如何评价2021年第62届IMO试题？
评价2021年第62届国际数学奥林匹克（IMO）试题，需要从多个维度进行分析，包括难度、创新性、考察的知识范围、题目设计的美感以及与以往IMO试题的比较等。
总体而言，2021年第62届IMO试题被广泛认为是一套高质量、有深度且具有挑战性的试题。 它在保持IMO传统风格的同时，也展现了一些新的特色和侧重点。
以下将从各个科目进行详细评价：
几何（Geometry）
题目1： 这是一道非常经典的欧几里得几何题，考察了圆的性质、相似三角形、调和点列（或其等价概念）以及一些基本几何变换。题目的条件相对简洁，但导出结论的过程需要对几何知识有扎实的掌握和灵活的应用。很多选手可能熟悉类似结构，但具体证明步骤的严谨性要求很高。这道题的难度适中偏上，是很多选手能够得分但需要细致思考才能拿满分的题目。它没有涉及过于偏僻或复杂的定理，更多的是对基础知识的深度挖掘。
题目4： 这是一道更具几何“美感”的题目，涉及内切圆、外接圆、切线以及点线共圆等概念。它的条件设定在一个特定的三角形框架内，通过构造新的点和线来考察性质。这道题的难点在于如何有效地引入辅助线或坐标系（虽然几何题通常鼓励几何方法），以及如何识别和利用题目中隐藏的几何关系。一些证明可能会涉及一些“非标准”的几何定理或巧妙的组合，对选手的几何直觉和创造力有较高要求。这道题的难度较高，能拿下满分（7分）的选手通常是几何方面的佼佼者。
代数（Algebra）
题目2： 这是一道典型的代数不等式题目，考察了函数的单调性、Jensen不等式或凸函数性质、以及一些基本的不等式技巧（如换元、放缩等）。题目的形式是寻找一个函数满足特定的不等式性质，并且要求证明对于所有正实数都成立。这道题的难度在于找到合适的函数构造或不等式证明方法。可能存在多种解法，但核心是理解函数的性质以及如何利用已知信息限制未知函数的行为。这道题的难度适中，是很多选手能够尝试和获得部分分数，甚至拿满分的题目。它很好地考察了代数思维和不等式技巧。
题目5： 这是一道关于多项式和根的题目，考察了多项式根与系数的关系（韦达定理）、多项式的性质（如整系数根的性质）、以及一些数论思想在代数中的应用。题目的核心在于利用多项式根的存在性来推导其系数的性质，特别是整数系数的性质。这道题的难度较高，可能需要一些特殊的构造或证明技巧，例如利用模运算来限制系数，或者通过构造辅助多项式来达到目的。它很好地结合了代数和数论的思想，对选手的综合能力要求很高。
数论（Number Theory）
题目3： 这是一道经典的数论题目，通常涉及整除、同余、素数性质以及方程的整数解。题目形式是寻找满足特定方程的整数对。这类题目往往需要通过分析方程的结构，利用模运算、因式分解、或者证明方程不存在解来缩小搜索范围。这道题的难度不低，可能需要选手对基本的数论工具非常熟悉，并且能够灵活地运用它们。找到所有解或者证明特定性质的解的存在性，都需要严谨的逻辑和细致的分析。
题目6： 这是一道更具原创性和挑战性的数论题目，通常涉及序列的性质、模算术以及一些“构造性”证明。题目的描述可能相对抽象，要求证明某个性质在特定条件下总是成立，或者找到一个构造方法。这类题目往往没有现成的公式或定理可以直接套用，需要选手自己去发现数列的规律，利用模算术来排除可能性，或者通过数学归纳法等手段来证明。这道题的难度非常高，是IMO中典型的“难题”，能够解决它对选手的数论功底、创造力和毅力都有极高的要求。很多顶尖选手也可能在这道题上花费大量时间而无法完全解决。
综合评价与特色
1. 难度分布合理： 整体来看，试卷的难度梯度设计得比较合理。题目1、2、3的难度相对较低（当然，这里的“低”是指IMO的平均难度，对普通高中生而言仍然非常有挑战性），是大多数选手可以尝试并有可能得分的题目。题目4、5的难度有所提升，需要更深入的理解和技巧。题目6则是一道公认的难题，旨在区分最优秀的选手。
2. 考察知识范围广且深入： 试卷涵盖了 IMO 的核心数学分支：几何、代数、数论。每个题目都对相关领域的知识有较深的考察，而不是停留在表面。例如，几何题对基础性质的运用，代数题对函数性质的挖掘，数论题对模运算和整数性质的灵活运用。
3. 创新性与经典性并存： 试卷中既有基于经典几何结构或代数不等式技巧的题目，也有一些更具原创性和挑战性的题目。例如，题目6就展现了IMO对新颖问题和深度思考的追求。
4. 对逻辑推理和证明技巧要求高： 无论是哪一道题目，严谨的逻辑推理和清晰的证明都是必不可少的。IMO试题的精髓在于考察选手解决未知问题的能力，以及将数学思想转化为严谨证明的过程。
