怎样徒手开三次根号、四次根号？
徒手求解三次、四次根号：一种挑战与乐趣并存的数字游戏
在数字的世界里，根号运算是我们常接触到的数学工具。我们熟知如何使用计算器轻松求解平方根、立方根，但有没有想过，在没有计算器的情况下，仅凭一双巧手和一点点耐心，也能探寻这些数字的秘密呢？今天，我们就来聊聊徒手求解三次根号和四次根号的那些“老派”方法，这更像是一场数字侦探游戏，需要细心、耐心，还有一点点对数字规律的敏锐观察。
首先，我们得明确一点：徒手求解高次根号，尤其是在没有辅助工具的情况下，它的精确性往往是有限的。 我们追求的更多是一种近似值，但这个近似值可以被无限逼近，直到我们满意为止。这就好比在黑暗中摸索，每一步都让你离目标更近一些。
徒手求解三次根号（立方根）
想象一下，我们要找一个数 `x`，使得 `x x x = N`（其中 `N` 是我们要开立方根的数）。
第一步：估算范围
这是最关键也是最直观的一步。我们要先大致猜出答案大概在哪个范围内。
个位数观察法：
看看 `N` 的个位数。
哪些数的立方以这个个位数结尾？
0³ = 0
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27 (个位是 7)
4³ = 64 (个位是 4)
5³ = 125 (个位是 5)
6³ = 216 (个位是 6)
7³ = 343 (个位是 3)
8³ = 512 (个位是 2)
9³ = 729 (个位是 9)
举个例子： 如果我们要开 ³√1728。1728 的个位数是 8。我们看到只有 2³ 的个位数是 8。这告诉我们，如果 1728 是一个整数的立方，那么它的立方根的个位数很可能是 2。
分组法（适用于较大的数）：
将 `N` 从个位起，每三位划分为一组。
举个例子： 如果我们要开 ³√5832。
分组：5 | 832
看第一组（从右往左）：832。它的个位数是 2。结合上面个位数观察法，我们知道立方根的个位数可能是 8。
看第二组：5。哪个数的立方最接近 5？
1³ = 1
2³ = 8
5 介于 1³ 和 2³ 之间。所以，立方根的十位数应该是 1。
综合起来，³√5832 的整数部分可能是 18。我们可以验证一下：18 18 18 = 324 18 = 5832。Bingo！
再举个例子： ³√12167
分组：12 | 167
第一组（右）：167。个位数是 7。立方根的个位数可能是 3 (因为 3³=27)。
第二组（左）：12。哪个数的立方最接近 12？
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
12 介于 2³ 和 3³ 之间，所以立方根的十位数是 2。
综合起来，³√12167 的整数部分可能是 23。验证：23 23 23 = 529 23 = 12167。
第二步：逐步逼近（试错法与牛顿迭代法的简化版）
如果 `N` 不是一个完美的立方数，或者我们没有找到完美的整数答案，就需要进一步逼近。
试错法:
根据第一步估算出的整数部分，比如我们猜立方根是 `a`。
计算 `a³` 和 `(a+1)³`。
如果 `N` 在 `a³` 和 `(a+1)³` 之间，那么立方根就在 `a` 和 `a+1` 之间。
我们可以再猜一个小数，比如 `a.b`。计算 `(a.b)³`。
举例： ³√10
我们知道 2³ = 8，3³ = 27。所以 ³√10 在 2 和 3 之间。
猜 2.1：2.1³ = 9.261 (有点小)
猜 2.2：2.2³ = 10.648 (有点大)
所以，³√10 在 2.1 和 2.2 之间。
我们可以继续猜 2.15。2.15³ 约等于 9.938。
继续猜 2.154。2.154³ 约等于 9.994。
继续猜 2.1544。2.1544³ 约等于 9.9996。
你看，通过不断尝试，我们可以无限地逼近真实值。这种方法需要耐心和大量的乘法运算。
牛顿迭代法的思路（简化版，更像是一种直观的调整）：
设一个初始猜测值 `x₀`。
计算 `x₀³`。
找出 `x₀³` 和 `N` 的差距：`Δ = N x₀³`。
