如何证明环面T2不能嵌入到球面S2中?
下面我将从几个方面详细阐述，尽量用平实的语言来解释，避免生硬的术语堆砌，让它听起来更像是一个仔细思考后的结论，而不是冷冰冰的程序输出。
1. 理解我们讨论的对象：环面 $T^2$ 和球面 $S^2$
首先，我们得对这两个“形状”有个基本的认识。
球面 $S^2$： 这是我们最熟悉的三维空间中的一个二维球面，比如地球的表面（忽略地形凹凸）。它是一个非常“光滑”且“凸起”的曲面，没有洞，也没有尖角。想象一下一个光滑的橡皮球。
环面 $T^2$： 这是我们通常说的甜甜圈的表面。它是由一个圆盘绕着一个不通过圆盘中心的轴旋转而形成的。关键在于它有一个“洞”。你可以把它想象成一个充气轮胎的表面。
2. 什么是“嵌入”（Embedding）？
在拓扑学中，一个空间 $X$ 可以嵌入到另一个空间 $Y$ 中，意味着我们可以找到一个连续的、一对一的、并且它的逆映射也是连续的函数（称为同胚映射），将 $X$ 的点映射到 $Y$ 的点上。简单来说，就是你可以把 $X$ 的形状“放进” $Y$ 的里面，并且在映射过程中，原空间的邻域关系保持不变，没有拉伸或压缩得太厉害以至于破坏了固有的拓扑结构。
所以，证明 $T^2$ 不能嵌入到 $S^2$ 中，就是要说明不存在这样一个完美无缺的映射。
3. 用“洞”的数量来区分它们
这是最直观也是最重要的方法。在拓扑学中，我们有一个概念叫做“亏格”（Genus），它在一定程度上反映了一个曲面有多少个“洞”。
球面 $S^2$： 球面的亏格是 0。它是一个没有洞的光滑曲面。你可以把它想象成一张纸，无论你怎么折叠，只要不撕开，它本质上还是连接的，没有“穿透性”的孔洞。
环面 $T^2$： 环面的亏格是 1。它有一个“洞”，就像甜甜圈中间的那个空洞。正是因为这个洞，你才能把手指伸进去。
为什么亏格不同就不能嵌入？
嵌入映射要求保持拓扑结构，其中就包括了洞的数量。如果一个曲面 $X$ 可以嵌入到另一个曲面 $Y$ 中，那么 $X$ 的所有拓扑不变量（比如亏格）必须小于或等于 $Y$ 的相应不变量。
更具体地说，如果 $T^2$ 可以嵌入到 $S^2$ 中，那么就存在一个同胚映射 $f: T^2 o S^2$。这意味着我们可以将 $T^2$ 的每一个点映射到 $S^2$ 的一个点上，并且这个映射是“好的”，能够保持邻域关系。
然而，由于 $S^2$ 是一个亏格为0的曲面，它在拓扑上等价于一个没有洞的平面（移除一个点后的球面）。而 $T^2$ 是一个亏格为1的曲面，它有一个洞。
想象一下，如果你试图将一个甜甜圈（$T^2$）“压平”到一张纸（相当于 $S^2$ 的拓扑）上，你必须以某种方式处理那个洞。你可以把甜甜圈的面撕开，然后压平，但这就不再是“嵌入”了，因为你破坏了原始空间的连接性。或者，你可以把甜甜圈压扁，但这样一来，洞周围的区域就必须重叠在一起，这违反了嵌入映射必须是一对一且不重叠的要求。
用更形象的例子：
假设你有一张牛皮纸（可以想象成一个拓扑上等同于 $S^2$ 的圆盘），你想用它包裹住一个甜甜圈（$T^2$）。除非你把甜甜圈挖掉一部分，或者把牛皮纸撕破，否则你无法用一张完好的牛皮纸完全包住一个甜甜圈。
4. 利用亏格与映射的性质：更深入的分析
我们可以稍微深入一点，从更严格的数学角度来看待这个问题。
一个重要的概念是“万有覆盖空间”（Universal Covering Space）。对于任何单连通的空间（即空间中任何闭合曲线都可以连续收缩成一个点），其万有覆盖空间是与它本身同胚的。
球面 $S^2$ 的万有覆盖空间： 球面 $S^2$ 是单连通的。它的万有覆盖空间就是它本身，即 $S^2$。
环面 $T^2$ 的万有覆盖空间： 环面 $T^2$ 不是单连通的。它的万有覆盖空间是欧几里得平面 $mathbb{R}^2$。这是因为你可以想象把环面“展开”，它就像一张无限延伸的平面，你可以沿着环面的两个方向无限地“平铺”下去。
如果一个空间 $X$ 可以嵌入到另一个空间 $Y$ 中，那么 $X$ 的万有覆盖空间 $ ilde{X}$ 也可以通过某种方式与 $Y$ 的万有覆盖空间 $ ilde{Y}$ 联系起来，通常是存在一个从 $ ilde{X}$ 到 $ ilde{Y}$ 的映射。