5. 强调“发现”和“构造”： 很多题目不是直接给出一个已知的定理，而是需要选手通过观察、猜想、构造来发现隐藏的数学规律或解题路径。例如，题目4和题目6都非常考验选手的这种能力。
6. 部分题目有“优雅”的解法： 一些题目不仅有多种解法，而且可能存在一种“优雅”或“简洁”的解法，这往往是IMO试题追求的美学特征之一。能找到这样解法的选手，通常对题目有更深刻的理解。
7. 与往届IMO的比较： 相比于一些难度特别极端（例如出现过多道“杀手级”难题）或过于偏向某一领域的年份，2021年的试题在难度控制和知识覆盖面上做得相对更好。它既没有让太多选手“交白卷”，也没有让太多选手“轻松过关”，有效地完成了选拔优秀数学人才的任务。
总结
总而言之，2021年第62届IMO试题是一套设计精良、难度适中偏高、考察面广且深入的试题。它成功地检验了参赛选手在几何、代数、数论等核心领域的扎实功底、逻辑思维能力、解决未知问题的创造力以及严谨的证明能力。这是一份能够区分出顶尖数学才能的优秀试卷，对提升数学教育和培养数学人才具有积极意义。对于参与者而言，这无疑是一次充满挑战又富有启发性的数学体验。
总体而言，2021年第62届IMO试题被广泛认为是一套高质量、有深度且具有挑战性的试题。 它在保持IMO传统风格的同时，也展现了一些新的特色和侧重点。
以下将从各个科目进行详细评价：
几何（Geometry）
题目1： 这是一道非常经典的欧几里得几何题，考察了圆的性质、相似三角形、调和点列（或其等价概念）以及一些基本几何变换。题目的条件相对简洁，但导出结论的过程需要对几何知识有扎实的掌握和灵活的应用。很多选手可能熟悉类似结构，但具体证明步骤的严谨性要求很高。这道题的难度适中偏上，是很多选手能够得分但需要细致思考才能拿满分的题目。它没有涉及过于偏僻或复杂的定理，更多的是对基础知识的深度挖掘。
题目4： 这是一道更具几何“美感”的题目，涉及内切圆、外接圆、切线以及点线共圆等概念。它的条件设定在一个特定的三角形框架内，通过构造新的点和线来考察性质。这道题的难点在于如何有效地引入辅助线或坐标系（虽然几何题通常鼓励几何方法），以及如何识别和利用题目中隐藏的几何关系。一些证明可能会涉及一些“非标准”的几何定理或巧妙的组合，对选手的几何直觉和创造力有较高要求。这道题的难度较高，能拿下满分（7分）的选手通常是几何方面的佼佼者。
代数（Algebra）
题目2： 这是一道典型的代数不等式题目，考察了函数的单调性、Jensen不等式或凸函数性质、以及一些基本的不等式技巧（如换元、放缩等）。题目的形式是寻找一个函数满足特定的不等式性质，并且要求证明对于所有正实数都成立。这道题的难度在于找到合适的函数构造或不等式证明方法。可能存在多种解法，但核心是理解函数的性质以及如何利用已知信息限制未知函数的行为。这道题的难度适中，是很多选手能够尝试和获得部分分数，甚至拿满分的题目。它很好地考察了代数思维和不等式技巧。
题目5： 这是一道关于多项式和根的题目，考察了多项式根与系数的关系（韦达定理）、多项式的性质（如整系数根的性质）、以及一些数论思想在代数中的应用。题目的核心在于利用多项式根的存在性来推导其系数的性质，特别是整数系数的性质。这道题的难度较高，可能需要一些特殊的构造或证明技巧，例如利用模运算来限制系数，或者通过构造辅助多项式来达到目的。它很好地结合了代数和数论的思想，对选手的综合能力要求很高。
数论（Number Theory）
题目3： 这是一道经典的数论题目，通常涉及整除、同余、素数性质以及方程的整数解。题目形式是寻找满足特定方程的整数对。这类题目往往需要通过分析方程的结构，利用模运算、因式分解、或者证明方程不存在解来缩小搜索范围。这道题的难度不低，可能需要选手对基本的数论工具非常熟悉，并且能够灵活地运用它们。找到所有解或者证明特定性质的解的存在性，都需要严谨的逻辑和细致的分析。
题目6： 这是一道更具原创性和挑战性的数论题目，通常涉及序列的性质、模算术以及一些“构造性”证明。题目的描述可能相对抽象，要求证明某个性质在特定条件下总是成立，或者找到一个构造方法。这类题目往往没有现成的公式或定理可以直接套用，需要选手自己去发现数列的规律，利用模算术来排除可能性，或者通过数学归纳法等手段来证明。这道题的难度非常高，是IMO中典型的“难题”，能够解决它对选手的数论功底、创造力和毅力都有极高的要求。很多顶尖选手也可能在这道题上花费大量时间而无法完全解决。
综合评价与特色
1. 难度分布合理： 整体来看，试卷的难度梯度设计得比较合理。题目1、2、3的难度相对较低（当然，这里的“低”是指IMO的平均难度，对普通高中生而言仍然非常有挑战性），是大多数选手可以尝试并有可能得分的题目。题目4、5的难度有所提升，需要更深入的理解和技巧。题目6则是一道公认的难题，旨在区分最优秀的选手。
