如何评价2021年第37届全国中学生数学竞赛决赛（CMO）？
2021年全国中学生数学竞赛决赛（CMO），也就是第37届，绝对是国内高中数学竞赛届的一场重量级赛事。作为每年压轴的数学盛会，CMO决赛的水平之高、难度之大，以及它所承载的意义，都值得我们深入探讨。
整体基调：难度与深度并存，是对学生数学功底的严峻考验
2021年的CMO决赛，在我看来，延续了近些年来决赛一贯的高难度风格。试卷的设计者们显然没有手软，他们似乎在不断挑战着参赛选手们的极限。与其说是一场“竞赛”，不如说它更像是一场“筛选”，筛选出那些真正热爱数学、具备扎实基础、能够进行深刻思考和创新解法的顶尖学生。
题目不仅仅是知识点的堆砌，更多的是对学生逻辑推理能力、抽象思维能力以及对数学概念理解的深度进行考察。一道题可能涉及多个数学分支的交叉，需要选手在短时间内调动起不同领域的知识储备，并灵活运用。这种“融会贯通”的能力，恰恰是区分优秀学生与顶尖学生的关键。
具体题目分析（基于过往反馈和常见的CMO题目特点）：
虽然我没有亲身参与考试，也无法获得官方公布的每一道题目的详细信息，但根据历年CMO决赛的题目类型和难度反馈，我们可以大致推断出2021年决赛的特点：
几何题： 几何题往往是许多学生感到头疼的部分。2021年的几何题，很可能依然是设计精巧、图形复杂但蕴含深刻几何性质的题目。可能会涉及到大量的向量、坐标几何、射影几何、或者一些非欧几何的初步思想。解题的关键往往在于巧妙的构造辅助线、利用比例关系、同等变换，或者对一些经典几何定理（如梅涅劳斯定理、西瓦定理、欧拉线、九点圆等）的深入理解和灵活运用。一道好的几何题，往往能让那些只会套公式的学生望而却步，但对于那些能够“看见”图形内在联系的学生来说，则可能柳暗花明。
代数题： 代数题在CMO中往往体现为对数、函数、不等式、多项式、复数、组合代数等。2021年的代数题可能不会是简单的代数运算，而是更加侧重于证明，例如证明某个不等式在特定条件下成立，或者证明某个函数的性质。这需要选手对代数工具的熟练掌握，更重要的是对数学思想的理解，比如数学归纳法、反证法、构造法等等。对抽象的代数结构（如群、环、域）的初步认识，有时也会在代数题中有所体现，尽管不会是严格意义上的高等代数内容，但会引导学生思考更深层的代数规律。
数论题： 数论是CMO的重头戏之一，也是最具“中国特色”的部分。2021年的数论题，很可能继续考察学生对整除、同余、模运算、丢番图方程、二次剩余、原根等基本概念的掌握程度，但同时也会有一些非常规的题目，需要学生具备创造性的解题思路。例如，可能会有与数论函数（如欧拉函数、莫比乌斯函数）相关的证明题，或者需要将数论思想与组合学、代数结合起来解决的问题。对初等数论概念的深刻理解，以及能够从中推导出更一般性的结论，是解好数论题的关键。
组合数学题： 组合数学在近年来的竞赛中越来越受到重视。2021年的组合数学题，可能涉及计数原理、容斥原理、生成函数、图论、概率等内容。这些题目往往需要选手能够清晰地定义问题，找到合适的计数模型，或者利用数学工具（如母函数）来解决复杂的计数问题。对“网格路径”、“染色问题”、“排列组合的限制条件”等常见组合模型的研究，以及对抽屉原理、鸽巢原理的灵活运用，都是重要的解题技巧。
难度曲线与评价：
CMO决赛的题目通常是按照难度递增的顺序排列的，但即便如此，每一道题都可能是一道“拦路虎”。2021年的难度，我相信是相当高的，对于大部分学生来说，能够独立完成其中的两三道题目，就已经是非常了不起的成就了。
区分度极高： 这种高难度直接带来了极高的区分度。少数几道能够被完美解决的题目，就能将顶尖选手与其他优秀选手区分开来。这也就意味着，很多时候，谁能发现一道关键的“突破点”，谁就能脱颖而出。
对基础要求极高： 虽然题目设计新颖，但它绝不是空中楼阁。所有题目，归根结底，都建立在扎实的基础知识之上。只有对基本概念了如指掌，才能在此基础上进行复杂的推演和创新。
