能完成的。
用途与侧重点：
1. 分解复杂证明： 引理的目的是将一个庞大、复杂的证明分解成若干个较小的、可管理的部分。每一个引理解决的是一个具体的问题。
2. 建立论证的中间环节： 引理是连接前提（假设、公理）和结论（定理）之间的桥梁。它解决了从已知到未知过程中的关键难点。
3. 多次复用： 一个好的引理，其本身也可能在后续的多个证明中被反复引用，成为工具性的结论。
4. “工具箱”里的工具： 许多数学分支都有一些非常重要的、被广泛使用的引理，它们就像是这个领域的“工具箱”里的常用工具，被熟练地运用。
举例：
在证明“两个实数向量内积小于等于它们范数乘积”时（即柯西施瓦茨不等式），你可能需要一个引理来证明“一个非零向量与自身点积等于其范数的平方”。这个引理是证明柯西施瓦茨不等式的基础。
在图论中，要证明某个图的性质，可能需要先证明一个关于图的连通性的引理。
写作风格：
引理的陈述通常非常精确，其证明过程会详细展示如何一步步构建出这个辅助性的真理。其标题往往会带有“引理”的前缀，明确其辅助地位。
Theorem (定理)
概念与定位：
“定理”是数学或逻辑体系中最重要、最核心的结论。它代表了一个被广泛认可、具有深远意义、并经过严谨证明的数学真理。定理通常是整个研究的主要目标，或者是作者所要论证的核心观点。
用途与侧重点：
1. 核心论点： 定理是论文的“重头戏”，是作者通过一系列论证想要达到的最高成就。
2. 普遍性和重要性： 定理陈述的规律通常具有高度的普遍性，其结论对整个领域具有基础性或颠覆性的意义。
3. 综合性结果： 定理的证明往往是最复杂、最需要技巧和创新的部分，它可能综合运用了多个引理、定义、公理和其他定理。
4. 研究的标志： 很多数学分支的命名，都与某个核心定理紧密相关，例如“费马大定理”、“勾股定理”。
举例：
“任何一个有限生成交换环是挠度完备的。” （这是某个特定领域的中心定理）
“费马小定理：如果 $p$ 是一个素数，那么对于任意整数 $a$，数 $a^p a$ 都能被 $p$ 整除。”
“中值定理” (Mean Value Theorem)
写作风格：
定理的陈述通常会非常清晰、简洁、有力，不含糊。证明部分会是论文的重点，需要严密、逻辑性强，并可能引用之前提出的引理或命题。
总结与辨析
| 特征 | Proposition (命题) | Lemma (引理) | Theorem (定理) |
| : | : | : | : |
| 核心作用 | 独立的、可证明的陈述，可能作为支持其他结论的中间步骤。 | 证明更重要定理的辅助性工具，分解复杂证明。 | 核心、最重要的、被广泛认可的数学真理。 |
| 重要性 | 中等，可高可低，取决于其在论证中的位置。 | 高（对于证明主定理而言），但其本身不如主定理重要。 | 最高，代表研究的突破或关键发现。 |
| 证明复杂性 | 可变，可能简单也可能复杂。 | 通常是复杂证明中的一个关键部分，需要详细推导。 | 通常最复杂，需要综合多种工具和技巧。 |
| 复用性 | 可能被复用，但不如引理那样普遍。 | 高，常被用作证明中的“工具”在不同地方重复使用。 | 相对较低，主要在特定领域或相关研究中被引用。 |
| 在论文中的定位 | 可以是独立结论，也可以是支持性结论。 | 明确的“垫脚石”，服务于主定理。 | 论文的“主角”，是作者追求的主要结果。 |
| 标题前缀 | Proposition X.Y | Lemma X.Y | Theorem X.Y |
如何选择使用哪个词？
1. 思考你这个陈述的“角色”：
它是我这篇论文最想证明的核心结论吗？如果是，那很可能是 Theorem。
它是我为了证明那个核心结论，必须先解决的一个小问题，并且我可能会在之后反复用到吗？如果是，那可能是 Lemma。
它是一个重要的、独立的结论，但不是我的最终目标，或者它的重要性/普遍性不如一个定理，但又需要正式地陈述和证明？那可能是 Proposition。
2. 考虑论证的整体结构：
如果你的证明非常线性，一步接一步，没有明显的“辅助工具”需要独立出来，那么你可能只需要定理，少数情况下会用命题。
如果你的证明非常复杂，需要分解成好几步，并且其中某些步骤本身就值得单独拿出来研究或被反复引用，那么使用引理（Lemma）会使结构更清晰。
3. 参考领域内的惯例：
