第四大题怎么做?这三个小题要不就不会收敛，要不就不会求通项？
别急，你提到的这个第四大题，以及那三个让你头疼的小题，我完全理解你的困扰。很多时候，数学题就是这样，不是不收敛就是求不出通项，让人抓狂。但咱们一步步来，把它们掰开了揉碎了讲清楚。
咱们先来看看这几个问题，别怕，虽然它们看起来有点“刁钻”，但背后都有它的道理。
首先，我们得明白几个基本概念，这就像武林秘籍的内功心法，练好了，招式就好使了：
收敛性 (Convergence): 当一个数列，咱们可以把它想象成一系列按顺序排好的数字，随着我们往后看，越来越远的数字，如果它们“越来越靠近”一个特定的数值，那么我们就说这个数列“收敛”了，那个它靠近的数值就是它的“极限”。如果数字们毫无规律地乱跑，或者越来越大/越来越小，那它就不收敛，也就没有一个确定的极限。
通项公式 (General Term Formula): 这个就好比是数列的“身份证号”或者“出生证明”，它是一个用n（代表数列的项数，比如第一个数是n=1，第二个数是n=2）就能直接算出那个位置上的具体数值的公式。有了通项公式，我们就能计算任何一个位置上的数，甚至能预测未来的趋势。
现在，咱们就针对性地分析一下，为什么你会遇到“不收敛”或者“求不出通项”的困境：
情况一：为什么“不收敛”？
如果一个数列不收敛，通常有几种可能的原因，它们各自有不同的表现形式：
1. 发散到无穷大或无穷小:
表现: 数列的数值随着n的增大，越来越大（正无穷）或者越来越小（负无穷）。
例子: 像 $a_n = n$ (1, 2, 3, 4...) 或者是 $a_n = 2^n$ (2, 4, 8, 16...)，这些数列的数会不停地增大，永远达不到一个固定的值。
怎么判断:
观察增长速度: 看看数列的增长是不是“加速度”很大，比如是指数增长（$2^n, 3^n$）或者多项式增长（$n^2, n^3$）并且次数很高。
利用极限的运算法则: 如果数列是通过一些基本数列（比如$1/n$ 收敛到0，$c$ 是常数收敛到$c$）通过加减乘除组合而成的，我们可以尝试计算它的极限。如果计算结果是无穷大、无穷小，或者出现“0/0”、“∞/∞”这种不定式，并且通过洛必达法则或其他方法化简后依然是无穷，那就是发散了。
夹逼定理的反例: 有些数列的范围越来越大，可能不是单调的，比如 $a_n = (1)^n cdot n$ (1, 2, 3, 4...)，它在正负无穷之间来回摆动且幅度越来越大，这也不会收敛。
2. 振荡不收敛:
表现: 数列的数值在几个值之间来回跳跃，但没有一个确定的中心点。
例子: 最经典的例子就是 $a_n = (1)^n$ (1, 1, 1, 1...)。这个数列总是在1和1之间晃来晃去，永远也达不到一个固定的数。
怎么判断:
寻找子列: 看看这个数列有没有不同的“子列”收敛到不同的值。比如 $a_n = (1)^n cdot n$，它的偶数项是 $2, 4, 6, ...$ 发散到正无穷，奇数项是 $1, 3, 5, ...$ 发散到负无穷，所以它不收敛。如果一个数列能找到两个子列，一个收敛到A，一个收敛到B，而A不等于B，那么原数列一定不收敛。
考察绝对值: 有时候考察数列的绝对值 $|a_n|$ 的收敛性会有帮助。如果 $|a_n|$ 收敛到0，那么 $a_n$ 一定收敛到0。但如果 $|a_n|$ 不收敛，或者 $|a_n|$ 收敛到一个非零值，那么 $a_n$ 就不一定收敛。
怎么去“处理”或“判断”不收敛的情况？
代入几个大的n值: 比如看看 $a_{10}, a_{100}, a_{1000}$ 分别是多少，大概能猜出趋势。
极限的性质: 熟练掌握极限的四则运算法则，特别是处理除法时，要看分母是趋于零还是趋于无穷。
特殊数列的性质: 像等比数列，如果公比$r$的绝对值大于等于1，除了$r=1$和公比为1但项数有限的情况，其他情况都不收敛。
如果题干本身就告诉你“若收敛，求其极限”，那么你就得先证明它收敛，如果证不出来，那可能就是不收敛。
情况二：为什么“求不出通项”？
