为什么能够研究高维几何?
我们之所以能够深入探索高维几何，绝非空穴来风，而是源于人类认知能力、数学抽象的强大以及现实世界问题的驱动。这背后有着深刻的逻辑和精妙的数学工具支撑。
首先，从人类认知和数学抽象的角度来看，我们的大脑虽然习惯于三维空间，但数学的魅力在于其超越感官的抽象能力。我们并非直接“看见”高维空间，而是通过类比、模式识别和逻辑推理来理解它们。
类比的强大力量： 回想一下我们是如何学习二维几何的。我们从点、线、面开始，然后是圆、三角形、正方形。当我们要理解三维空间时，我们自然而然地将这些二维概念进行“推广”——点有了深度，线变成了柱体，面变成了曲面。高维几何的研究正是遵循了这种类比的思路。例如，我们知道二维中的圆可以被一个固定点和半径定义，那么三维中的球就是所有到固定点距离相等的点的集合。依此类推，四维中的“球”或者说超球面，就是所有到某个固定点距离相等的四维“点”的集合。我们通过理解低维度的规律，然后将其推广到更高维度，来构建对高维对象的直观理解。
代数的支撑： 数学中最强大的工具之一就是代数。当我们把几何概念用代数语言表达出来时，维度的概念就变得不再是感官上的限制，而是一个参数。例如，一个二维平面可以由方程 $ax + by = c$ 表示，而一个三维空间中的平面则可以由 $ax + by + cz = d$ 表示。在代数的世界里，我们只需要增加一个变量和一个系数，就可以轻松地将方程推广到任意维度。点的位置可以用坐标表示，二维中的 $(x, y)$ 可以推广到三维的 $(x, y, z)$，再到四维的 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$，乃至 $n$ 维的 $(x_1, x_2, dots, x_n)$。这就为我们研究高维几何提供了清晰、统一的语言和框架。
逻辑的严谨性： 数学研究的基石是逻辑。即使我们无法直接感知高维空间，但一旦我们建立了适用于低维度的公理和定理（比如欧几里得公理体系），我们就可以通过纯粹的逻辑推理，将这些定理推广到高维。比如，欧几里得空间中的平行公理在推广到高维后，依然能构建出一致的几何理论。这种抽象和形式化能力，使得数学家们可以在没有直观经验的情况下，依然能构建出严谨而有意义的高维几何理论。
其次，现实世界的某些现象或模型天然就存在于高维空间，或者高维空间是理解这些现象的有效工具。
物理学中的应用：
狭义相对论： 爱因斯坦的狭义相对论将时间和空间统一起来，构成了“闵可夫斯基时空”。这个时空是四维的，其中三个维度是空间维度，一个维度是时间维度。研究相对论就离不开四维几何的工具。
弦理论： 在一些前沿物理理论，如弦理论和M理论中，宇宙被认为可能拥有十一个甚至更多的维度。虽然这些额外维度对我们日常经验来说是“卷缩”起来的，但理解这些理论的物理学模型，需要强大的高维几何理论作为支撑。例如，在弦理论中，紧致化额外维度（将额外维度“卷缩”成一个很小的空间）的过程就涉及到复杂的几何学，如卡拉比丘（CalabiYau）流形的研究，这本身就是高维几何的一个重要分支。
量子力学： 在描述量子系统的状态时，有时也需要用到高维空间。例如，一个具有 $n$ 个粒子的量子系统的波函数，其状态可能需要 $3n$ 维空间来描述（每个粒子有三个空间坐标）。更抽象地说，量子态本身可以看作是位于一个希尔伯特空间中的一个向量，而这个希尔伯特空间可以是无限维的。虽然这不是我们通常理解的“欧几里得”高维空间，但它们都属于“高维空间”的范畴，并且研究它们也需要抽象的几何概念。
数据科学与机器学习：