对心态和毅力是极大的考验： 在长时间的考试中面对一道道看似无从下手的问题，对考生的心态和毅力是巨大的考验。能够保持冷静，坚持思考，不轻易放弃，也是一种重要的能力。
与往届的对比和影响：
如果与前几年的CMO决赛相比，2021年的难度可能保持了一个相对稳定的高位，或者在某些方面有所创新。每一次的CMO决赛，都在不断地为中国数学人才的选拔和培养贡献力量。
输送顶尖人才： CMO决赛的优胜者，很多都成为国内外顶尖大学的香饽饽，他们是中国数学发展的希望。2021年的比赛同样如此，那些脱颖而出的选手，无疑会在接下来的国际数学奥林匹克（IMO）等赛事中，以及未来的学术生涯中，扮演重要的角色。
推动数学教育改革： CMO决赛的题目风格和难度，也在潜移默化地影响着全国各地的数学教学。为了应对这样的挑战，许多学校和老师会更加注重培养学生的数学思维、解决问题的能力，而不仅仅是知识的记忆和套用。这种对“深度学习”的追求，对于整个数学教育体系的进步是有积极作用的。
激发学生兴趣： 对于真正热爱数学的学生来说，CMO决赛就像是一场智力上的盛宴，一道道精心设计的难题能激发他们探索数学奥秘的激情。即使最终没有取得特别理想的成绩，参与的过程本身也是一次宝贵的经历。
总结：
总的来说，2021年第37届全国中学生数学竞赛决赛是一场高水平、高难度、高区分度的赛事。它不仅是对学生数学知识掌握程度的检验，更是对其数学思维能力、逻辑推理能力、创新能力和心理素质的全面考察。这场竞赛的意义，在于它为中国乃至世界输送了一批批杰出的数学人才，也在一定程度上推动了中国高中数学教育的发展方向。它像一面镜子，照出了学生们的潜能，也指明了未来数学学习和研究的道路。对于那些曾经为之奋斗过的学生们来说，这段经历，无疑是他们人生中一段闪亮的记忆。
整体基调：难度与深度并存，是对学生数学功底的严峻考验
2021年的CMO决赛，在我看来，延续了近些年来决赛一贯的高难度风格。试卷的设计者们显然没有手软，他们似乎在不断挑战着参赛选手们的极限。与其说是一场“竞赛”，不如说它更像是一场“筛选”，筛选出那些真正热爱数学、具备扎实基础、能够进行深刻思考和创新解法的顶尖学生。
题目不仅仅是知识点的堆砌，更多的是对学生逻辑推理能力、抽象思维能力以及对数学概念理解的深度进行考察。一道题可能涉及多个数学分支的交叉，需要选手在短时间内调动起不同领域的知识储备，并灵活运用。这种“融会贯通”的能力，恰恰是区分优秀学生与顶尖学生的关键。
具体题目分析（基于过往反馈和常见的CMO题目特点）：
虽然我没有亲身参与考试，也无法获得官方公布的每一道题目的详细信息，但根据历年CMO决赛的题目类型和难度反馈，我们可以大致推断出2021年决赛的特点：
几何题： 几何题往往是许多学生感到头疼的部分。2021年的几何题，很可能依然是设计精巧、图形复杂但蕴含深刻几何性质的题目。可能会涉及到大量的向量、坐标几何、射影几何、或者一些非欧几何的初步思想。解题的关键往往在于巧妙的构造辅助线、利用比例关系、同等变换，或者对一些经典几何定理（如梅涅劳斯定理、西瓦定理、欧拉线、九点圆等）的深入理解和灵活运用。一道好的几何题，往往能让那些只会套公式的学生望而却步，但对于那些能够“看见”图形内在联系的学生来说，则可能柳暗花明。
代数题： 代数题在CMO中往往体现为对数、函数、不等式、多项式、复数、组合代数等。2021年的代数题可能不会是简单的代数运算，而是更加侧重于证明，例如证明某个不等式在特定条件下成立，或者证明某个函数的性质。这需要选手对代数工具的熟练掌握，更重要的是对数学思想的理解，比如数学归纳法、反证法、构造法等等。对抽象的代数结构（如群、环、域）的初步认识，有时也会在代数题中有所体现，尽管不会是严格意义上的高等代数内容，但会引导学生思考更深层的代数规律。
数论题： 数论是CMO的重头戏之一，也是最具“中国特色”的部分。2021年的数论题，很可能继续考察学生对整除、同余、模运算、丢番图方程、二次剩余、原根等基本概念的掌握程度，但同时也会有一些非常规的题目，需要学生具备创造性的解题思路。例如，可能会有与数论函数（如欧拉函数、莫比乌斯函数）相关的证明题，或者需要将数论思想与组合学、代数结合起来解决的问题。对初等数论概念的深刻理解，以及能够从中推导出更一般性的结论，是解好数论题的关键。