我们希望 `(x₀ + Δx)³ ≈ N`。
根据泰勒展开（或者直观理解），当 `Δx` 很小时，`(x₀ + Δx)³ ≈ x₀³ + 3x₀² Δx`。
所以 `x₀³ + 3x₀² Δx ≈ N`
`3x₀² Δx ≈ N x₀³ = Δ`
`Δx ≈ Δ / (3x₀²)`
新的猜测值 `x₁ = x₀ + Δx = x₀ + (N x₀³) / (3x₀²)`。
这个公式对于徒手计算会非常复杂，但其核心思想是：根据当前的误差和当前值的导数（立方函数的斜率），来计算应该调整多少。
徒手简化操作：
找到一个比较接近的整数 `a`，使得 `a³` 最接近 `N`。
计算 `a³`。
计算 `N` 和 `a³` 的差值 `差 = N a³`。
再计算 `a` 的平方 `a²`，然后乘以 3，得到 `3a²`。
用 `差` 除以 `3a²`（这步是关键，可能是最难的徒手计算）。得到的商就是我们应该加到 `a` 上的一个小数。
举例： ³√10。我们猜 `a = 2`。
`a³ = 8`。
`差 = 10 8 = 2`。
`a² = 4`，`3a² = 12`。
`差 / (3a²)` ≈ 2 / 12 ≈ 0.167。
新的猜测值 ≈ 2 + 0.167 = 2.167。
现在我们用 2.167 来计算 2.167³。2.167³ 约等于 10.16。比刚才的 2.1³ 和 2.2³ 都更接近了！
这个方法比纯粹的试错法效率高，但仍然需要分数的计算能力。
总结三次根号：
1. 看个位数判断个位数。
2. 按三位分组，确定高位数字（类似于平方根按两位分组）。
3. 通过试错或牛顿法的简化思路，不断逼近小数部分。
徒手求解四次根号（开四次方）
开四次根号，本质上就是两次开平方。也就是说，⁴√N = √(√N)。
所以，我们先用徒手开平方的方法求出 √N 的近似值，然后再对 √N 再开一次平方。
徒手开平方回顾（重点在于估算和修正）
要徒手开平方 √N：
1. 分组： 将数字从个位起，每两位划分为一组。
例如：√576 => 5 | 76
2. 求最高位数字：
看最左边一组数字（这里是 5）。找一个数的平方最接近 5 但不大于 5。这个数是 2 (因为 2²=4)。所以平方根的第一位数字是 2。
3. 计算余数并“拉下”下一组：
用这一组的数字减去刚才找到的数字的平方：5 4 = 1。
将下一组数字（76）“拉下”到余数后面：得到 176。
4. 求下一位数字（关键步骤）：
将目前已知的平方根部分（2）乘以 20，得到 40。
现在我们需要找到一个数字 `x`，使得 `(40 + x) x` 最接近或等于 176。
这个 `x` 就是平方根的下一位数字。
尝试：
如果 x=1：(40+1)1 = 41 (太小)
如果 x=2：(40+2)2 = 42 2 = 84 (太小)
如果 x=3：(40+3)3 = 43 3 = 129 (太小)
如果 x=4：(40+4)4 = 44 4 = 176 (正好！)
所以，平方根的下一位数字是 4。
5. 组合结果：
平方根是 24。 验证：24 24 = 576。
现在，我们把这个过程应用到四次根号：
目标： 徒手求 ⁴√N
步骤：
1. 第一次开平方： 求 N 的平方根，得到 √N。我们用上面描述的徒手开平方方法来计算 √N 的近似值。如果 N 本身不是一个完美的平方数，那么 √N 也可能是一个小数，我们需要计算到一定的精度。
2. 第二次开平方： 将第一次开平方得到的结果（√N）作为新的数字，再次进行徒手开平方操作。
举例： 求解 ⁴√1296
第一步：求解 √1296
分组： 12 | 96
最高位：
看第一组 12。3² = 9，4² = 16。最接近但不大于 12 的是 9，所以第一位是 3。
余数与拉下：
余数：12 9 = 3。
拉下 96：得到 396。
下一位：
已知平方根部分是 3。乘以 20 得到 60。
找 `x` 使得 `(60 + x) x` 接近 396。
尝试：
60 6 = 360 (太小)
65 5 = 325 (太小)
66 6 = 396 (正好！)
所以，√1296 = 36。