特征空间： 在现代数据分析和机器学习领域，我们常常处理包含大量属性（特征）的数据集。例如，一张图片可能由数百万个像素组成，每个像素可以看作一个维度；一个用户的行为可以被成百上千个指标来描述。这意味着我们的数据点可能存在于一个拥有成千上万甚至更多维度的“特征空间”中。
降维技术： 尽管数据存在于高维空间，但我们往往发现其中重要的信息可能隐藏在一个低维的子空间中。因此，研究如何理解和操作这些高维数据，包括如何从中提取有用的低维表示（如主成分分析PCA、tSNE等），本身就推动了对高维几何性质的探索。例如，理解高维空间中的距离度量、簇的形状以及数据的分布规律，对于设计有效的机器学习算法至关重要。
核方法（Kernel Methods）： 一些强大的机器学习算法（如支持向量机SVM）通过将数据映射到一个非常高维的特征空间来解决非线性问题，然后在这个高维空间中寻找线性关系。虽然我们不直接处理这些高维特征，但“核技巧”的有效性依赖于对高维空间中几何性质的深刻理解。
最后，从数学自身发展和探索未知的好奇心来看，研究高维几何也是数学家们不断突破自身边界、拓展知识疆域的内在驱动。
理论的统一与推广： 数学的一个重要目标是将看似分离的数学分支联系起来，找到更普适、更统一的理论。高维几何的研究，就是在这种统一的驱动下进行的。例如，拓扑学、微分几何、代数几何等许多数学分支，在发展过程中都受益于对高维空间的探索。
发现新的数学结构： 就像在探索未知大陆时，人们会发现新的地理特征和生态系统一样，研究高维几何也可能揭示出我们从未想象过的数学结构和规律。这些发现不仅能丰富我们对数学的认识，有时也能为其他科学领域带来意想不到的启示。
解决数学内部的挑战： 有时，某些在低维空间看似简单的问题，在高维下会变得异常复杂，或者存在一些意想不到的性质，这反过来又会推动高维几何理论的发展。
总而言之，我们能够研究高维几何，是因为我们具备了强大的抽象思维能力和逻辑推理能力，数学工具（尤其是代数和几何的结合）为我们提供了处理高维问题的框架，现实世界的许多现象（尤其是在物理和数据科学领域）也天然要求我们去理解高维空间，并且数学自身发展的内在驱动力促使我们不断探索未知。它不是对现实的直接描绘，而是对我们理解世界规律的一种深刻的数学语言和工具。
首先，从人类认知和数学抽象的角度来看，我们的大脑虽然习惯于三维空间，但数学的魅力在于其超越感官的抽象能力。我们并非直接“看见”高维空间，而是通过类比、模式识别和逻辑推理来理解它们。
类比的强大力量： 回想一下我们是如何学习二维几何的。我们从点、线、面开始，然后是圆、三角形、正方形。当我们要理解三维空间时，我们自然而然地将这些二维概念进行“推广”——点有了深度，线变成了柱体，面变成了曲面。高维几何的研究正是遵循了这种类比的思路。例如，我们知道二维中的圆可以被一个固定点和半径定义，那么三维中的球就是所有到固定点距离相等的点的集合。依此类推，四维中的“球”或者说超球面，就是所有到某个固定点距离相等的四维“点”的集合。我们通过理解低维度的规律，然后将其推广到更高维度，来构建对高维对象的直观理解。
代数的支撑： 数学中最强大的工具之一就是代数。当我们把几何概念用代数语言表达出来时，维度的概念就变得不再是感官上的限制，而是一个参数。例如，一个二维平面可以由方程 $ax + by = c$ 表示，而一个三维空间中的平面则可以由 $ax + by + cz = d$ 表示。在代数的世界里，我们只需要增加一个变量和一个系数，就可以轻松地将方程推广到任意维度。点的位置可以用坐标表示，二维中的 $(x, y)$ 可以推广到三维的 $(x, y, z)$，再到四维的 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$，乃至 $n$ 维的 $(x_1, x_2, dots, x_n)$。这就为我们研究高维几何提供了清晰、统一的语言和框架。