不同的数学分支或研究领域，对这些术语的使用可能存在细微的文化差异。阅读你所在领域的顶尖论文，观察他们是如何使用这些术语的，会是一个很好的参考。例如，在一些逻辑学领域，命题（Proposition）的使用可能更为普遍和核心。
一个简单的比喻：
想象你在写一本建筑学的书。
Theorem 就像是设计一座摩天大楼。这是你书的核心，需要详细的图纸、复杂的结构分析和施工步骤。
Lemma 就像是描述如何制作一块高强度混凝土梁。这块梁本身很有用，但你主要做它，是为了能够支撑起摩天大楼的某个部分。你可能在书中其他地方也会提到这种梁的制作方法。
Proposition 就像是解释为什么混凝土在潮湿环境下会变硬，或者如何测量某个角度。这些都是基础知识，虽然正确且重要，但它们不是你这本书的“主体建筑”。
关键在于清晰和准确：
无论你选择哪个词，最重要的是确保你的读者能够理解你在说什么，以及它在你的论证体系中的位置。如果一个陈述的地位比较模糊，或者你不是特别确定，使用“命题”（Proposition）通常是一个相对安全的选择，因为它更加普适。但如果你的目标是突出某个结论的重要性，或者将其作为一个可复用的工具，那么“定理”和“引理”就更合适了。
希望这些详细的解释能帮助你更好地在论文中运用这些术语！
网友意见
谢谢 @星日马 和 @刘锐 的邀请，我就连Corollary一起介绍了吧，凑齐经济学paper里面的四大证明。
先说两个区别相对明确的：
Lemma是引理，顾名思义，是为了证明proposition或者theorem的一个相对比较关键步骤, 是一个helper function。Lemma一般情况下都非常的技术化，基本上不interesting，主要是为了整理定理的证明步骤，把一个很复杂的证明分成几个层层递进或者相互辅助的Lemma，方便了自己，也方便了读者和审稿人跟着作者的思路走——当然有些Lemma后来被认为是非常重要的，比如微观里面的Shephard's Lemma.
Corollary是推论，一般来说当已经有了proposition或者theorem之后，在此基础上简单的推理几步就能够得出的一个还比较interesting的结论，称为Corollary。这个结论单独用一个proposition或者theorem来说，显得分量不够，毕竟证明太简单了（大部分工作都已经在proposition或者theorem里面证明完成了）但是又比较有价值，这个时候往往就写成Corollary。
接下来主要说说theorem和proposition的『区别』，这两个其实也没有非此即彼的区别，更多的是一种惯例。字面理解，Proposition是命题，Theorem是定理，而定理的意思就是被证明了的命题……
Theorem在经济学论文中出现的时候，一般在比较数学化和理论化的文章里面，典型的就是Econometrica的文章很喜欢用Theorem，倾向于描述论文中最重要的，数学化的，高度抽象的，放之四海皆准的结论。我贴一个典型的Theorem，大概体验一下这个感觉：
Proposition也是文中比较重要的结论，但是一般来说，没有Theorem那么的抽象和重要。更多的出现在应用理论的论文里面，比如AER和RJE的相关类型的文章，感觉是『人类的语言』多一些：
当然以上两个例子里面的特征都很明显，有一些theorem和proposition看起来差不多，就看作者和杂志的习惯和取舍。
并且我上面说的proposition和theorem的区别，似乎也就是最近这十来年，学术界开始有了这个惯例。在更早的时候，七八十年代，经济学刚刚数学化不久，所有的名词和术语都是照搬应用数学，我们可以观察到那个时候的paper里面，Theorem这个词用的特别泛滥，哪怕是非常具体的比如我上面贴图举例里面的proposition，在那个年代都很可能被写成theorem，也都发表在很好的杂志上了。
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补充一点，在写theorem和proposition的时候，只能陈述数学结论——也就是模型的结果，一定不要兴奋起来把应该在discussion里面写的，不可验证的内容写进去，这是特别容易犯错的地方。
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