第二步：求解 √36
现在我们要求 √36。
分组： 36
最高位： 6² = 36。
余数与拉下： 36 36 = 0。没有下一组数字了。
下一位： 此时我们已得到整数结果，平方根就是 6。
结论： ⁴√1296 = 6。
再举例： 求解 ⁴√2401
第一步：求解 √2401
分组： 24 | 01
最高位：
看 24。4² = 16，5² = 25。最接近但不大于 24 的是 16，所以第一位是 4。
余数与拉下：
余数：24 16 = 8。
拉下 01：得到 801。
下一位：
已知平方根部分是 4。乘以 20 得到 80。
找 `x` 使得 `(80 + x) x` 接近 801。
尝试：
80 10 = 800 (有点接近了)
如果 x=10，(80+10)10 = 900 (太大了)
看起来这个 `x` 可能在 9 左右。
让我们试一下 9：(80 + 9) 9 = 89 9 = 801。 (正好！)
所以，√2401 = 49。
第二步：求解 √49
现在我们要求 √49。
分组： 49
最高位： 7² = 49。
余数与拉下： 49 49 = 0。
结论： √49 = 7。
结论： ⁴√2401 = 7。
处理非完美平方数的情况：
如果第一次开平方的结果不是一个整数，比如我们要开 ⁴√2000。
1. 求解 √2000：
分组：20 | 00
最高位：4² = 16，5² = 25。第一位是 4。
余数与拉下：20 16 = 4。拉下 00 得到 400。
下一位：已知部分是 4。乘以 20 得到 80。
找 `x` 使得 `(80 + x) x` 接近 400。
尝试：80 5 = 400。正好！
所以，√2000 ≈ 44.72（如果要求更高精度，需要在拉下小数点后的数字，但徒手操作会非常繁琐）。我们先取个近似值 44.7。
2. 求解 √44.7：
分组： 44 | .7
最高位：6² = 36，7² = 49。第一位是 6。
余数与拉下：44 36 = 8。拉下 .7 得到 8.7。
下一位：已知部分是 6。乘以 20 得到 120。
找 `x` 使得 `(120 + x) x` 接近 8.7。
这里的数字很小，所以 `x` 会很小。我们可以把 8.7 看成 870，然后除以 1200（因为是小数点后一位）。
870 / 1200 ≈ 0.7。
让我们试试 0.7：(120 + 0.7) 0.7 = 120.7 0.7 ≈ 84.49 (有点大了，我们应该从一个较小的数开始猜，比如 0.07)。
更准确的做法是，把余数 8.7 除以 120（已知部分的 2 倍），即 8.7 / 120 ≈ 0.0726。
所以，√44.7 ≈ 6.67。
结论： ⁴√2000 ≈ 6.67。
关于徒手开根号的几点心得：
耐心是王道： 这些方法都需要大量的手算和细心，一点点错误都会导致结果偏离。
估算能力是关键： 无论是三次根号还是四次根号，第一步的估算决定了你接下来的计算效率和准确性。
熟悉平方数和立方数： 记住一些常见的平方数（1², 2², ... 10² 等）和立方数（1³, 2³, ... 10³ 等），能极大地加速你的估算过程。
理解其本质： 开四次根号就是两次开平方，掌握了开平方，就掌握了开四次根号的基础。
趣味性大于实用性： 在现代，计算器和电脑是高效的工具。徒手开根号更多是一种对数学的探索，一种数字的趣味游戏，锻炼的是我们的逻辑思维和计算能力。
尝试一下吧！找一个你感兴趣的数字，拿起纸笔，开始这场数字探险，你会发现其中蕴含的乐趣远不止是得到一个数字那么简单。
在数字的世界里，根号运算是我们常接触到的数学工具。我们熟知如何使用计算器轻松求解平方根、立方根，但有没有想过，在没有计算器的情况下，仅凭一双巧手和一点点耐心，也能探寻这些数字的秘密呢？今天，我们就来聊聊徒手求解三次根号和四次根号的那些“老派”方法，这更像是一场数字侦探游戏，需要细心、耐心，还有一点点对数字规律的敏锐观察。
首先，我们得明确一点：徒手求解高次根号，尤其是在没有辅助工具的情况下，它的精确性往往是有限的。 我们追求的更多是一种近似值，但这个近似值可以被无限逼近，直到我们满意为止。这就好比在黑暗中摸索，每一步都让你离目标更近一些。