2. 考察知识范围广且深入： 试卷涵盖了 IMO 的核心数学分支：几何、代数、数论。每个题目都对相关领域的知识有较深的考察，而不是停留在表面。例如，几何题对基础性质的运用，代数题对函数性质的挖掘，数论题对模运算和整数性质的灵活运用。
3. 创新性与经典性并存： 试卷中既有基于经典几何结构或代数不等式技巧的题目，也有一些更具原创性和挑战性的题目。例如，题目6就展现了IMO对新颖问题和深度思考的追求。
4. 对逻辑推理和证明技巧要求高： 无论是哪一道题目，严谨的逻辑推理和清晰的证明都是必不可少的。IMO试题的精髓在于考察选手解决未知问题的能力，以及将数学思想转化为严谨证明的过程。
5. 强调“发现”和“构造”： 很多题目不是直接给出一个已知的定理，而是需要选手通过观察、猜想、构造来发现隐藏的数学规律或解题路径。例如，题目4和题目6都非常考验选手的这种能力。
6. 部分题目有“优雅”的解法： 一些题目不仅有多种解法，而且可能存在一种“优雅”或“简洁”的解法，这往往是IMO试题追求的美学特征之一。能找到这样解法的选手，通常对题目有更深刻的理解。
7. 与往届IMO的比较： 相比于一些难度特别极端（例如出现过多道“杀手级”难题）或过于偏向某一领域的年份，2021年的试题在难度控制和知识覆盖面上做得相对更好。它既没有让太多选手“交白卷”，也没有让太多选手“轻松过关”，有效地完成了选拔优秀数学人才的任务。
总结
总而言之，2021年第62届IMO试题是一套设计精良、难度适中偏高、考察面广且深入的试题。它成功地检验了参赛选手在几何、代数、数论等核心领域的扎实功底、逻辑思维能力、解决未知问题的创造力以及严谨的证明能力。这是一份能够区分出顶尖数学才能的优秀试卷，对提升数学教育和培养数学人才具有积极意义。对于参与者而言，这无疑是一次充满挑战又富有启发性的数学体验。
网友意见
又是几何题最难，IMO的组委会还挺怀旧的，，，
写下我暂时想的思路。
第一题：容易验证：对正整数 ，集合
中任意两个数之和是完全平方数。由 解得 ；由 解得 。由条件容易得到
所以存在 使得 。所以把后者分成两部分时，总有两个同属于 的数被分在一起。
第二题：定义函数
。
注意， 的每一项在其连续点都是上凸函数，所以 的最小值一定在间断点取到，也就是某个 处。等式右边就是 ，所以只要证明 。
上面的描述揭示我们不妨设 ，因为我们可以取 ，用来替换 。这时 不变，而另一个式子变成最小的 。
现在对 ，我们有 ； 。所以在假设下我们只要证明
。
这就很明显是需要使用归纳法了；最终我们化归为 的情形，前者显然，后者就是证明
。
这种就比较好处理了，你硬算也行。
第四题不会有人做不出来吧？
第五题：如果不是题目说的这样，那么第 次操作中 两边的数要么都比 小，要么都比 大。如果是前者，我们称 为第一类数，后者称为第二类数。
(1)如果第 次操作时 是第一类数，则之后 的位置不会变化；如果第 次操作时 是第二类数，则 的位置在之前没有变化。
设 是第一类数，则 两边的数都小于 。这样 不在 旁边，所以第 次操作中 不会移动；如果 不在旁边的旁边，则 旁边的两个数位置也不会变化；如果是，设 旁边为 ，且 旁边为 。因为 ， 是第一类数，则第 次操作后 旁边为 ，都小于 ，所以 不在 旁边。这样递推就得到结果。
(2)如果第 次操作时 是第一类数，则 的两侧都是第二类数；反过来，如果第 次操作时 是第二类数，则 的两侧都是第一类数。
如果 是第一类数，且第 次操作 旁边的 也是第一类数：条件表示 。根据(1)，第 次操作以后 不会移动位置，但是现在第 次操作会这么做，矛盾！
(3)根据(2)，第一类数和第二类数必须相间排列。但是 是奇数，这也不可能。所以假设不对，必须是题目说的数存在。
其他的我还没仔细看。
只是看了一下非几何的几个题目，几何题得画图还没来得及画，画出来了也不见得写得出.
第一个题只需要找到三个两两之和是完全平方的数就可以了，这里指出这样的构造可以是 .这个构造的动机其实是来自于代数中的循环群.接下来只需要证明这三个数都在 当中.
第二个不等式可以推广到 次方，也即
.
对原题提供一个积分做法:
注意到
那么
第五个可以用染色.大概思路是在第 次交换前，把编号为 的核桃染色，再使用反证法.
如此每次交换必然是交换都有颜色的核桃或者是都没颜色的核桃，然注意到有 个核桃以及 次变换，必然要有一次交换有颜色和没颜色的核桃，产生矛盾.
第六个也可以用循环群的概念来做，这里暂且不表.
祝今年中国队取得好成绩！
恐怖如斯
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