逻辑的严谨性： 数学研究的基石是逻辑。即使我们无法直接感知高维空间，但一旦我们建立了适用于低维度的公理和定理（比如欧几里得公理体系），我们就可以通过纯粹的逻辑推理，将这些定理推广到高维。比如，欧几里得空间中的平行公理在推广到高维后，依然能构建出一致的几何理论。这种抽象和形式化能力，使得数学家们可以在没有直观经验的情况下，依然能构建出严谨而有意义的高维几何理论。
其次，现实世界的某些现象或模型天然就存在于高维空间，或者高维空间是理解这些现象的有效工具。
物理学中的应用：
狭义相对论： 爱因斯坦的狭义相对论将时间和空间统一起来，构成了“闵可夫斯基时空”。这个时空是四维的，其中三个维度是空间维度，一个维度是时间维度。研究相对论就离不开四维几何的工具。
弦理论： 在一些前沿物理理论，如弦理论和M理论中，宇宙被认为可能拥有十一个甚至更多的维度。虽然这些额外维度对我们日常经验来说是“卷缩”起来的，但理解这些理论的物理学模型，需要强大的高维几何理论作为支撑。例如，在弦理论中，紧致化额外维度（将额外维度“卷缩”成一个很小的空间）的过程就涉及到复杂的几何学，如卡拉比丘（CalabiYau）流形的研究，这本身就是高维几何的一个重要分支。
量子力学： 在描述量子系统的状态时，有时也需要用到高维空间。例如，一个具有 $n$ 个粒子的量子系统的波函数，其状态可能需要 $3n$ 维空间来描述（每个粒子有三个空间坐标）。更抽象地说，量子态本身可以看作是位于一个希尔伯特空间中的一个向量，而这个希尔伯特空间可以是无限维的。虽然这不是我们通常理解的“欧几里得”高维空间，但它们都属于“高维空间”的范畴，并且研究它们也需要抽象的几何概念。
数据科学与机器学习：
特征空间： 在现代数据分析和机器学习领域，我们常常处理包含大量属性（特征）的数据集。例如，一张图片可能由数百万个像素组成，每个像素可以看作一个维度；一个用户的行为可以被成百上千个指标来描述。这意味着我们的数据点可能存在于一个拥有成千上万甚至更多维度的“特征空间”中。
降维技术： 尽管数据存在于高维空间，但我们往往发现其中重要的信息可能隐藏在一个低维的子空间中。因此，研究如何理解和操作这些高维数据，包括如何从中提取有用的低维表示（如主成分分析PCA、tSNE等），本身就推动了对高维几何性质的探索。例如，理解高维空间中的距离度量、簇的形状以及数据的分布规律，对于设计有效的机器学习算法至关重要。
核方法（Kernel Methods）： 一些强大的机器学习算法（如支持向量机SVM）通过将数据映射到一个非常高维的特征空间来解决非线性问题，然后在这个高维空间中寻找线性关系。虽然我们不直接处理这些高维特征，但“核技巧”的有效性依赖于对高维空间中几何性质的深刻理解。
最后，从数学自身发展和探索未知的好奇心来看，研究高维几何也是数学家们不断突破自身边界、拓展知识疆域的内在驱动。
理论的统一与推广： 数学的一个重要目标是将看似分离的数学分支联系起来，找到更普适、更统一的理论。高维几何的研究，就是在这种统一的驱动下进行的。例如，拓扑学、微分几何、代数几何等许多数学分支，在发展过程中都受益于对高维空间的探索。
发现新的数学结构： 就像在探索未知大陆时，人们会发现新的地理特征和生态系统一样，研究高维几何也可能揭示出我们从未想象过的数学结构和规律。这些发现不仅能丰富我们对数学的认识，有时也能为其他科学领域带来意想不到的启示。
解决数学内部的挑战： 有时，某些在低维空间看似简单的问题，在高维下会变得异常复杂，或者存在一些意想不到的性质，这反过来又会推动高维几何理论的发展。
