你见过哪些让人眼前一亮的数学题？

我见过不少让我拍案叫绝的数学题，那种感觉就像是脑海中突然点亮了一盏灯，豁然开朗。这类题目往往不是那种需要死记硬背公式或者繁琐计算的，而是巧妙地运用了数学的本质思想，甚至是跨领域的知识，让人在解题过程中体验到一种智力的愉悦和美的享受。

其中一个让我印象深刻的例子，是关于 “概率”与“几何”结合的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）。

还记得刚接触的时候，我简直无法接受这个结果。题目是这样的：

你正在参加一个电视游戏节目，主持人让你在三扇门后选择一扇。其中一扇门后藏着一辆汽车，另外两扇门后各有一只山羊。你选择了其中一扇门（比如1号门）。这时，主持人知道哪扇门后有汽车，他会打开另一扇门（比如3号门），这扇门后面必然是一只山羊。然后，主持人会问你：“你要坚持你原来的选择，还是更换到另外一扇未被打开的门（2号门）？”

当时我的第一反应是：“既然已经有一扇门被排除了，剩下两扇门，一扇是你选的，一扇是另一扇未打开的，那汽车在这两扇门后面的概率应该是各占一半，50%啊，换不换都一样吧？”

然而，这个问题的“眼前一亮”之处就在于，坚持原来的选择和更换选择，这两种策略带来的概率是截然不同的！

我们来仔细分析一下：

你第一次选择一扇门的时候，选到汽车的概率是 1/3，选到山羊的概率是 2/3。这是最基础的概率判断。

关键点来了：主持人知道答案，并且他一定会打开一扇有山羊的门。
情况一：你第一次就选对了车。（概率 1/3）。这时候，主持人有两扇有山羊的门可以选，他随便打开其中一扇。如果你选择更换，你一定会换到山羊。
情况二：你第一次选错了，选到了山羊。（概率 2/3）。这时候，另外两扇门中，一扇是车，一扇是山羊。主持人必须打开那扇有山羊的门。所以，剩下未被打开的那扇门，必然是汽车！如果你选择更换，你一定会换到汽车。

把这两种情况加起来看：

坚持原来的选择：只有在你第一次就选对了车的情况下，你才能赢得汽车，而这种情况的概率是 1/3。
更换选择：
如果你第一次选对车（概率 1/3），更换会让你输。
如果你第一次选错车（概率 2/3），更换会让你赢。

所以，更换选择，赢得汽车的概率是 2/3，而坚持原来的选择，赢得汽车的概率只有 1/3。

这个结果瞬间颠覆了我最初的直觉。为什么？因为我们潜意识里觉得主持人打开一扇山羊门的动作，似乎“抹平”了之前的概率差异。但实际上，主持人的这个“有信息的操作”，将原先你选的那扇门的概率（1/3）“固定”了，而将另外两扇门联合起来的整体概率（2/3）“浓缩”到了剩下那扇未被打开的门上。

这个题目之所以让人“眼前一亮”，是因为它：

1. 挑战了直觉：很多时候，我们大脑的直觉判断并不是绝对正确的，尤其是在概率问题上。它让我们学会了质疑自己的第一反应，用更严谨的逻辑去分析。
2. 展示了概率的深刻性：概率不是简单的数字叠加，它涉及到信息的流动和条件的改变。主持人提供的额外信息，看似简单，却极大地影响了最终的决策。
3. 应用广泛：这个问题的逻辑原理在很多领域都有体现，比如统计学、机器学习，甚至在一些决策制定中都能找到它的影子。

每次想到蒙提霍尔问题，我都会觉得数学的魅力就在于此——它能揭示出隐藏在表面之下的真相，并且这种真相往往比我们想象的更加奇妙和反直觉。它教会我，在面对问题时，不要仅仅停留在表面的现象，而是要深入挖掘其内在的逻辑和规律。这不仅仅是解题，更是一种思维的训练和升华。

网友意见

在平面直角坐标系中，画一个边长为R的正方形：

用表示该正方形内格点（lattice）的数量，再用表示该正方形内素格点（横纵坐标为互素的整数）的数量，求当时素格点密度的极限。下面我们将求解这个有趣的谜题。

第一步：的表达式

很明显，这是一个数论问题，而且还是一个数格点问题。根据图像的性质，易得，而的求法就比较特殊了。现在我们画一条对角线：

可以发现只要能求出橙色线下方素格点的数量，就能得出的表达式。

由图可知，若蓝线的横坐标为n，则蓝线上素格点的数量就是比n小且与n互素数的数量，即。因此，所以原问题就变成了求解如下极限：

第二步：求解极限

对于分子，我们可以利用欧拉函数的狄利克雷卷积性质，得到：

事实上根据 ^[1]以及 ^[1]，有：

于是代入回原来的表达式，得：

第三步：计算级数

事实上，我们可以利用Dirichlet级数的乘法来转换问题。根据莫比乌斯反演，可知：

所以。综上所述当正方形的边长不断增大时，素格点的密度会逐渐向靠拢。

又一个意想不到的圆周率

参考

^^a^b当数论遇上分析（2）——向下取整与渐近展开 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/222714937

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