如果 $T^2$ 可以嵌入到 $S^2$ 中，那么 $T^2$ 的万有覆盖空间 $mathbb{R}^2$ 应该某种程度上可以“容纳”在 $S^2$ 的万有覆盖空间 $S^2$ 中。但是，我们知道：
$mathbb{R}^2$ 是一个可以无限延伸的平面，它在拓扑上是“无限的”。
$S^2$ 是一个有限的、封闭的曲面，它在拓扑上是“有限的”，并且边界是紧凑的（没有无限延伸）。
因此，我们无法将一个无限延伸的平面 $mathbb{R}^2$（环面的万有覆盖空间）嵌入到一个有限的球面 $S^2$（球面的万有覆盖空间）中。这个差异是根本性的，无法通过一个连续的、保持拓扑结构的映射来弥合。
5. 另一个思考角度：同调群（Homology Groups）
对于更高级的读者，可以考虑同调群。同调群是研究空间“洞”的代数工具。
球面 $S^2$ 的同调群： $H_0(S^2) cong mathbb{Z}$， $H_1(S^2) cong 0$， $H_2(S^2) cong mathbb{Z}$，其他更高阶的同调群都是零。特别地，一阶同调群 $H_1$ 是零，这表明球面没有“一维的洞”（比如环面上的那个洞）。
环面 $T^2$ 的同调群： $H_0(T^2) cong mathbb{Z}$， $H_1(T^2) cong mathbb{Z} oplus mathbb{Z}$， $H_2(T^2) cong mathbb{Z}$，其他更高阶的同调群都是零。关键在于 $H_1(T^2)$ 是一个秩为2的自由阿贝尔群，这反映了环面有两个“基本方向”的洞。
如果 $T^2$ 可以嵌入到 $S^2$ 中，那么通过嵌入映射 $f: T^2 o S^2$，我们会得到一系列诱导同态 $f_: H_k(T^2) o H_k(S^2)$。
对于 $k=1$，我们有 $f_: H_1(T^2) o H_1(S^2)$。由于 $H_1(T^2) cong mathbb{Z} oplus mathbb{Z}$ (非零)，而 $H_1(S^2) cong 0$ (零)。
一个从非零群到零群的群同态，必然会将所有元素都映射到零。这意味着，环面上的所有一维“循环”（可以理解为洞的边界或者绕着洞转的曲线）在嵌入到球面时，都必须被压缩成点。这恰恰说明了嵌入失败，因为球面本身没有任何这样的“洞”可以容纳环面上的这些基本结构。如果 $S^2$ 的一阶同调群是零，它就不能“承载” $T^2$ 的非零一阶同调群所代表的洞的结构。
总结一下，为什么 $T^2$ 不能嵌入到 $S^2$ 中：
最核心的原因是拓扑不变量的冲突。环面 $T^2$ 的一个关键拓扑不变量是它的亏格为1（有一个洞），而球面 $S^2$ 的亏格为0（没有洞）。一个嵌入映射必须保持这些不变量。由于 $T^2$ 的“洞”的数量（亏格）比 $S^2$ 多，你无法在不破坏 $T^2$ 的结构（比如撕裂或重叠）的情况下将其“压平”到一个没有洞的 $S^2$ 上。
从更抽象的视角看，这是因为它们的万有覆盖空间不同（$mathbb{R}^2$ vs $S^2$），以及它们的同调群不同（特别是 $H_1$ 群）。这些工具都从不同的侧面揭示了环面和球面在拓扑结构上的根本差异，使得前者无法被“完美地”容纳进后者。
所以，你可以这样理解：环面的存在就是因为那个“洞”，它赋予了环面独特的性质。球面则因为其光滑和封闭而没有这样的洞。试图把有洞的东西塞进没洞的地方，自然是不行的，除非你改变了有洞的东西本身。
网友意见
著名的区域不变性告诉我们：
若 是 中的开集并且 是一个嵌入，则 是 中的开集。
作为推论我们有：
若 是紧的 维流形， 是连通的 维流形，则任何一个嵌入 是满的（当然也是一个同胚）。
这是因为由于 紧且 Hausdorff，所以 闭，又由区域不变性定理即知 开，由 连通即知 满。
套用一下立刻就得到如果有 的嵌入那它自动成为同胚，但显然 单连通而 不是，这就产生了矛盾。
废话
由熟知得
定理I
对于 ，有
定义 为 ，其中 和 分别为 到 和 上的投射，故 是同态.
