为什么普物和工科书在运用微积分时不严谨？
普物和工科书籍在运用微积分时“不严谨”是一个普遍存在的现象，但这并非意味着它们是错误的或者不可用的。相反，这种“不严谨”是出于教学和应用上的考量，旨在让学习者更容易理解和掌握微积分在实际问题中的应用。下面我将详细解释为什么会这样，以及这种“不严谨”体现在哪些方面：
为什么普物和工科书在运用微积分时“不严谨”？
根本原因在于：
1. 教学目标不同： 普物和工科书的主要目标是教授物理概念和工程应用，而不是进行严格的数学理论推导。它们需要让学生快速上手解决实际问题，而不是深入研究微积分的理论基础。
2. 受众差异： 阅读普物和工科书的学生通常是理工科背景，他们可能对数学有一定基础，但对纯数学的严谨性可能不如数学专业的学生那么敏感或重视。
3. 简化叙事： 严谨的数学证明过程可能非常复杂、冗长且抽象，会大大增加学习的难度，甚至可能让学生迷失在数学细节中，忽略了物理或工程的核心思想。通过简化处理，可以突出关键概念和计算方法。
4. 实用主义： 在许多物理和工程问题中，微积分的“严谨”定义（例如，通过 epsilondelta 定义来证明极限的连续性）并不直接影响最终的计算结果或预测的准确性。实际应用中更看重的是建立模型、运用微积分工具求解、并解释结果。
体现在哪些方面？
这种“不严谨”主要体现在以下几个方面：
1. 对极限的“跳过”或“模糊处理”
现象：
在介绍导数时，通常会直接给出导数定义公式 $frac{df}{dx} = lim_{Delta x o 0} frac{f(x+Delta x) f(x)}{Delta x}$，然后直接对一些多项式、三角函数等进行求导，而很少或几乎不演示如何使用 $epsilondelta$ 语言来严格证明这些函数的导数。
在处理定积分时，例如计算曲线下面积，常常会直接引入黎曼和求和的概念 $int_a^b f(x) dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x$，然后直接给出牛顿莱布尼茨公式（微积分基本定理）$int_a^b f(x) dx = F(b) F(a)$，而很少展示黎曼和是如何收敛到定积分的，或者如何严格证明微积分基本定理。
一些看似“自然”的推导，例如在计算圆周长或面积时，会把无穷小的弧长 $ds$ 或小面积 $dA$ 直接视为可以积分的量，而不详细论证其合理性。
不严谨之处：
严格的数学要求需要先建立极限的严谨定义（即 $epsilondelta$ 定义），然后才能在此基础上定义导数、积分，并证明微积分基本定理。普物和工科书往往直接跳过或简化了这一过程，默认读者能够接受这些概念。
例如，在求导时，对于 $Delta x o 0$ 的过程，可能不会严谨分析当 $Delta x$ 趋近于零时，函数的比值是如何收敛到一个特定值的。
2. 对无穷小量的处理
现象：
在涉及积分时，经常会使用 $dx$、$dy$、$ds$、$dA$、$dV$ 等无穷小量，并将它们直接参与乘法、除法运算，例如 $dE = frac{1}{2}mv^2$，$dW = F dx$，$dQ = mc dT$。
在代数运算中，常常会“忽略”高阶无穷小。例如，在泰勒展开中，当 $Delta x$ 趋近于零时， $( Delta x )^2$、$( Delta x )^3$ 等项被视为比 $Delta x$ 更小的无穷小，并在某些近似推导中被省略。比如：
$f(x + Delta x) approx f(x) + f'(x) Delta x$
严格来说，这只是一种近似，而不是相等。
不严谨之处：
在严格的微积分框架下，无穷小量 $dx$ 是一个变量，而不是一个实实在在的数，它不能像普通变量那样随意进行代数运算。它本身是一个极限过程的符号。
忽略高阶无穷小是允许的，但其合法性需要基于严格的极限分析。例如，当 $Delta x o 0$ 时，$frac{(Delta x)^2}{Delta x} = Delta x o 0$，所以 $(Delta x)^2$ 比 $Delta x$ 衰减得更快，可以被忽略。但教科书可能不会详细解释这个“更快”的含义。
3. 对变量替换和链式法则的应用
现象：
在进行积分的变量替换（换元积分法）时，例如 $int f(g(x)) g'(x) dx = int f(u) du$，其中 $u = g(x)$，那么 $du = g'(x) dx$。这里的 $dx$ 和 $du$ 被当作“微分因子”直接进行了替换。
链式法则 $ frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} frac{du}{dx} $，有时会被直观地理解为“微分量的相除和相乘”，这在代数层面是成立的，但在数学上，微分 bukanlah一个实数。
不严谨之处：