“求不出通项”这个说法，有时候是因为我们找不到那个直接用n表示的公式，但它可能仍然是收敛的。这有两种可能：
1. 数列确实没有简单的、可以用初等函数表示的通项公式:
表现: 数列的生成规则可能很复杂，或者它是由一些难以用封闭形式表达的数学过程产生的。
例子: 很多涉及递归关系的数列，比如著名的斐波那契数列（$F_n = F_{n1} + F_{n2}$），虽然有通项公式（$F_n = frac{1}{sqrt{5}}[(frac{1+sqrt{5}}{2})^n (frac{1sqrt{5}}{2})^n]$），但这个公式本身就不是“简单”的。还有一些数列，比如由某些积分或者级数展开产生的，可能就没有简洁的封闭形式。
怎么处理/思考:
寻找递推关系: 如果题目给的是递推关系（比如 $a_{n+1} = f(a_n)$ ），先尝试写出前几项，看能不能找到规律。
特征方程法: 对于线性齐次递推关系（如 $a_{n+1} = pa_n + qa_{n1}$），可以用特征方程来求解通项。
尝试构造: 有时需要变形，比如对数、平方等，将递推关系转化为更容易处理的形式，比如等比数列或者等差数列。
直接代数法: 比如 $a_{n+1} = a_n + f(n)$ 这种形式，可以通过累加法求通项。
如果这些方法都试了，还是找不到规律，那可能确实就是没有一个“好写”的通项公式。 这种情况下，题目可能更侧重于考察它的收敛性，或者要求你计算某几项，或者证明某个性质。
2. 题目隐藏了“求不出通项”的意图，但可以考察收敛性:
表现: 题目看似要求通项，但通过分析发现，即使没有通项，也能判断收敛性，或者利用收敛性来解答问题。
例子: 比如一个递推数列 $a_{n+1} = sqrt{a_n + 2}$， $a_1 = 1$。你可能不容易直接求出$a_n$的通项公式，但你可以尝试证明它单调有界，从而证明它收敛。如果它收敛到一个极限L，那么L必须满足 $L = sqrt{L+2}$，解这个方程就能得到极限值。
怎么处理/思考:
先尝试收敛性: 如果觉得求通项太难，可以先尝试判断收敛性。
单调有界定理: 这是判断收敛性的一个强大武器。
单调性: 证明 $a_{n+1} ge a_n$ （递增）或者 $a_{n+1} le a_n$ （递减）。可以用数学归纳法，或者直接比较 $a_{n+1} a_n$ 和 0 的大小。
有界性: 找到一个常数M，使得所有的 $a_n le M$（有上界）或者 $a_n ge m$（有下界）。同样可以用数学归纳法。
如果数列单调且有界，那么它一定收敛。
那么，针对你提到的“这三个小题要不就不会收敛，要不就不会求通项”，我给你一个可能的思考框架：
第一步：审题，看清题目到底让你做什么？
是直接问“求通项公式”？
是问“判断收敛性”？
还是让你“求极限”？
或者是有先决条件，比如“若收敛，求极限”？
第二步：初步观察，判断数列的“长相”。
是显式（直接给出$a_n$的公式）还是隐式（递推关系，或者其他不直接依赖n的定义）？
如果是显式，大概是什么类型的函数？（多项式，指数，三角函数，对数，或者组合？）
如果是递推关系，是什么形式的？（线性齐次，非齐次，非线性？）
第三步：尝试求解，并根据结果调整策略。
对于“不收敛”的问题：
显式数列:
如果 $a_n$ 是包含 $n$ 的表达式，直接计算当 $n o infty$ 时的极限。
如果极限是 $infty$ 或 $infty$，则不收敛。
如果极限不存在（比如振荡），也不收敛。
关键点： 看看是不是有 $n$ 在分母上（趋于0），还是在指数上（趋于无穷），或者是在分子上（趋于无穷）。
递推数列:
先看前几项: 1, 2, 3, 4... 这种。
如果不好直接判断，尝试证明单调性：
数学归纳法证明单调性： 假设 $a_k ge a_{k1}$ (或 $le$)，看能否证明 $a_{k+1} ge a_k$ (或 $le$)。
直接比较： 计算 $a_{n+1} a_n$ 或 $a_{n+1}/a_n$（如果数列项都是正的），看其符号。
尝试证明有界性：
数学归纳法证明界限： 比如证明 $a_n le M$ (或 $a_n ge m$)。