对于 ，作 中的闭路 ，则 ，同理 ，于是 ，故 是满同态.
设 ，则有 ，定义 ，易知 ，故 是单同态.
结合 可得 是同构.
定理II
二维以上的球面 均为单连通.
设 ， 是 的开集，且 单连通， . 记 ，则 是 的开覆盖. 记 是其 数，取正整数 ，等分 为 小段 ， . 设 是所有不在 中的区间，则有 . 设 ，由于 单连通，则有 . 作道路
作
则 . 故 .
对于 ，取 ，记 ，则 单连通， 道路连通，故 是单连通的.
证明
由定理I得
又由定理II可得
由于基本群是拓扑不变量，故
好像说了一大堆废话（恼
法一
库拉托夫斯基定理(Kuratowski's theorem)
图 是平面图，当且仅当 不包含完全图 和完全二部图 的细分
当图 包含一个Kuratowski graph时，其亏格
完全图 的亏格公式为
完全二部图 的亏格公式为
详见Graph Genus -- from Wolfram MathWorld
由上述公式可知 ，故 和 是不可平面的.
事实上， 可嵌入环面 中， 可嵌入Möbius带面中，如图所示：
事实上我们只需证明 的情形即可.
引理一
设简单平面图 有 个顶点、 条边和 个域，则有
由平面图的欧拉公式 得
因为图 是简单图，则每个区域的度至少为 ，即 ，故#式整理可得
假设 是可平面的，将 代入引理一的公式得到 ，矛盾！
故 是不可平面的.
推论：设图 的连通分支为 ，则有 ，且
同理可得 也是不可平面的.
小蓝本(奥林匹克小丛书)图论的第七章平面图也介绍了该定理：
引理二
一个图可以嵌入平面当且仅当它可以嵌入球面.
利用连续球极平面射影即可.
如图：
设球面 的北极点为 ，平面 与球面的南极点相切. 任取球面上一点 ，射线 ，定义映射 . 则有 ，且 显然是可逆的，故
因此总能找到图 在球面 上的一个嵌入 ，使得北极点 不在图 上，此时 经过映射 在平面 上形成的像即为图 的一个平面嵌入.
证明
假设 可以嵌入 .
由于 可以嵌入 ，则 可以嵌入 ，故由引理二可知 也能嵌入平面 ，又由引理一得 不能嵌入 ，矛盾！
故 不能嵌入
法二
事实上，每个紧致曲面都不能嵌入 中
我们可以利用 的紧性来证明
环面的紧性
由于 是 上的有界闭集，所以 是紧集；
由Tychonoff定理可知 也是紧集.
证明
定义
由于 是紧致的，故 是闭的
若 是单射，则每一个小邻域 的限制也是单射
由区域不变性可知 是开的，因此 是开的
由于 是 中唯一的既开又闭的非空子集，故矛盾！
故 不能嵌入 ，即 不能嵌入
参考文献
[1]熊金城. 点集拓扑学讲义[M]. 北京: 高等教育出版社，1997.
[2][美]亚当斯. 拓扑学基础及应用[M]. 沈以淡，译. 北京: 机械工业出版社，2010.
[3]尤承业. 基础拓扑学讲义[M]. 北京: 北京大学出版社，2004.
[4]Kuratowski Kazimierz. Sur le problème des courbes gauches en topologie[J]. Fund. Math., 1930(15): 271–283.
[5]Chernoff, Paul R. A simple proof of Tychonoff's theorem via nets[J]. American Mathematical Monthly, 1992, 99(10): 932–934.
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