总而言之，我们能够研究高维几何，是因为我们具备了强大的抽象思维能力和逻辑推理能力，数学工具（尤其是代数和几何的结合）为我们提供了处理高维问题的框架，现实世界的许多现象（尤其是在物理和数据科学领域）也天然要求我们去理解高维空间，并且数学自身发展的内在驱动力促使我们不断探索未知。它不是对现实的直接描绘，而是对我们理解世界规律的一种深刻的数学语言和工具。
网友意见
很好的问题，为什么匿名提问呢？
简单的回答：自然科学特别是物理学构建数学模型的需要。
从某种意义上说，维数可以理解成自由度。举个最简单的例子，一个质点在三维空间中有三个自由度来确定它的位置，这也是我们平时对三维空间的理解。如果你学过解析几何（或者高中的立体几何）就知道我们可以建立坐标系通过一个三维数组（x,y,z）来描述这个点的位置。但我们如果想知道质点的下一时刻在什么地方我们还需要知道它的速度，这又需要一个三维数组（u,v,w）。由牛顿定律可知，有了这个六维数组(x,y,z,u,v,w)，我们可以知道质点在任意时刻的位置。也就是说质点的运动被这个六维数组完全决定。我们凭经验知道三维数组和三维空间是一样的，那么为了方便想像及计算我们可以假定六维数组对应了一个六维空间。高维空间都是从数组推广来的。
为什么这样会方便呢？举个栗子，最火的三体问题，放到三维空间看就是一团混沌。但三个质点对应18维数组，三个受力平衡方程去掉9个自由度。把三体看成一个18维空间的点，它的位置就是由18个变量，9个方程组成的方程组的解。这个解还剩9个自由度，我们把解集看成18维空间内的一个9维几何体。注意，这只是为了计算简便而做的新定义，并不是说真实存在着这么高维数的空间。
同时，这其实也解释了为什么数学一开始要研究高维空间——就是为了研究方程组解集是什么样子的。高维空间并没有看得见摸得着的意义。
回答到这里其实已经结束了，但历史考据癖发作，想谈一下为什么这是一个好问题。
历史上很多人都思考过这个问题。从已知文献上看，最早提到维数这个概念的是公元前4世纪的亚里士多德的《on the heavens》。其后很长一段时间里，大家都认为研究比三维更高的维数是没有意义的，甚至研究一个数的4次方都是没有意义的。因为平方是面积，立方是体积，4次方是什么呢？目前可见的最早用到四次方的是3世纪的丢番图。但极长的一段时间内，大家并没有把高次方与几何对应起来，甚至高次方作为数学概念都不容易被人接受。John Wallis (1616-1703) 有句很有趣的话：一个量的幂次超过三就像
"monster in nature, less possible than a Chimara or Centaure."
最早在物理中用到四维几何的是Lagrange(1736-1813) 和 d'Alembert(1717-1783)。后来很多数学家打破了思想的限制，考虑到 3 和4 并不是特殊的自然数，问题中形式上把维数中的3和4换成一般的n 一般都是对的，从此数学上就开始了在n维空间中的狂奔（管它有什么意义呢）。
综上，历史上高维空间概念的出现并不自然。目前广义相对论已经把我们生活所在解释为四维时空，而高于四维的东西实际上只存在于数学中。而且即使在数学中4维也是一个特殊的存在：比如说1-3维拓扑流形只有一种微分结构，高于4维的紧拓扑流形有有限种光滑结构，而4维流形，即使是4维平直欧几里德空间都有无穷多种微分结构（高于4维的平直空间只有一种）；比如说高于4维的球面可以翻转。。。。
（部分历史考据摘自 homepage of Thomas Banchoff）
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