代入递推关系： 如果 $a_{n+1} = f(a_n)$，并且 $a_n$ 似乎在一个范围（比如 $[m, M]$）内，可以看看 $f(x)$ 在这个范围内的最大最小值，来确定下一项的范围。
如果证明了单调但无界，则发散。
如果证明了有界但单调性不确定（比如忽增忽减），或者无法证明单调，那就比较困难了。 这种情况下，可能需要看是否有振荡的迹象。
对于“求不出通项”的问题：
尝试常见的通项求解方法：
等差/等比数列判别： 检查相邻两项的差或比是否为常数。
裂项相消： 比如 $a_n = frac{1}{n(n+1)}$，可以写成 $frac{1}{n} frac{1}{n+1}$。
累加法： $a_{n+1} = a_n + f(n)$，则 $a_n = a_1 + sum_{k=1}^{n1} f(k)$。
累乘法： $a_{n+1} = a_n cdot f(n)$，则 $a_n = a_1 cdot prod_{k=1}^{n1} f(k)$。
特征方程法： 适用于线性递推关系。
换元法/构造法： 比如令 $b_n = a_n + c$ 或 $b_n = 1/a_n$ 等，看是否能转化为易处理的数列。
如果以上方法都无效，思考一下题目是否真的是在考察“通项公式”。
有没有可能，即使没有通项，也能判断收敛性？ （如上面提到的，单调有界定理）
有没有可能，可以通过其他方式（比如求和）来解决问题？
举个例子，让你更具体地感受一下：
假设有这样一个小题：
“数列 $a_n$ 满足 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = sqrt{a_n + 2}$，求数列 $a_n$ 的极限。”
审题： 要求极限。
初步观察： 是递推数列。
尝试求解：
先看前几项： $a_1=1$, $a_2=sqrt{1+2}=sqrt{3} approx 1.732$, $a_3=sqrt{sqrt{3}+2} approx sqrt{3.732} approx 1.932$, $a_4=sqrt{1.932+2} approx sqrt{3.932} approx 1.983$
初步猜测： 数列好像在增大，并且接近某个值（可能是2）。
验证单调性：
我们猜 $a_n$ 是递增的。尝试证明 $a_{n+1} ge a_n$。
用数学归纳法：
$n=1$ 时，$a_2 = sqrt{3} > 1 = a_1$ 成立。
假设 $a_k ge a_{k1}$ (k>1)，我们要证明 $a_{k+1} ge a_k$。
$a_{k+1} = sqrt{a_k + 2}$, $a_k = sqrt{a_{k1} + 2}$。
因为 $a_k ge a_{k1}$，所以 $a_k + 2 ge a_{k1} + 2$。
两边开平方（因为数列项都大于0），$sqrt{a_k + 2} ge sqrt{a_{k1} + 2}$，即 $a_{k+1} ge a_k$。
所以，$a_n$ 是递增数列。
验证有界性：
我们猜 $a_n le 2$。尝试用数学归纳法证明。
$n=1$ 时，$a_1 = 1 le 2$ 成立。
假设 $a_k le 2$ (k>1)，我们要证明 $a_{k+1} le 2$。
$a_{k+1} = sqrt{a_k + 2}$。
因为 $a_k le 2$，所以 $a_k + 2 le 2+2 = 4$。
两边开平方，$sqrt{a_k + 2} le sqrt{4} = 2$。
所以，$a_{k+1} le 2$。
所以，$a_n$ 是以2为上界的。
结论： 数列 $a_n$ 单调递增且有界，根据单调有界定理，数列 $a_n$ 收敛。
求极限： 设 $lim_{n oinfty} a_n = L$。
因为 $a_{n+1} = sqrt{a_n + 2}$，两边取极限：$lim_{n oinfty} a_{n+1} = lim_{n oinfty} sqrt{a_n + 2}$