徒手求解三次根号（立方根）
想象一下，我们要找一个数 `x`，使得 `x x x = N`（其中 `N` 是我们要开立方根的数）。
第一步：估算范围
这是最关键也是最直观的一步。我们要先大致猜出答案大概在哪个范围内。
个位数观察法：
看看 `N` 的个位数。
哪些数的立方以这个个位数结尾？
0³ = 0
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27 (个位是 7)
4³ = 64 (个位是 4)
5³ = 125 (个位是 5)
6³ = 216 (个位是 6)
7³ = 343 (个位是 3)
8³ = 512 (个位是 2)
9³ = 729 (个位是 9)
举个例子： 如果我们要开 ³√1728。1728 的个位数是 8。我们看到只有 2³ 的个位数是 8。这告诉我们，如果 1728 是一个整数的立方，那么它的立方根的个位数很可能是 2。
分组法（适用于较大的数）：
将 `N` 从个位起，每三位划分为一组。
举个例子： 如果我们要开 ³√5832。
分组：5 | 832
看第一组（从右往左）：832。它的个位数是 2。结合上面个位数观察法，我们知道立方根的个位数可能是 8。
看第二组：5。哪个数的立方最接近 5？
1³ = 1
2³ = 8
5 介于 1³ 和 2³ 之间。所以，立方根的十位数应该是 1。
综合起来，³√5832 的整数部分可能是 18。我们可以验证一下：18 18 18 = 324 18 = 5832。Bingo！
再举个例子： ³√12167
分组：12 | 167
第一组（右）：167。个位数是 7。立方根的个位数可能是 3 (因为 3³=27)。
第二组（左）：12。哪个数的立方最接近 12？
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
12 介于 2³ 和 3³ 之间，所以立方根的十位数是 2。
综合起来，³√12167 的整数部分可能是 23。验证：23 23 23 = 529 23 = 12167。
第二步：逐步逼近（试错法与牛顿迭代法的简化版）
如果 `N` 不是一个完美的立方数，或者我们没有找到完美的整数答案，就需要进一步逼近。
试错法:
根据第一步估算出的整数部分，比如我们猜立方根是 `a`。
计算 `a³` 和 `(a+1)³`。
如果 `N` 在 `a³` 和 `(a+1)³` 之间，那么立方根就在 `a` 和 `a+1` 之间。
我们可以再猜一个小数，比如 `a.b`。计算 `(a.b)³`。
举例： ³√10
我们知道 2³ = 8，3³ = 27。所以 ³√10 在 2 和 3 之间。
猜 2.1：2.1³ = 9.261 (有点小)
猜 2.2：2.2³ = 10.648 (有点大)
所以，³√10 在 2.1 和 2.2 之间。
我们可以继续猜 2.15。2.15³ 约等于 9.938。
继续猜 2.154。2.154³ 约等于 9.994。
继续猜 2.1544。2.1544³ 约等于 9.9996。
你看，通过不断尝试，我们可以无限地逼近真实值。这种方法需要耐心和大量的乘法运算。
牛顿迭代法的思路（简化版，更像是一种直观的调整）：
设一个初始猜测值 `x₀`。
计算 `x₀³`。
找出 `x₀³` 和 `N` 的差距：`Δ = N x₀³`。
我们希望 `(x₀ + Δx)³ ≈ N`。
根据泰勒展开（或者直观理解），当 `Δx` 很小时，`(x₀ + Δx)³ ≈ x₀³ + 3x₀² Δx`。
所以 `x₀³ + 3x₀² Δx ≈ N`
`3x₀² Δx ≈ N x₀³ = Δ`
`Δx ≈ Δ / (3x₀²)`
新的猜测值 `x₁ = x₀ + Δx = x₀ + (N x₀³) / (3x₀²)`。
这个公式对于徒手计算会非常复杂，但其核心思想是：根据当前的误差和当前值的导数（立方函数的斜率），来计算应该调整多少。
徒手简化操作：
找到一个比较接近的整数 `a`，使得 `a³` 最接近 `N`。