严格来说，变量替换的依据是微积分基本定理的推广，以及微分的定义。将 $du = g'(x) dx$ 理解为“乘法”，是一种直观的符号操作，其严谨的数学基础是关于微分和可微性的定理。
4. 对无穷级数和收敛性的处理
现象：
在很多物理推导中，会直接使用泰勒级数展开，并截断为有限项作为近似，很少详细讨论级数的收敛域、收敛速度以及截断误差的上界等问题。
例如，对于小角度近似 $sin heta approx heta$ 和 $cos heta approx 1 frac{ heta^2}{2}$，这些都是基于泰勒展开，但书本往往直接给出结论，或者简单地说“当角度很小时”。
不严谨之处：
数学上，一个级数是否收敛，以及在什么区间收敛，是非常关键的问题。截断级数何时何地是有效的近似，需要严格的误差分析。普物和工科书通常会在特定条件下（如“小量”）隐式地保证了近似的有效性，但不会进行严格证明。
5. 对一些概念的直观解释而非严格定义
现象：
将导数直观地解释为“瞬时变化率”或“曲线的斜率”，将积分直观地解释为“面积”或“累积量”。这些直观的几何和物理意义非常重要，但并非严格的数学定义。
例如，在电场、磁场中计算总的力或势能时，会将电场强度或力的矢量场进行线积分或面积分，其背后的物理直觉是“将无数个无穷小的贡献累加起来”，而数学上的严格证明涉及场论和微积分的更多高级概念。
不严谨之处：
这些直观的解释是引导理解的有效方式，但“瞬时变化率”和“曲线斜率”在严格数学中是通过极限来定义的。纯粹的直观理解有时可能在更复杂的情况下失效。
总结：为什么这种“不严谨”是必要的？
尽管存在上述“不严谨”之处，但它们对于普物和工科教育是必要且有效的：
降低入门门槛： 让更多背景的学生能够快速掌握解决问题的工具。
突出核心概念： 帮助学生聚焦于物理原理和工程模型，而不是被数学细节淹没。
培养直觉和应用能力： 鼓励学生将微积分视为一种强大的分析工具，并培养他们解决实际问题的能力。
循序渐进： 在后续更专业的课程中（如数学分析、复变函数、偏微分方程等），学生会更深入地学习微积分的严谨性。
就好比学开车，你不需要成为一个汽车工程师，知道如何操作方向盘、油门和刹车，就能安全驾驶。同样，学普物和工科，理解微积分的运算规则和应用方法，就能解决大部分问题，而对其数学根基的深入研究则留给了数学专业或有此需求的学生。
所以，当你看到普物和工科书中的微积分运用时，应该理解其背后的教学和实用考量。它们并非完全错误，而是以一种更易于接受和应用的方式呈现了微积分的强大力量。
为什么普物和工科书在运用微积分时“不严谨”？
根本原因在于：
1. 教学目标不同： 普物和工科书的主要目标是教授物理概念和工程应用，而不是进行严格的数学理论推导。它们需要让学生快速上手解决实际问题，而不是深入研究微积分的理论基础。
2. 受众差异： 阅读普物和工科书的学生通常是理工科背景，他们可能对数学有一定基础，但对纯数学的严谨性可能不如数学专业的学生那么敏感或重视。
3. 简化叙事： 严谨的数学证明过程可能非常复杂、冗长且抽象，会大大增加学习的难度，甚至可能让学生迷失在数学细节中，忽略了物理或工程的核心思想。通过简化处理，可以突出关键概念和计算方法。
4. 实用主义： 在许多物理和工程问题中，微积分的“严谨”定义（例如，通过 epsilondelta 定义来证明极限的连续性）并不直接影响最终的计算结果或预测的准确性。实际应用中更看重的是建立模型、运用微积分工具求解、并解释结果。
体现在哪些方面？
这种“不严谨”主要体现在以下几个方面：
1. 对极限的“跳过”或“模糊处理”
现象：
在介绍导数时，通常会直接给出导数定义公式 $frac{df}{dx} = lim_{Delta x o 0} frac{f(x+Delta x) f(x)}{Delta x}$，然后直接对一些多项式、三角函数等进行求导，而很少或几乎不演示如何使用 $epsilondelta$ 语言来严格证明这些函数的导数。
在处理定积分时，例如计算曲线下面积，常常会直接引入黎曼和求和的概念 $int_a^b f(x) dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x$，然后直接给出牛顿莱布尼茨公式（微积分基本定理）$int_a^b f(x) dx = F(b) F(a)$，而很少展示黎曼和是如何收敛到定积分的，或者如何严格证明微积分基本定理。
一些看似“自然”的推导，例如在计算圆周长或面积时，会把无穷小的弧长 $ds$ 或小面积 $dA$ 直接视为可以积分的量，而不详细论证其合理性。
不严谨之处：
严格的数学要求需要先建立极限的严谨定义（即 $epsilondelta$ 定义），然后才能在此基础上定义导数、积分，并证明微积分基本定理。普物和工科书往往直接跳过或简化了这一过程，默认读者能够接受这些概念。
例如，在求导时，对于 $Delta x o 0$ 的过程，可能不会严谨分析当 $Delta x$ 趋近于零时，函数的比值是如何收敛到一个特定值的。