$L = sqrt{L+2}$ （因为函数 $sqrt{x}$ 是连续的）
平方两边：$L^2 = L + 2$
$L^2 L 2 = 0$
$(L2)(L+1) = 0$
所以，$L=2$ 或 $L=1$。
因为数列的项都是正数（$a_1=1$，递推关系保证了后续项也是正数），所以极限 $L$ 必须是非负的。因此，$L=2$。
这个例子中，我们虽然没有直接求出$a_n$的通项公式，但我们成功地判断了它收敛，并且求出了它的极限。这可能就是题目“不会求通项，但会收敛”的思路。
最后，再给你一些通用的建议，面对这类题：
1. 不要怕“不会求通项”： 很多时候，题目设计成这样，就是为了考察你是否能绕过直接求通项，用其他方法（如单调有界）来解决问题。
2. 先冷静分析： 拿到题目，不要急着动手。先看看它是什么类型的数列，它问的是什么，有没有什么明显的特征。
3. 多尝试，多思考： 数学题不是一蹴而就的，尤其是这些“刁钻”的题目。多尝试不同的方法，即使失败了，也能帮你排除一些可能性，缩小范围。
4. 回归基本概念： 遇到困难时，总是要回到收敛、发散、极限、通项这些基本概念上，它们才是解决问题的根基。
5. 做题后总结： 即使这三个小题没做好，也要认真分析错在哪里，是判断错了收敛性，还是求通项的方法没掌握，或者是解题思路卡壳了。把这些经验总结下来，下次遇到类似的题目就会更有把握。
希望我这些啰嗦但尽力详细的解释，能让你对第四大题的这三个小题有一个更清晰的认识。别灰心，一步步来，总能找到突破口！ 如果你方便把具体的题目发出来，我可以给你更针对性的分析。
咱们先来看看这几个问题，别怕，虽然它们看起来有点“刁钻”，但背后都有它的道理。
首先，我们得明白几个基本概念，这就像武林秘籍的内功心法，练好了，招式就好使了：
收敛性 (Convergence): 当一个数列，咱们可以把它想象成一系列按顺序排好的数字，随着我们往后看，越来越远的数字，如果它们“越来越靠近”一个特定的数值，那么我们就说这个数列“收敛”了，那个它靠近的数值就是它的“极限”。如果数字们毫无规律地乱跑，或者越来越大/越来越小，那它就不收敛，也就没有一个确定的极限。
通项公式 (General Term Formula): 这个就好比是数列的“身份证号”或者“出生证明”，它是一个用n（代表数列的项数，比如第一个数是n=1，第二个数是n=2）就能直接算出那个位置上的具体数值的公式。有了通项公式，我们就能计算任何一个位置上的数，甚至能预测未来的趋势。
现在，咱们就针对性地分析一下，为什么你会遇到“不收敛”或者“求不出通项”的困境：
情况一：为什么“不收敛”？
如果一个数列不收敛，通常有几种可能的原因，它们各自有不同的表现形式：
1. 发散到无穷大或无穷小:
表现: 数列的数值随着n的增大，越来越大（正无穷）或者越来越小（负无穷）。
例子: 像 $a_n = n$ (1, 2, 3, 4...) 或者是 $a_n = 2^n$ (2, 4, 8, 16...)，这些数列的数会不停地增大，永远达不到一个固定的值。
怎么判断:
观察增长速度: 看看数列的增长是不是“加速度”很大，比如是指数增长（$2^n, 3^n$）或者多项式增长（$n^2, n^3$）并且次数很高。
利用极限的运算法则: 如果数列是通过一些基本数列（比如$1/n$ 收敛到0，$c$ 是常数收敛到$c$）通过加减乘除组合而成的，我们可以尝试计算它的极限。如果计算结果是无穷大、无穷小，或者出现“0/0”、“∞/∞”这种不定式，并且通过洛必达法则或其他方法化简后依然是无穷，那就是发散了。
夹逼定理的反例: 有些数列的范围越来越大，可能不是单调的，比如 $a_n = (1)^n cdot n$ (1, 2, 3, 4...)，它在正负无穷之间来回摆动且幅度越来越大，这也不会收敛。
2. 振荡不收敛:
表现: 数列的数值在几个值之间来回跳跃，但没有一个确定的中心点。
例子: 最经典的例子就是 $a_n = (1)^n$ (1, 1, 1, 1...)。这个数列总是在1和1之间晃来晃去，永远也达不到一个固定的数。
怎么判断:
寻找子列: 看看这个数列有没有不同的“子列”收敛到不同的值。比如 $a_n = (1)^n cdot n$，它的偶数项是 $2, 4, 6, ...$ 发散到正无穷，奇数项是 $1, 3, 5, ...$ 发散到负无穷，所以它不收敛。如果一个数列能找到两个子列，一个收敛到A，一个收敛到B，而A不等于B，那么原数列一定不收敛。
考察绝对值: 有时候考察数列的绝对值 $|a_n|$ 的收敛性会有帮助。如果 $|a_n|$ 收敛到0，那么 $a_n$ 一定收敛到0。但如果 $|a_n|$ 不收敛，或者 $|a_n|$ 收敛到一个非零值，那么 $a_n$ 就不一定收敛。
怎么去“处理”或“判断”不收敛的情况？
代入几个大的n值: 比如看看 $a_{10}, a_{100}, a_{1000}$ 分别是多少，大概能猜出趋势。
极限的性质: 熟练掌握极限的四则运算法则，特别是处理除法时，要看分母是趋于零还是趋于无穷。
特殊数列的性质: 像等比数列，如果公比$r$的绝对值大于等于1，除了$r=1$和公比为1但项数有限的情况，其他情况都不收敛。
如果题干本身就告诉你“若收敛，求其极限”，那么你就得先证明它收敛，如果证不出来，那可能就是不收敛。
情况二：为什么“求不出通项”？
“求不出通项”这个说法，有时候是因为我们找不到那个直接用n表示的公式，但它可能仍然是收敛的。这有两种可能：
1. 数列确实没有简单的、可以用初等函数表示的通项公式:
表现: 数列的生成规则可能很复杂，或者它是由一些难以用封闭形式表达的数学过程产生的。
例子: 很多涉及递归关系的数列，比如著名的斐波那契数列（$F_n = F_{n1} + F_{n2}$），虽然有通项公式（$F_n = frac{1}{sqrt{5}}[(frac{1+sqrt{5}}{2})^n (frac{1sqrt{5}}{2})^n]$），但这个公式本身就不是“简单”的。还有一些数列，比如由某些积分或者级数展开产生的，可能就没有简洁的封闭形式。
怎么处理/思考:
寻找递推关系: 如果题目给的是递推关系（比如 $a_{n+1} = f(a_n)$ ），先尝试写出前几项，看能不能找到规律。
特征方程法: 对于线性齐次递推关系（如 $a_{n+1} = pa_n + qa_{n1}$），可以用特征方程来求解通项。
尝试构造: 有时需要变形，比如对数、平方等，将递推关系转化为更容易处理的形式，比如等比数列或者等差数列。
直接代数法: 比如 $a_{n+1} = a_n + f(n)$ 这种形式，可以通过累加法求通项。
如果这些方法都试了，还是找不到规律，那可能确实就是没有一个“好写”的通项公式。 这种情况下，题目可能更侧重于考察它的收敛性，或者要求你计算某几项，或者证明某个性质。
2. 题目隐藏了“求不出通项”的意图，但可以考察收敛性:
表现: 题目看似要求通项，但通过分析发现，即使没有通项，也能判断收敛性，或者利用收敛性来解答问题。
例子: 比如一个递推数列 $a_{n+1} = sqrt{a_n + 2}$， $a_1 = 1$。你可能不容易直接求出$a_n$的通项公式，但你可以尝试证明它单调有界，从而证明它收敛。如果它收敛到一个极限L，那么L必须满足 $L = sqrt{L+2}$，解这个方程就能得到极限值。
怎么处理/思考:
先尝试收敛性: 如果觉得求通项太难，可以先尝试判断收敛性。
单调有界定理: 这是判断收敛性的一个强大武器。
单调性: 证明 $a_{n+1} ge a_n$ （递增）或者 $a_{n+1} le a_n$ （递减）。可以用数学归纳法，或者直接比较 $a_{n+1} a_n$ 和 0 的大小。
有界性: 找到一个常数M，使得所有的 $a_n le M$（有上界）或者 $a_n ge m$（有下界）。同样可以用数学归纳法。
如果数列单调且有界，那么它一定收敛。
那么，针对你提到的“这三个小题要不就不会收敛，要不就不会求通项”，我给你一个可能的思考框架：
第一步：审题，看清题目到底让你做什么？
是直接问“求通项公式”？
是问“判断收敛性”？
还是让你“求极限”？
或者是有先决条件，比如“若收敛，求极限”？