计算 `a³`。
计算 `N` 和 `a³` 的差值 `差 = N a³`。
再计算 `a` 的平方 `a²`，然后乘以 3，得到 `3a²`。
用 `差` 除以 `3a²`（这步是关键，可能是最难的徒手计算）。得到的商就是我们应该加到 `a` 上的一个小数。
举例： ³√10。我们猜 `a = 2`。
`a³ = 8`。
`差 = 10 8 = 2`。
`a² = 4`，`3a² = 12`。
`差 / (3a²)` ≈ 2 / 12 ≈ 0.167。
新的猜测值 ≈ 2 + 0.167 = 2.167。
现在我们用 2.167 来计算 2.167³。2.167³ 约等于 10.16。比刚才的 2.1³ 和 2.2³ 都更接近了！
这个方法比纯粹的试错法效率高，但仍然需要分数的计算能力。
总结三次根号：
1. 看个位数判断个位数。
2. 按三位分组，确定高位数字（类似于平方根按两位分组）。
3. 通过试错或牛顿法的简化思路，不断逼近小数部分。
徒手求解四次根号（开四次方）
开四次根号，本质上就是两次开平方。也就是说，⁴√N = √(√N)。
所以，我们先用徒手开平方的方法求出 √N 的近似值，然后再对 √N 再开一次平方。
徒手开平方回顾（重点在于估算和修正）
要徒手开平方 √N：
1. 分组： 将数字从个位起，每两位划分为一组。
例如：√576 => 5 | 76
2. 求最高位数字：
看最左边一组数字（这里是 5）。找一个数的平方最接近 5 但不大于 5。这个数是 2 (因为 2²=4)。所以平方根的第一位数字是 2。
3. 计算余数并“拉下”下一组：
用这一组的数字减去刚才找到的数字的平方：5 4 = 1。
将下一组数字（76）“拉下”到余数后面：得到 176。
4. 求下一位数字（关键步骤）：
将目前已知的平方根部分（2）乘以 20，得到 40。
现在我们需要找到一个数字 `x`，使得 `(40 + x) x` 最接近或等于 176。
这个 `x` 就是平方根的下一位数字。
尝试：
如果 x=1：(40+1)1 = 41 (太小)
如果 x=2：(40+2)2 = 42 2 = 84 (太小)
如果 x=3：(40+3)3 = 43 3 = 129 (太小)
如果 x=4：(40+4)4 = 44 4 = 176 (正好！)
所以，平方根的下一位数字是 4。
5. 组合结果：
平方根是 24。 验证：24 24 = 576。
现在，我们把这个过程应用到四次根号：
目标： 徒手求 ⁴√N
步骤：
1. 第一次开平方： 求 N 的平方根，得到 √N。我们用上面描述的徒手开平方方法来计算 √N 的近似值。如果 N 本身不是一个完美的平方数，那么 √N 也可能是一个小数，我们需要计算到一定的精度。
2. 第二次开平方： 将第一次开平方得到的结果（√N）作为新的数字，再次进行徒手开平方操作。
举例： 求解 ⁴√1296
第一步：求解 √1296
分组： 12 | 96
最高位：
看第一组 12。3² = 9，4² = 16。最接近但不大于 12 的是 9，所以第一位是 3。
余数与拉下：
余数：12 9 = 3。
拉下 96：得到 396。
下一位：
已知平方根部分是 3。乘以 20 得到 60。
找 `x` 使得 `(60 + x) x` 接近 396。
尝试：
60 6 = 360 (太小)
65 5 = 325 (太小)
66 6 = 396 (正好！)
所以，√1296 = 36。
第二步：求解 √36
现在我们要求 √36。
分组： 36
最高位： 6² = 36。
余数与拉下： 36 36 = 0。没有下一组数字了。
下一位： 此时我们已得到整数结果，平方根就是 6。
结论： ⁴√1296 = 6。
再举例： 求解 ⁴√2401
第一步：求解 √2401
分组： 24 | 01
最高位：
看 24。4² = 16，5² = 25。最接近但不大于 24 的是 16，所以第一位是 4。
余数与拉下：
余数：24 16 = 8。
拉下 01：得到 801。
下一位：
已知平方根部分是 4。乘以 20 得到 80。
