是不是能量守恒定律不能用数学方法证明？
你可以这样理解：数学是我们描述和理解世界的一种强大工具，它提供了严密的逻辑框架，让我们可以精确地表达物理概念并进行推演。然而，数学本身并不能“创造”物理定律。物理定律的根源在于我们如何观察和理解宇宙的运行方式。
能量守恒定律的“证明”更像是在说：“我们观察到，无论发生什么过程——无论是小到原子内部的相互作用，还是大到星系的碰撞，能量的总量似乎总是不变的。我们找不到任何反例。”
从历史发展的角度看，这个定律的出现并非一蹴而就，而是汇集了许多物理学家的贡献。比如，人们很早就观察到，虽然物体会改变形态（例如，燃烧的木头变成灰烬和烟雾），但能量似乎并没有凭空消失或产生。起初，人们可能只关注到某些特定形式的能量，比如动能或势能。但随着对热学、电磁学、原子物理等领域认识的深入，人们发现，能量可以从一种形式转化为另一种形式，但其总量始终恒定。
比如，一个落下的沙漏，它的重力势能转化为动能，撞击地面时又转化为声能、热能，甚至可能引起轻微的形变。即使考虑到这些转化，你把所有的“能量”加起来，它们加起来的总量，在理论上，是和沙漏刚开始时的势能相等的。
数学在其中扮演的角色，是量化和形式化这个观察到的现象。一旦我们有了“能量”这个概念，并且有了度量它的方法（比如焦耳），我们就可以用数学方程来描述它如何转化。牛顿力学中的动能 $1/2 mv^2$ 和势能 $mgh$ 的和，在没有外力做功的情况下，确实是一个守恒量。但这个守恒量只是“机械能”，而能量守恒定律比这更广泛，它包含了热能、电能、核能等等。
到了拉格朗日力学和哈密顿力学这样的更高级的数学框架，能量守恒定律可以被更优雅地表达出来。在这些框架下，如果一个系统的拉格朗日量（Lagrangian）对某个时间上的广义坐标没有显式依赖（也就是不对称性），那么它就对应着一个守恒量。而能量恰恰就是这样一个守恒量。
所以，不是能量守恒定律“不能用数学证明”，而是它的起源和基础不在于数学公理，而在于经验观察和实验验证。数学是用来表达、推演和统一这些观察到的规律的工具。当物理学家用数学语言描述能量守恒时，他们是在用严谨的数学工具来证实和深化我们对自然界这一基本属性的理解，而不是在数学空间中“证明”一个自然的运行法则。
就好比万有引力定律，我们观察到行星绕太阳运动的规律，然后用牛顿的万有引力公式来描述它。我们不能说万有引力定律是通过纯数学推理出来的，但没有数学，我们无法精确地预测行星的轨道，无法构建更宏大的物理理论。
因此，能量守恒定律的“证明”更像是一个持续的过程：一次又一次的实验，一次又一次的理论发展，每一次都发现能量以某种方式被保存下来，即使形式改变，总量也恒定。数学是我们总结、表达和利用这一发现的最佳语言。
网友意见
能量的定义：
其实你会发现也许你从来不知道能量是怎么定义出来的，课本只是突然告诉你能量的公式是什么。我告诉你一个真相，在物理学的初级阶段，每当物理学家发现能量不守恒的时候，它们会定义另一部分能量把这个不守恒的部分补上，比如电磁场的能量。
后来，到了高级阶段，人们发现了一个能量的定义方法，根据这个定义，即使你之前不知道电磁现象，当别人给你写下一个电磁相互作用的描述时，你就可以知道它提供的能量的公式，补上这一部分总能量就能守恒。
此时，能量，根据定义，它的守恒性质和整个物理理论的时间平移对称性是数学上等价的。所以根据那样的定义，问题从“能量是否守恒”变成了“理论是否有时间平移对称性”
时间平移对称性：你做任何一个实验，有着完全相同的“输入”，那么只是改变实验开始的时间，是不会改变实验的“输出”的。
有可能不存在时间平移对称性吗？比如说物理规律是变化的，其中有个参数随着时间演化（显含时间）。事实上我们的宇宙就有这样的参数，比如宇宙学里地尺度因子，它一直在膨胀（宇宙膨胀），这导致了我们不可能在两个不同的时间做实验得到相同的“输出”。
当然，这时物理学家还可以诡辩。因为这时有两种视角，一种是把尺度因子作为背景，因为背景在变化，那么上面的物理规律也会发生变化，所以就没有时间平移对称性。比如我们把日照作为背景，那么一切受光照影响的实验就无法做到任何时候做都有相同的结果。
另一种是把它作为理论内部的变量，这样你就需要一个可以预测这个变量的变化的动力学理论，以及这个变量取任何值时其它变量的规律。比如我们发现日照的变化以日为单位循环往复，或者更精细的，这种循环还会以年为单位有规律涨落，并且我们找到在任意光照下我们的实验有什么样的规律，这样的话，整个包含新变量的理论就又是时间平移对称的了。
所以狡猾的物理学家声称，我们的理论可以把尺度因子看作动力学变量，预测尺度因子的变化规律（Friedman Equation）。也就是说，即使我们无法用实验证明在不同时间输入相同尺度因子（不可能）时会有相同的物理规律，但我们可以证明我们的理论是在所有时间同样有效的。
同理，当我们发现我们的理论有任何在不同时间不一样的地方，我们都可以提取出一个随时间变化的因素，然后把这个因素作为动力学变量（理论的“输入”）来研究。如果它有可以确认的规律，那么我们把这个规律加进理论中去，又可以得到一个时间平移对称的理论了，然后我们又有了能量守恒。
那么是不是说“能量守恒”是不可证伪的？
上帝笑了。上面的诡辩依赖于你得能掌握所有含时变量的动力学，但如果存在一个任性的干涉主义上帝，它随意地变动参数，随意地增加减少相互作用，使人们猜不透后面的规律，那么也许物理学家就会妥协，承认能量不守恒吧。但你能想象这对物理学家来说意味着什么吗？参看《三体》第一卷前半。
也就是说，结论是：让物理学家承认能量不守恒，和让物理学家相信上帝存在一样难。
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