第二步：初步观察，判断数列的“长相”。
是显式（直接给出$a_n$的公式）还是隐式（递推关系，或者其他不直接依赖n的定义）？
如果是显式，大概是什么类型的函数？（多项式，指数，三角函数，对数，或者组合？）
如果是递推关系，是什么形式的？（线性齐次，非齐次，非线性？）
第三步：尝试求解，并根据结果调整策略。
对于“不收敛”的问题：
显式数列:
如果 $a_n$ 是包含 $n$ 的表达式，直接计算当 $n o infty$ 时的极限。
如果极限是 $infty$ 或 $infty$，则不收敛。
如果极限不存在（比如振荡），也不收敛。
关键点： 看看是不是有 $n$ 在分母上（趋于0），还是在指数上（趋于无穷），或者是在分子上（趋于无穷）。
递推数列:
先看前几项: 1, 2, 3, 4... 这种。
如果不好直接判断，尝试证明单调性：
数学归纳法证明单调性： 假设 $a_k ge a_{k1}$ (或 $le$)，看能否证明 $a_{k+1} ge a_k$ (或 $le$)。
直接比较： 计算 $a_{n+1} a_n$ 或 $a_{n+1}/a_n$（如果数列项都是正的），看其符号。
尝试证明有界性：
数学归纳法证明界限： 比如证明 $a_n le M$ (或 $a_n ge m$)。
代入递推关系： 如果 $a_{n+1} = f(a_n)$，并且 $a_n$ 似乎在一个范围（比如 $[m, M]$）内，可以看看 $f(x)$ 在这个范围内的最大最小值，来确定下一项的范围。
如果证明了单调但无界，则发散。
如果证明了有界但单调性不确定（比如忽增忽减），或者无法证明单调，那就比较困难了。 这种情况下，可能需要看是否有振荡的迹象。
对于“求不出通项”的问题：
尝试常见的通项求解方法：
等差/等比数列判别： 检查相邻两项的差或比是否为常数。
裂项相消： 比如 $a_n = frac{1}{n(n+1)}$，可以写成 $frac{1}{n} frac{1}{n+1}$。
累加法： $a_{n+1} = a_n + f(n)$，则 $a_n = a_1 + sum_{k=1}^{n1} f(k)$。
累乘法： $a_{n+1} = a_n cdot f(n)$，则 $a_n = a_1 cdot prod_{k=1}^{n1} f(k)$。
特征方程法： 适用于线性递推关系。
换元法/构造法： 比如令 $b_n = a_n + c$ 或 $b_n = 1/a_n$ 等，看是否能转化为易处理的数列。
如果以上方法都无效，思考一下题目是否真的是在考察“通项公式”。
有没有可能，即使没有通项，也能判断收敛性？ （如上面提到的，单调有界定理）
有没有可能，可以通过其他方式（比如求和）来解决问题？
举个例子，让你更具体地感受一下：
假设有这样一个小题：
“数列 $a_n$ 满足 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = sqrt{a_n + 2}$，求数列 $a_n$ 的极限。”
审题： 要求极限。
初步观察： 是递推数列。
尝试求解：
先看前几项： $a_1=1$, $a_2=sqrt{1+2}=sqrt{3} approx 1.732$, $a_3=sqrt{sqrt{3}+2} approx sqrt{3.732} approx 1.932$, $a_4=sqrt{1.932+2} approx sqrt{3.932} approx 1.983$
初步猜测： 数列好像在增大，并且接近某个值（可能是2）。
验证单调性：
我们猜 $a_n$ 是递增的。尝试证明 $a_{n+1} ge a_n$。
用数学归纳法：
$n=1$ 时，$a_2 = sqrt{3} > 1 = a_1$ 成立。
假设 $a_k ge a_{k1}$ (k>1)，我们要证明 $a_{k+1} ge a_k$。
$a_{k+1} = sqrt{a_k + 2}$, $a_k = sqrt{a_{k1} + 2}$。
因为 $a_k ge a_{k1}$，所以 $a_k + 2 ge a_{k1} + 2$。