组合数学题： 组合数学在近年来的竞赛中越来越受到重视。2021年的组合数学题，可能涉及计数原理、容斥原理、生成函数、图论、概率等内容。这些题目往往需要选手能够清晰地定义问题，找到合适的计数模型，或者利用数学工具（如母函数）来解决复杂的计数问题。对“网格路径”、“染色问题”、“排列组合的限制条件”等常见组合模型的研究，以及对抽屉原理、鸽巢原理的灵活运用，都是重要的解题技巧。
难度曲线与评价：
CMO决赛的题目通常是按照难度递增的顺序排列的，但即便如此，每一道题都可能是一道“拦路虎”。2021年的难度，我相信是相当高的，对于大部分学生来说，能够独立完成其中的两三道题目，就已经是非常了不起的成就了。
区分度极高： 这种高难度直接带来了极高的区分度。少数几道能够被完美解决的题目，就能将顶尖选手与其他优秀选手区分开来。这也就意味着，很多时候，谁能发现一道关键的“突破点”，谁就能脱颖而出。
对基础要求极高： 虽然题目设计新颖，但它绝不是空中楼阁。所有题目，归根结底，都建立在扎实的基础知识之上。只有对基本概念了如指掌，才能在此基础上进行复杂的推演和创新。
对心态和毅力是极大的考验： 在长时间的考试中面对一道道看似无从下手的问题，对考生的心态和毅力是巨大的考验。能够保持冷静，坚持思考，不轻易放弃，也是一种重要的能力。
与往届的对比和影响：
如果与前几年的CMO决赛相比，2021年的难度可能保持了一个相对稳定的高位，或者在某些方面有所创新。每一次的CMO决赛，都在不断地为中国数学人才的选拔和培养贡献力量。
输送顶尖人才： CMO决赛的优胜者，很多都成为国内外顶尖大学的香饽饽，他们是中国数学发展的希望。2021年的比赛同样如此，那些脱颖而出的选手，无疑会在接下来的国际数学奥林匹克（IMO）等赛事中，以及未来的学术生涯中，扮演重要的角色。
推动数学教育改革： CMO决赛的题目风格和难度，也在潜移默化地影响着全国各地的数学教学。为了应对这样的挑战，许多学校和老师会更加注重培养学生的数学思维、解决问题的能力，而不仅仅是知识的记忆和套用。这种对“深度学习”的追求，对于整个数学教育体系的进步是有积极作用的。
激发学生兴趣： 对于真正热爱数学的学生来说，CMO决赛就像是一场智力上的盛宴，一道道精心设计的难题能激发他们探索数学奥秘的激情。即使最终没有取得特别理想的成绩，参与的过程本身也是一次宝贵的经历。
总结：
总的来说，2021年第37届全国中学生数学竞赛决赛是一场高水平、高难度、高区分度的赛事。它不仅是对学生数学知识掌握程度的检验，更是对其数学思维能力、逻辑推理能力、创新能力和心理素质的全面考察。这场竞赛的意义，在于它为中国乃至世界输送了一批批杰出的数学人才，也在一定程度上推动了中国高中数学教育的发展方向。它像一面镜子，照出了学生们的潜能，也指明了未来数学学习和研究的道路。对于那些曾经为之奋斗过的学生们来说，这段经历，无疑是他们人生中一段闪亮的记忆。
网友意见
第四题不是markov chain的经典结论吗，甚至题都不带掩盖的，直接就明晃晃的告诉你“我是一个irreducible and aperiodic markov chain你快来证我有一个stationary state”
这题目，，每天前两题都可以直接乱杀，压轴题看情况吧，接触过类似的方法那就能做。
第四题最好看，虽然不难。有的题目多少有点丑不拉几的，，，
再放个国家集训队名单
上海13人进集
今年共13个省拿到国家集训队的名额，上海、湖北、浙江等省份占据国集集训队的“半壁江山”。
上海中学遥遥领先，9人进集！
放个解析
先发个试题
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看起来大家都考得不错 (๑•̀ㅂ•́) ✧
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