找 `x` 使得 `(80 + x) x` 接近 801。
尝试：
80 10 = 800 (有点接近了)
如果 x=10，(80+10)10 = 900 (太大了)
看起来这个 `x` 可能在 9 左右。
让我们试一下 9：(80 + 9) 9 = 89 9 = 801。 (正好！)
所以，√2401 = 49。
第二步：求解 √49
现在我们要求 √49。
分组： 49
最高位： 7² = 49。
余数与拉下： 49 49 = 0。
结论： √49 = 7。
结论： ⁴√2401 = 7。
处理非完美平方数的情况：
如果第一次开平方的结果不是一个整数，比如我们要开 ⁴√2000。
1. 求解 √2000：
分组：20 | 00
最高位：4² = 16，5² = 25。第一位是 4。
余数与拉下：20 16 = 4。拉下 00 得到 400。
下一位：已知部分是 4。乘以 20 得到 80。
找 `x` 使得 `(80 + x) x` 接近 400。
尝试：80 5 = 400。正好！
所以，√2000 ≈ 44.72（如果要求更高精度，需要在拉下小数点后的数字，但徒手操作会非常繁琐）。我们先取个近似值 44.7。
2. 求解 √44.7：
分组： 44 | .7
最高位：6² = 36，7² = 49。第一位是 6。
余数与拉下：44 36 = 8。拉下 .7 得到 8.7。
下一位：已知部分是 6。乘以 20 得到 120。
找 `x` 使得 `(120 + x) x` 接近 8.7。
这里的数字很小，所以 `x` 会很小。我们可以把 8.7 看成 870，然后除以 1200（因为是小数点后一位）。
870 / 1200 ≈ 0.7。
让我们试试 0.7：(120 + 0.7) 0.7 = 120.7 0.7 ≈ 84.49 (有点大了，我们应该从一个较小的数开始猜，比如 0.07)。
更准确的做法是，把余数 8.7 除以 120（已知部分的 2 倍），即 8.7 / 120 ≈ 0.0726。
所以，√44.7 ≈ 6.67。
结论： ⁴√2000 ≈ 6.67。
关于徒手开根号的几点心得：
耐心是王道： 这些方法都需要大量的手算和细心，一点点错误都会导致结果偏离。
估算能力是关键： 无论是三次根号还是四次根号，第一步的估算决定了你接下来的计算效率和准确性。
熟悉平方数和立方数： 记住一些常见的平方数（1², 2², ... 10² 等）和立方数（1³, 2³, ... 10³ 等），能极大地加速你的估算过程。
理解其本质： 开四次根号就是两次开平方，掌握了开平方，就掌握了开四次根号的基础。
趣味性大于实用性： 在现代，计算器和电脑是高效的工具。徒手开根号更多是一种对数学的探索，一种数字的趣味游戏，锻炼的是我们的逻辑思维和计算能力。
尝试一下吧！找一个你感兴趣的数字，拿起纸笔，开始这场数字探险，你会发现其中蕴含的乐趣远不止是得到一个数字那么简单。
网友意见
竖式开方么？
四次简单，连开两次平方就行了。
三次如果是类似竖式开方的方法，也差不多，写成三位一组，试根，然后除以(已有根的平方*300 + 已有根*试根*30 + 试根的平方)。如果不够除的话，试根减1，再重复。
举个例子：57512456，开三次方，写成 57 512 456
4^3=64>57，所以先试根3，高位减去27，剩余30 512 456
然后用30512除以3^2*300，似乎可以试根9。3^2*300+3*9*30+9^2=3591, 30512/3591小于9，不够除，所以试根9不对。再试根8，3^2*300+3*8*30+8^2=3484, 30512/3484=8，余2640。
现在剩余2640 456，已有的根是38，再重复，用2640456除以38^2*300得6，试根6，38^2*300+38*6*30+6^2=440076，用2640456除以440076，正好除尽。
所以57512456的三次方根是386。
初中时自己试出来的，虽然麻烦了点，但是用纸笔计算是完全可行的。
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