两边开平方（因为数列项都大于0），$sqrt{a_k + 2} ge sqrt{a_{k1} + 2}$，即 $a_{k+1} ge a_k$。
所以，$a_n$ 是递增数列。
验证有界性：
我们猜 $a_n le 2$。尝试用数学归纳法证明。
$n=1$ 时，$a_1 = 1 le 2$ 成立。
假设 $a_k le 2$ (k>1)，我们要证明 $a_{k+1} le 2$。
$a_{k+1} = sqrt{a_k + 2}$。
因为 $a_k le 2$，所以 $a_k + 2 le 2+2 = 4$。
两边开平方，$sqrt{a_k + 2} le sqrt{4} = 2$。
所以，$a_{k+1} le 2$。
所以，$a_n$ 是以2为上界的。
结论： 数列 $a_n$ 单调递增且有界，根据单调有界定理，数列 $a_n$ 收敛。
求极限： 设 $lim_{n oinfty} a_n = L$。
因为 $a_{n+1} = sqrt{a_n + 2}$，两边取极限：$lim_{n oinfty} a_{n+1} = lim_{n oinfty} sqrt{a_n + 2}$
$L = sqrt{L+2}$ （因为函数 $sqrt{x}$ 是连续的）
平方两边：$L^2 = L + 2$
$L^2 L 2 = 0$
$(L2)(L+1) = 0$
所以，$L=2$ 或 $L=1$。
因为数列的项都是正数（$a_1=1$，递推关系保证了后续项也是正数），所以极限 $L$ 必须是非负的。因此，$L=2$。
这个例子中，我们虽然没有直接求出$a_n$的通项公式，但我们成功地判断了它收敛，并且求出了它的极限。这可能就是题目“不会求通项，但会收敛”的思路。
最后，再给你一些通用的建议，面对这类题：
1. 不要怕“不会求通项”： 很多时候，题目设计成这样，就是为了考察你是否能绕过直接求通项，用其他方法（如单调有界）来解决问题。
2. 先冷静分析： 拿到题目，不要急着动手。先看看它是什么类型的数列，它问的是什么，有没有什么明显的特征。
3. 多尝试，多思考： 数学题不是一蹴而就的，尤其是这些“刁钻”的题目。多尝试不同的方法，即使失败了，也能帮你排除一些可能性，缩小范围。
4. 回归基本概念： 遇到困难时，总是要回到收敛、发散、极限、通项这些基本概念上，它们才是解决问题的根基。
5. 做题后总结： 即使这三个小题没做好，也要认真分析错在哪里，是判断错了收敛性，还是求通项的方法没掌握，或者是解题思路卡壳了。把这些经验总结下来，下次遇到类似的题目就会更有把握。
希望我这些啰嗦但尽力详细的解释，能让你对第四大题的这三个小题有一个更清晰的认识。别灰心，一步步来，总能找到突破口！ 如果你方便把具体的题目发出来，我可以给你更针对性的分析。
网友意见
From the prerequisite, we know
, ,
i.e.
the characteristic equation is
,
hence we can suppose that
According to , , we get
,
thus
hence
For , and It is easy to find
Take logarithm by two sides
From
Consider the function below
,
then, owing to is monotonic as varies, we can easily obtain
Besides, there has
hence is a compression mapping on
therefore, hold only one fixed point which satisfies
thus there exists , and
Take into consideration that , we finally obtain
类似的话题
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