2. 对无穷小量的处理
现象：
在涉及积分时，经常会使用 $dx$、$dy$、$ds$、$dA$、$dV$ 等无穷小量，并将它们直接参与乘法、除法运算，例如 $dE = frac{1}{2}mv^2$，$dW = F dx$，$dQ = mc dT$。
在代数运算中，常常会“忽略”高阶无穷小。例如，在泰勒展开中，当 $Delta x$ 趋近于零时， $( Delta x )^2$、$( Delta x )^3$ 等项被视为比 $Delta x$ 更小的无穷小，并在某些近似推导中被省略。比如：
$f(x + Delta x) approx f(x) + f'(x) Delta x$
严格来说，这只是一种近似，而不是相等。
不严谨之处：
在严格的微积分框架下，无穷小量 $dx$ 是一个变量，而不是一个实实在在的数，它不能像普通变量那样随意进行代数运算。它本身是一个极限过程的符号。
忽略高阶无穷小是允许的，但其合法性需要基于严格的极限分析。例如，当 $Delta x o 0$ 时，$frac{(Delta x)^2}{Delta x} = Delta x o 0$，所以 $(Delta x)^2$ 比 $Delta x$ 衰减得更快，可以被忽略。但教科书可能不会详细解释这个“更快”的含义。
3. 对变量替换和链式法则的应用
现象：
在进行积分的变量替换（换元积分法）时，例如 $int f(g(x)) g'(x) dx = int f(u) du$，其中 $u = g(x)$，那么 $du = g'(x) dx$。这里的 $dx$ 和 $du$ 被当作“微分因子”直接进行了替换。
链式法则 $ frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} frac{du}{dx} $，有时会被直观地理解为“微分量的相除和相乘”，这在代数层面是成立的，但在数学上，微分 bukanlah一个实数。
不严谨之处：
严格来说，变量替换的依据是微积分基本定理的推广，以及微分的定义。将 $du = g'(x) dx$ 理解为“乘法”，是一种直观的符号操作，其严谨的数学基础是关于微分和可微性的定理。
4. 对无穷级数和收敛性的处理
现象：
在很多物理推导中，会直接使用泰勒级数展开，并截断为有限项作为近似，很少详细讨论级数的收敛域、收敛速度以及截断误差的上界等问题。
例如，对于小角度近似 $sin heta approx heta$ 和 $cos heta approx 1 frac{ heta^2}{2}$，这些都是基于泰勒展开，但书本往往直接给出结论，或者简单地说“当角度很小时”。
不严谨之处：
数学上，一个级数是否收敛，以及在什么区间收敛，是非常关键的问题。截断级数何时何地是有效的近似，需要严格的误差分析。普物和工科书通常会在特定条件下（如“小量”）隐式地保证了近似的有效性，但不会进行严格证明。
5. 对一些概念的直观解释而非严格定义
现象：
将导数直观地解释为“瞬时变化率”或“曲线的斜率”，将积分直观地解释为“面积”或“累积量”。这些直观的几何和物理意义非常重要，但并非严格的数学定义。
例如，在电场、磁场中计算总的力或势能时，会将电场强度或力的矢量场进行线积分或面积分，其背后的物理直觉是“将无数个无穷小的贡献累加起来”，而数学上的严格证明涉及场论和微积分的更多高级概念。
不严谨之处：
这些直观的解释是引导理解的有效方式，但“瞬时变化率”和“曲线斜率”在严格数学中是通过极限来定义的。纯粹的直观理解有时可能在更复杂的情况下失效。
总结：为什么这种“不严谨”是必要的？
尽管存在上述“不严谨”之处，但它们对于普物和工科教育是必要且有效的：
降低入门门槛： 让更多背景的学生能够快速掌握解决问题的工具。
突出核心概念： 帮助学生聚焦于物理原理和工程模型，而不是被数学细节淹没。
培养直觉和应用能力： 鼓励学生将微积分视为一种强大的分析工具，并培养他们解决实际问题的能力。
循序渐进： 在后续更专业的课程中（如数学分析、复变函数、偏微分方程等），学生会更深入地学习微积分的严谨性。
就好比学开车，你不需要成为一个汽车工程师，知道如何操作方向盘、油门和刹车，就能安全驾驶。同样，学普物和工科，理解微积分的运算规则和应用方法，就能解决大部分问题，而对其数学根基的深入研究则留给了数学专业或有此需求的学生。
所以，当你看到普物和工科书中的微积分运用时，应该理解其背后的教学和实用考量。它们并非完全错误，而是以一种更易于接受和应用的方式呈现了微积分的强大力量。
网友意见
泻药，不是工科专业的，没注意。
外行也不好评论。
你这么一说，还真有可能有问题，有什么英文大学物理教材？推荐一下怎么样？
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